1、第四章 4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切相切、相离相离； 2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系； 3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题. 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 问题导学 新知探究 点点落实 知识点 直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断 答案 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判 定 方 法 几何法：设圆心到直线的距离d _ _
2、 _ 代数法： 消元得到一元二次方程的判别式 _ _ _ |AaBbC| A2B2 AxByC0， xa2yb2r2 dr 0 0 0 由 返回 题型探究 重点难点 个个击破 类型一 直线与圆的位置关系的判定 例1 已知圆C：x2y21与直线ykx3k，当k为何值时，直线与圆 (1)相交； 解析答案 (2)相切； (3)相离. 反思与感悟 跟踪训练1 (1)直线xky10与圆x2y21的位置关系是( ) A.相交 B.相离 C.相交或相切 D.相切 解析 由直线xky10恒过定点(1,0)， 而(1,0)恰在圆x2y21上， 故直线与圆至少有一个公共点， 故选C. 解析答案 C (2)过点P(
3、 ，1)的直线l与圆x2y21有公共点，则直线l的倾斜角 的取值范围是_. 解析 当直线l斜率不存在时，直线l与圆x2y21没有公共点， 解析答案 3 060 故可设直线 y1k(x 3)， 即 kxy 3k10， 圆心到直线的距离| 3k1| k21 1， 解得 0k 3， 即 0tan 3 060. 类型二 切线问题 例2 过点A(4，3)作圆(x3)2(y1)21的切线，求： (1)此切线的方程； 解析答案 解 因为圆心C的坐标为(3,1)， 设切点为B， 则ABC为直角三角形， 解析答案 反思与感悟 (2)其切线长. |AC|342132 17，又|BC|r1， 则|AB|AC|2|B
4、C|2 172124， 切线长为4. 跟踪训练2 (1)直线3x4yb与圆x2y22x2y10相切，则b的值 是( ) A.2或12 B.2或12 C.2或12 D.2或12 解析 圆方程x2y22x2y10， 可化为(x1)2(y1)21， 解析答案 D 圆心(1,1)到直线 3x4yb0 的距离为|7b| 5 1， 得b2或12，故选D. (2)求由下列条件确定的圆x2y24的切线方程： 点P在圆x2y24上， 解析答案 经过点 P( 2， 2)； 解 ( 2)2( 2)24， 切线方程为 2x 2y4， 即 xy2 20. 切线斜率为2. 解 设圆的切线方程为y2xb，即2xyb0， 由
5、圆心到切线的距离为半径，可得： |b| 22122 得 b 2 5. 故所求切线方程为 2xy 2 50. 类型三 弦长问题 例3 (1)过圆x2y28内的点P(1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l 的倾斜角为135，则弦AB的长为_. 解析答案 (2)圆心为C(2，1)，截直线yx1的弦长为2 的圆的方程为 _. 2 解析 设圆的半径为r，由条件，得 圆心到直线 yx1 的距离为 d|211| 2 2. 又直线 yx1 被圆截得的弦长为 2 2， 即半弦长为 2， 所以r2224，r2， 所以所求圆的方程为(x2)2(y1)24. (x2)2(y1)24 解析答案 (3)直线l经过点P
6、(5,5)，且和圆C：x2y225相交于A、B两点，截得的 弦长为4 ，求l的方程. 5 解析答案 反思与感悟 跟踪训练3 已知直线l：kxyk20与圆C：x2y28. (1)证明直线l与圆相交； 证明 l：kxyk20， 直线l可化为y2k(x1)， 直线l经过定点(1,2)， (1)2228， (1,2)在圆C内， 直线l与圆相交. 解析答案 返回 (2)当直线l被圆截得的弦长最短时，求直线l的方程，并求出弦长. 解 由(1)知，直线l过定点P(1,2)， 又x2y28的圆心为原点O，则与OP垂直的直线截得的弦长最短， kOP2， 解析答案 kl1 2， 直线 l：y21 2(x1)， 设
7、直线l与圆交于A、B两点， 即x2y50. |AB|2r2|OP|22852 3. 直线 l 的方程为 x2y50，弦长为 2 3. 1 2 3 达标检测 4 解析答案 1.直线yx1与圆x2y21的位置关系是( ) A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 又直线yx1不过圆心(0,0)，选B. B 解析 圆心到直线的距离 d 1 11 2 2 1， 1 2 3 4 解析答案 2.已知P(x，y)|xy2，Q(x，y)|x2y22，那么PQ为( ) A. B.(1,1) C.(1,1) D.(1，1) C 解析 解方程组 x2y22， xy2. 得 x1， y1. 1 2
8、3 4 3.若直线xym0与圆x2y2m相切，则m的值为( ) A.0或2 B.0或4 C.2 D.4 C 解析 圆心到直线的距离等于半径 m， 即|m| 2 m， 解得m2或m0(应舍去). 解析答案 1 2 3 4 解析答案 4.直线ykx3与圆(x1)2(y2)24相交于M，N两点，且 |MN|2 ，则k的取值范围是_. 解得k0. (，0 3 解析 因为|MN|2 3， 所以圆心(1,2)到直线 ykx3 的距离不大于 22 321， 即 |k1| k211， 规律与方法 1.直线与圆位置关系的两种判断方法比较 (1)若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法 较为简单.
9、 (2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则 用代数法较简单. 2.过一点的圆的切线方程的求法 (1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的 斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程. (2)若点在圆外时，过这点的切线将有两条，但在用设斜率来解题时可 能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在. 3.与圆相关的弦长问题的两种解决方法 (1)由于半径长r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定 理可求出弦长，这是常用解法. (2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用 根与系数的关系得到两交点的横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点 间的距离公式求解，此法是通法. 返回
