1、章末复习课 第四章 圆与方程 1.整合知识结构整合知识结构，梳理知识网络梳理知识网络，进一步巩固进一步巩固、深化所学知识深化所学知识； 2.培养综合运用知识解决问题的能力培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活能灵活、熟练运用系数法求解熟练运用系数法求解 圆的方程圆的方程，能解决直线与圆的综合问题能解决直线与圆的综合问题，渗透数形结合的数学思想渗透数形结合的数学思想. 要点归纳 题型探究 达标检测 学习目标 要点归纳 主干梳理 点点落实 1.圆的方程 (1)圆的标准方程：_. (2)圆的一般方程：_. 2.点和圆的位置关系 设点P(x0，y0)及圆的方程(xa)2(yb)2r2. (1)(x0a
2、)2(y0b)2r2点P_. (2)(x0a)2(y0b)20) 在圆外 在圆内 在圆上 3.直线与圆的位置关系 设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d_r相离； d_r相切；d_r相交. 4.圆与圆的位置关系 设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则 答案 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2 的关系 dr1r2 dr1r2 |r1r2|dr1 r2 d|r1r2| d 5.求圆的方程时常用的四个几何性质 (1)形如 yb xa形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. (2)形如 taxby 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题
3、. (3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方 的最值问题. 7.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算. 6.与圆有关的最值问题的常见类型 (2)代数方法 运用根与系数的关系及弦长公式 |AB|1k2|xAxB| 1k2xAxB24xAxB. 注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法. 8.空间中两点的距离公式 已知点 P1(x1，y1，z1)与点 P2(x2，y2，z2)， 则|P1P2|x2x12y2y12z2z12. 返回 类型一 求圆的方程 题型探究 重点难点 个个击破 例
4、1 根据条件求下列圆的方程： (1)求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x10y90上的圆的 方程； 解 由题意知线段AB的垂直平分线方程为3x2y150， 解析答案 由 3x2y150， 3x10y90， 解得 x7， y3. 圆心 C(7，3)，半径 r|AC| 65. 所求圆的方程为(x7)2(y3)265. 解析答案 (2)求半径为 10，圆心在直线 y2x 上，被直线 xy0 截得的弦长为 4 2的圆的方程. 反思与感悟 跟踪训练1 求圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于 点P(3，2)的圆的方程. 解析答案 类型二 直线与圆、圆与圆的位置关系 例2 已知
5、点P(0,5)及圆C：x2y24x12y240.若直线l过点P，且 被圆C截得的线段长为 ，求l的方程. 解析答案 4 3 反思与感悟 解 设所求圆C的方程为(xa)2(yb)2r2， 解析答案 圆心 C(a，b)与 Q(3， 3)的连线垂直于直线 x 3y0，且斜率为 3. 由题意得 a12b2r1， |a 3b| 2 r， b 3 a3 3， 解得 a4， b0， r2， 或 a0， b4 3， r6， 所求圆的方程为(x4)2y24 或 x2(y4 3)236. 跟踪训练2 已知圆C与圆x2y22x0相外切，并且与直线x y0 相切于点Q(3， )，求圆C的方程. 3 3 例3 设定点M
6、(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM、ON为两 边作平行四边形MONP，求点P的轨迹. 类型三 与圆有关的轨迹问题 解析答案 反思与感悟 跟踪训练3 已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程； 解 设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y). 因为P点在圆x2y24上， 所以(2x2)2(2y)24， 故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21. 解析答案 (2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程. 解 设PQ的中点为N(x，y)，连接BN. 在RtPBQ中，|PN|BN|
7、. 设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ， 所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2， 所以x2y2(x1)2(y1)24. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10. 解析答案 类型四 分类讨论在直线与圆中的应用 解析答案 例4 已知直线l经过点P(4，3)，且被圆(x1)2(y2)225截得的 弦长为8，求直线l的方程. 解 圆(x1)2(y2)225的圆心为(1，2)，半径r5， 当直线l的斜率不存在时，其方程为x4，由题意可知直线x4符 合题意. 当直线l的斜率存在时，设其方程为y3k(x4)，即kxy4k30. 由题意可知(|k24k3| 1k2 )2(8 2) 25
8、2，解得 k4 3. 即所求直线方程为4x3y250， 综上所述，满足题设的直线l方程为x4或4x3y250. 解析答案 跟踪训练4 过点A(4，3)作圆C：(x3)2(y1)21的切线，求此 切线方程. 返回 1 2 3 达标检测 解析答案 1.如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B 在A的上方)，且|AB|2，则 (1)圆C的标准方程为_. 4 解析 设点 C 的坐标为(x0，y0)，则由圆 C 与 x 轴相切于 点 T(1,0)知，点 C 的横坐标为 1，即 x01，半径 ry0. 又因为|AB|2.所以 1212y2 0，即 y0 2r， 所以圆 C
9、的标准方程为(x1)2(y 2)22. (x1)2(y 2)22 (2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_. 解析 令x0得：B(0， 1). 1 2 3 4 设圆 C 在点 B 处的切线方程为 y( 21)kx， 则圆心 C 到其距离为：d|k 2 21| k21 2， 解之得 k1. 即圆 C 在点 B 处的切线方程为 yx( 21)， 于是令 y0 可得 x 21， 即圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为1 2. 1 2 解析答案 2 解析答案 2.已知圆M：(x1)2(y1)24，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B 两点，且|AB|2，则直线l的方程为_. 1 2 3
10、 4 解析答案 3.圆x2y24上的点到直线xy20的距离的最大值为_. 1 2 3 4 解析 因为圆 x2y24 的圆心 O 到直线 xy20 的距离 d |2| 2 2， 所以圆上的点到直线距离的最大值为 dr2 2. 22 解析答案 1 2 3 4 解 设方程(x3)2(y3)26上的任意一点P(x，y). 4.如果实数 x，y 满足方程 C：(x3)2(y3)26，求y x的最大值与最小值. y x的几何意义就是直线 OP 的斜率，设 y xk，则直线 OP 的方程为 ykx. 由图可知，当直线OP与圆相切时，斜率取最值. 因为点 C 到直线 ykx 的距离 d |3k3| k21，所
11、以当 |3k3| k21 6， 即 k3 2 2时，直线 OP 与圆相切. 所以y x的最大值与最小值分别是 32 2与 32 2. 规律与方法 初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的 方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起 来解决圆的问题，将在处理圆的有关问题时收到意想不到的效果. 圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它 的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在 实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质.那么，经常使用 的几何性质有 (1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线 垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及 该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等. (2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于 弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、 弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理. (3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经 过圆心；直径所对的圆周角是直角. 返回
