1、第一章 1.3 空间几何体的表面积与体积 第2课时 柱体、锥体、台体、球 的体积与球的表面积 1.掌握柱体掌握柱体、锥体锥体、台体的体积公式台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积会利用它们求有关几何体的体积； 2.了解球的表面积与体积公式了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积并能应用它们求球的表面积及体积； 3.会求简单组合体的体积及表面积会求简单组合体的体积及表面积. 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 问题导学 新知探究 点点落实 知识点一 柱体、锥体、台体的体积公式 1.柱体的体积公式 (S为底面面积，h为高)； 2.锥体的体积公式 (S为底面面积，h为高)；
2、 3.台体的体积公式 (S、S为上、下底面面积， h为高)； 答案 V1 3Sh V1 3(S SSS)h VSh 4.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 答案 VSh V1 3(S SSS)h V1 3Sh. 知识点二 球的表面积和体积公式 1.球的表面积公式S (R为球的半径)； 2.球的体积公式 . V4 3R 3 4R2 返回 题型探究 重点难点 个个击破 类型一 柱体、锥体、台体的体积 例1 (1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积 为_m3. 解析 由所给三视图可知， 该几何体是由相同底面的两个圆锥和一个圆柱组成， 底面半径为1 m，圆锥的高为1 m，圆柱的
3、高为2 m， 因此该几何体的体积 V21 31 211228 3(m 3). 8 3 解析答案 (2)在四棱锥EABCD中，底面ABCD为梯形，ABCD,2AB3CD，M 为AE的中点，设EABCD的体积为V，那么三棱锥MEBC的体积为 多少？ 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) 解析答案 A.22 3 B.42 3 C.22 3 3 D.42 3 3 解析 该空间几何体由一圆柱和一四棱锥组成， 圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2， C 四棱锥的底面边长为 2，高为 3， 所以体积为1 3( 2) 2 32 3 3 ， 所以该几何体的体积
4、为 22 3 3 . 类型二 球的表面积与体积 例2 (1)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则 圆锥侧面积与球面面积之比是_. 解析答案 解析 设圆锥的底面半径为R， 由题意知球的半径为R 2， V 圆锥1 3R 2h(h 为圆锥的高)， V 球4 3( R 2) 31 6R 3， 1 3R 2h1 6R 3， h1 2R，则圆锥的母线 l R 2h2 5 2 R， 圆锥的侧面积为 R 5 2 R 5 2 R2. 球的表面积为 4(R 2) 2R2. 5 2 圆锥的侧面积与球面面积之比为 52. (2)如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面 积为_. 解
5、析 由三视图知该几何体由圆锥和半球组成， 且球的半径和圆锥底面半径都等于3，圆锥的母 线长等于5， 所以该几何体的表面积为 S2323533. 解析答案 反思与感悟 33 跟踪训练2 (1)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个 几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表 面积为1620，则r等于( ) A.1 B.2 C.4 D.8 解析答案 (2)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直 径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为_. 解析答案 反思与感悟 解析 设球的半径为R， 则V柱R2 2R2R3， V 锥1 3R 2 2R2 3R
6、3， V 球4 3R 3， 故 V 柱V锥V球2R 32 3R 34 3R 3312. 312 类型三 组合体的表面积与体积 例3 (1)一球与棱长为2的正方体各个面相切，则该球的体积为_. 解析 由题意可知球是正方体的内切球， 因此球的半径为1， 解析答案 其体积4 3. 4 3 反思与感悟 (2)正方体的表面积是a2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表 面积是_. 依题意，2r 3 a2 6 ，即 r21 8a 2. 所以 S 球4r 241 8a 2a 2 2 . 解析答案 a2 2 解析 正方体内接于球， 则由球及正方体都是中心对称图形知，它们的中心重合. 可见，正方体的对角线是球的
7、直径.设球的半径是r， 则正方体的对角线长是2r. 跟踪训练3 (1)球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与 圆台的侧面积之比为34，则球的体积与圆台的体积之比为( ) A.613 B.514 C.34 D.715 解析答案 返回 (2)长方体的一个顶点处的三条棱长分别为2， 它的八个顶点都 在同一个球面上，则这个球的体积为_. 解析答案 3， 5， 解析球的直径为 22 32 522 3， 球的半径为 3， 则球的体积为4 3( 3) 34 3. 4 3 1 2 3 达标检测 4 5 解析答案 1.已知高为3的棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)， 则三棱锥B1A
8、BC的体积为( ) A.1 4 B.1 2 C. 3 6 D. 3 4 V1 3Sh 1 3 3 4 3 3 4 . 解析 D 1 2 3 4 5 解析答案 2.设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为 ，那么它的体积为( ) 解析 依题意得正六棱锥的高为 5 A.6 3 B. 3 C.2 3 D.2 5122， 所以 V1 3Sh 1 36 3 4 2 3. B 1 2 3 4 5 3.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积 为( ) A.2 B.4 C.8 D.16 解析 体积最大的球是其内切球，即球的半径为1， 所以表面积为S4124. B 解析答案 1 2 3 4 5
9、解析答案 4.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为_. 解析 由三视图可知，该几何体是一个半球， 其表面积为2123. 3 1 2 3 4 5 解析答案 5.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为 _. 规律与方法 1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为 V 柱体Sh SS V 台体1 3h(S SSS) V 锥体1 3Sh. S0 2.在三棱锥ABCD中，若求点A到平面BCD的距离h， 可以先求 VABCD，h 3V SBCD. 这种方法就是用等体积法求点到平面 的距离，其中V一般用换顶点法求解，即VABCDVBACDVCABD VDABC，求解的原则是V易求，且BCD的面积易求. 3.求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或 补形将其转化为规则的几何体求解. 4.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三 角形，进行相关计算. 5.解决球与其他几何体的切接问题，通常先作截面，将球与几何体的 各量体现在平面图形中，再进行相关计算. 返回
