1、章末复习课 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 1.整合知识结构整合知识结构，梳理各知识网络梳理各知识网络，进一步巩固进一步巩固、深化所学知识深化所学知识； 2.提高综合运用知识的能力和空间想象能力提高综合运用知识的能力和空间想象能力，在空间实现平行关系在空间实现平行关系、 垂直关系垂直关系、垂直与平行关系之间的转化垂直与平行关系之间的转化. 要点归纳 题型探究 达标检测 学习目标 要点归纳 主干梳理 点点落实 1.四个公理 公理1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线上所有 的点都在这个平面内. 公理2：过_的三点，有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么
2、它们有且只有 _. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相_. 2.直线与直线的位置关系 答案 共面直线 异面直线：不同在_一个平面内，没有公共点 两点 不在同一条直线上 一条过该点的公共直线 平行 平行 相交 任何 3.平行的判定与性质 (1)直线与平面平行的判定与性质 答案 判定 性质 定义 定理 图形 条件 _ _ _ _ _ _ 结论 a b a ab a a，b， ab a a，a， b (2)面面平行的判定与性质 答案 判定 性质 定义 定理 图形 条件 _ _ _ _ _， _， _ ，a 结论 ab a a，b， abP， a，b b a (3)空间中的平行关系的内在联系 4.
3、垂直的判定与性质 (1)直线与平面垂直 答案 图形 条件 结论 判定 ab，b (b为内的_直线) a am，an，m、n， _ a 任意 mnO 答案 判定 ab，_ b 性质 a，_ ab a，b _ a b ab (2)平面与平面垂直的判定与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面经过另一个 平面的一条_，那么 这两个平面互相垂直 性质 定理 如果两个平面互相垂直， 那么在一个平面内垂直于 它们交线的直线垂直于另 一个平面 l l l ， a， l， la 垂线 答案 (3)空间中的垂直关系的内在联系. 答案 5.空间角 (1)异面直线所成的角 定义：设a，b是两
4、条异面直线，经过空间任一点O作直线aa， bb，把a与b所成的_叫做异面直线a，b所成的角 (或夹角). 范围：设两异面直线所成角为，则090. 锐角(或直角) (2)直线和平面所成的角 平面的一条斜线与它在_所成的锐角叫做这条直线与这 个平面所成的角. 当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成 的角分别为_. (3)二面角的有关概念 二面角：从一条直线和由这条直线出发的_所组成的图形 叫做二面角. 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内 分别作_的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 返回 答案 平面内的射影 90和0 两个半平面 垂直
5、于棱 类型一 几何中共点、共线、共面问题 题型探究 重点难点 个个击破 例1 如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G， H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12. 求证：(1)E、F、G、H四点共面； 证明 BGGCDHHC，GHBD， 又EFBD，EFGH， E、F、G、H四点共面. 解析答案 (2)GE与HF的交点在直线AC上. 证明 G、H不是BC、CD的中点，EFGH. 又EFGH，EG与FH不平行， 则必相交，设交点为M. 反思与感悟 EG面ABC HF面ACD M面 ABC 且 M面 ACD M在面ABC与面ACD的交线上， 又面ABC面ACDACMA
6、C. GE与HF的交点在直线AC上. 解析答案 跟踪训练1 如图，O是正方体ABCDA1B1C1D1上底面ABCD的中心， M是正方体对角线AC1和截面A1BD的交点.求证：O、M、A1三点共线. 证明 OAC，AC平面ACC1A1，O平面ACC1A1. MAC1，AC1平面ACC1A1，M平面ACC1A1. 又已知A1平面ACC1A1， 即有O、M、A1三点都在平面ACC1A1上， 又O、M、A1三点都在平面A1BD上， 所以O、M、A1三点都在平面ACC1A1与平面A1BD的交线上， 所以O、M、A1三点共线. 解析答案 类型二 空间中的平行关系 例2 如图，E、F、G、H分别是正方体AB
7、CDA1B1C1D1的棱BC、CC1、 C1D1、AA1的中点， 求证：(1)GE平面BB1D1D； 证明 如图，取B1D1中点O，连接GO，OB， 解析答案 易证 OG 綊1 2B1C1，BE 綊 1 2B1C1， OG綊BE，四边形BEGO为平行四边形. OBGE. OB平面BDD1B1，GE平面BDD1B1， GE平面BDD1B1. (2)平面BDF平面B1D1H. 证明 由正方体性质得B1D1BD， B1D1平面BDF，BD平面BDF， B1D1平面BDF. 连接HB，D1F，易证HBFD1是平行四边形，得HD1BF. HD1平面BDF，BF平面BDF， HD1平面BDF. B1D1H
8、D1D1， 平面BDF平面B1D1H. 解析答案 反思与感悟 跟踪训练2 如图，ABC为正三角形，EC平面ABC，DB平面 ABC，CECA2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面 DMN平面ABC. 证明 M、N分别是EA与EC的中点，MNAC， 又AC平面ABC，MN平面ABC，MN平面ABC， DB平面ABC，EC平面ABC，BDEC， N为EC中点，EC2BD，NC綊BD， 四边形BCND为矩形，DNBC， 又DN平面ABC，BC平面ABC， DN平面ABC， 又MNDNN，平面DMN平面ABC. 解析答案 例3 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，
9、 ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点. 证明：(1)CDAE； 证明 在四棱锥P-ABCD中， PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD. ACCD，PAACA，CD平面PAC. 而AE平面PAC，CDAE. 类型三 空间中的垂直关系 解析答案 (2)PD平面ABE. 证明 由PAABBC，ABC60，可得ACPA. E是PC的中点，AEPC. 由(1)，知AECD，且PCCDC，AE平面PCD. 而PD平面PCD，AEPD. PA底面ABCD，PAAB. 又ABAD且PAADA， AB平面PAD，而PD平面PAD， ABPD. 又ABAEA，PD平面ABE. 解析答案 反
10、思与感悟 跟踪训练3 如图，A，B，C，D为空间四点.在ABC中，AB2， ACBC 2，等边ADB 以 AB 为轴运动. (1)当平面ADB平面ABC时，求CD； 解 如图，取AB的中点E，连接DE，CE， 因为ADB是等边三角形，所以DEAB. 当平面ADB平面ABC时，因为平面ADB平面ABCAB， 所以DE平面ABC，可知DECE， 由已知可得 DE 3，EC1， 在 RtDEC 中，CD DE2EC22. 解析答案 解 当ADB以AB为轴转动时，总有ABCD. 证明如下：当D在平面ABC内时， 因为ACBC，ADBD， 所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即ABCD. 当D不在平面
11、ABC内时， 由(1)知ABDE.又因ACBC，所以ABCE. 又DE，CE为相交直线，所以AB平面CDE， 由CD平面CDE，得ABCD. 综上所述，总有ABCD. 解析答案 (2)当ADB转动时，是否总有ABCD？证明你的结论. 类型四 空间角问题 解析答案 例4 如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD， ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点. (1)求PB和平面PAD所成的角的大小； 解 在四棱锥PABCD中， 因为PA底面ABCD，AB平面ABCD， 故PAAB.又ABAD，PAADA， 从而AB平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA， 从而APB为
12、PB和平面PAD所成的角. 在RtPAB中，ABPA，故APB45. 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45. (2)证明：AE平面PCD； 证明 在四棱锥PABCD中， 因为PA底面ABCD，CD平面ABCD， 故CDPA.由条件CDAC，PAACA， 所以CD平面PAC. 又AE平面PAC，所以AECD. 由PAABBC，ABC60，可得ACPA. 因为E是PC的中点，所以AEPC. 又PCCDC，所以AE平面PCD. 解析答案 (3)求二面角APDC的正弦值. 解析答案 反思与感悟 解析答案 跟踪训练4 如图，正方体的棱长为1，BCBCO，求： (1)AO与AC所成角的度数； 解 AC
13、AC， AO与AC所成的角就是OAC. AB平面BC，OC平面BC， OCAB，又OCBO，ABBOB. OC平面ABO. 又OA平面ABO，OCOA. 在 RtAOC 中，OC 2 2 ，AC 2，sinOACOC AC 1 2， OAC30 .即 AO 与 AC所成角的度数为 30 . 解析答案 (2)AO与平面ABCD所成角的正切值； 解 如图，作OEBC于E，连接AE. 平面BC平面ABCD， OE平面ABCD， OAE为OA与平面ABCD所成的角. 在 RtOAE 中，OE1 2，AE 121 2 2 5 2 ， tanOAEOE AE 5 5 . 即 AO 与平面 ABCD 所成角
14、的正切值为 5 5 . 解析答案 (3)平面AOB与平面AOC所成角的度数. 解 OCOA，OCOB，OAOBO， OC平面AOB. 又OC平面AOC， 平面AOB平面AOC. 即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90. 返回 1 2 3 达标检测 解析答案 1.下列四个结论： (1)两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行. (2)两条直线没有公共点，则这两条直线平行. (3)两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行. (4)一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个 平面平行. 其中正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 4 解析答案 2.设有不同的直
15、线m、n和不同的平面、，下列四个命题中，正确的 是( ) A.若m，n，则mn B.若m，n，m，n，则 C.若，m，则m D.若，m，m，则m 1 2 3 4 解析 选项A中当m，n时，m与n可以平行、相交、异面； 选项B中满足条件的与可以平行，也可以相交； 选项C中，当，m时，m与可以垂直，也可以平行等. 故选项A、B、C均不正确. D 解析答案 3.如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底面ABCD对角线的交点. 求证：(1)C1O面AB1D1； 证明 如图，连接A1C1，设A1C1B1D1O1，连接AO1， ABCDA1B1C1D1是正方体，A1ACC1是平行四边形， A1C1
16、AC且A1C1AC， 又O1，O分别是A1C1，AC的中点， O1C1AO且O1C1AO， 四边形AOC1O1是平行四边形， C1OAO1，AO1面AB1D1，C1O面AB1D1， C1O面AB1D1. 1 2 3 4 解析答案 (2)A1C面AB1D1. 证明 CC1面A1B1C1D1， CC1B1D1， 又A1C1B1D1， B1D1面A1C1CA， 即A1CB1D1，同理可证A1CAB1， 又B1D1AB1B1，A1C面AB1D1. 1 2 3 4 解析答案 1 2 3 4 4.如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同 于A，B的一动点. (1)证明：PBC是直角三角
17、形. 解 因为AB是O的直径，C是圆周上不同于A， B的一动点， 所以BCAC， 因为PA平面ABC，所以BCPA， 又PAACA，所以BC平面PAC， 所以BCPC， 所以PBC是直角三角形. 1 2 3 4 (2)若PAAB2，且当直线PC与平面ABC所成角正切值为 时，求直 线AB与平面PBC所成角的正弦值. 解析答案 2 规律与方法 一、平行关系 1.平行问题的转化关系 2.直线与平面平行的主要判定方法 (1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质. 3.平面与平面平行的主要判定方法 (1)定义法；(2)判定定理；(3)推论； (4)a，a. 二、垂直关系 1.空间中垂直关系的
18、相互转化 2.判定线面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理. (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”. (3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”. (4)利用面面垂直的性质. 3.判定线线垂直的方法 (1)平面几何中证明线线垂直的方法. (2)线面垂直的性质：a，bab. (3)线面垂直的性质：a，bab. 4.判断面面垂直的方法 (1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角. (2)判定定理：a，a. 三、空间角的求法 1.找异面直线所成角的三种方法 (1)利用图中已有的平行线平移. (2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移. (3)补形平移. 2.线面角：求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确 定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足.通常是解由斜线段、垂线段、斜 线在平面内的射影所组成的直角三角形. 返回
