1、专题二实验操作型专题二实验操作型 裁剪与拼图类裁剪与拼图类【类型解读类型解读】裁剪、展开与拼图类试题是以折纸、拼图等操作活动为问题背景设计裁剪、展开与拼图类试题是以折纸、拼图等操作活动为问题背景设计的一类问题的一类问题,通过裁剪、展开和拼图的实际操作活动通过裁剪、展开和拼图的实际操作活动,获得图形的直观认识和一些特殊获得图形的直观认识和一些特殊的性质的性质,考查学生的动手操作能力考查学生的动手操作能力,思维能力和创新意识思维能力和创新意识.常有以下常有以下 类型类型:(1)(1)折叠、裁剪纸片折叠、裁剪纸片,想象展开后图形想象展开后图形;(2)(2)通过裁剪拼图通过裁剪拼图,验证数学公式验证数
2、学公式;(3)(3)按要求裁剪按要求裁剪,设计新图形设计新图形.【例例1 1】下列网格中的六边形下列网格中的六边形ABCDEFABCDEF是由边长为是由边长为6 6的正方形左上角剪去边长为的正方形左上角剪去边长为2 2的正方的正方形所得形所得,该六边形按一定的方法可剪拼成一个正方形该六边形按一定的方法可剪拼成一个正方形.(1)(1)根据剪拼前后图形的面积关系求出拼成的正方形的边长根据剪拼前后图形的面积关系求出拼成的正方形的边长;(2)(2)如图如图(1),(1),把六边形把六边形ABCDEFABCDEF沿沿EH,BGEH,BG剪成三部分剪成三部分,请在图请在图(1)(1)中画出将与中画出将与拼
3、成的正方形拼成的正方形,然后标出变动后的位置然后标出变动后的位置,并指出属于旋转、平移和轴对称中的并指出属于旋转、平移和轴对称中的哪一种变换哪一种变换;解解:(2)(2)如图如图(1),(1),都属于平移都属于平移.(3)(3)在图在图(2)(2)中画出一种与图中画出一种与图(1)(1)不同位置的两条裁剪线不同位置的两条裁剪线,并在图并在图(2)(2)中画出将此六边形剪中画出将此六边形剪拼成的正方形拼成的正方形.解解:(3)(3)如图如图(2),(2),解答裁剪与拼图类题目解答裁剪与拼图类题目,要审清题意要审清题意,按照题目要求实际动手操作按照题目要求实际动手操作,理清顺序理清顺序,弄明白弄明
4、白裁剪前后图形的联系裁剪前后图形的联系,即可正确画出图形即可正确画出图形,注意平时要养成善于动手的习惯注意平时要养成善于动手的习惯,积累动手积累动手经验经验,才能快速解决问题才能快速解决问题.强化运用强化运用1:(20181:(2018海南海南)如图如图1,1,分别沿长方形纸片分别沿长方形纸片ABCDABCD和正方形纸片和正方形纸片EFGHEFGH的对角线的对角线AC,EGAC,EG剪开剪开,拼成如图拼成如图2 2所示的所示的 KLMN,KLMN,若中间空白部分四边形若中间空白部分四边形OPQROPQR恰好是正方形恰好是正方形,且且 KLMNKLMN的面积为的面积为50,50,则正方形则正方形
5、EFGHEFGH的面积为的面积为()(A)24(A)24(B)25(B)25(C)26(C)26(D)27(D)27B B 解析解析:设设PM=PL=NR=KR=a,PM=PL=NR=KR=a,正方形正方形ORQPORQP的边长为的边长为b.b.则则NQ=NQ=a+b,MQa+b,MQ=a-b,=a-b,由裁剪及拼图的过程可得由裁剪及拼图的过程可得,2S,2SNRKNRK+S+S正方形正方形OPQROPQR+2S+2SNQMNQM=S=S四边形四边形KLMNKLMN,aa2 2+b+b2 2+(a+b)(a-b)=50,a+(a+b)(a-b)=50,a2 2=25,=25,SS正方形正方形E
6、FGHEFGH=a=a2 2=25.=25.故选故选B.B.折叠与对称类折叠与对称类【类型解读类型解读】折叠与对称类试题是以动手操作为问题背景折叠与对称类试题是以动手操作为问题背景,主要通过动手折叠的活主要通过动手折叠的活动动,让学生观察、探索让学生观察、探索,获得直观的感性认识获得直观的感性认识,再进一步了解其中的数学内涵再进一步了解其中的数学内涵,进行理进行理性思考的一类试题性思考的一类试题.常见的类型有常见的类型有(1)(1)折叠前后图形全等类折叠前后图形全等类;(2)(2)折叠前后对应点连线被折痕垂直平分类折叠前后对应点连线被折痕垂直平分类.【例【例2 2】(2018(2018德州德州
7、)再读教材再读教材:宽与长的比是宽与长的比是 (约为约为0.618)0.618)的矩形叫做黄金矩形的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我们以协调、匀称黄金矩形给我们以协调、匀称的美感的美感,世界各国许多著名的建筑世界各国许多著名的建筑,为取得最佳的视觉效果为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计都采用了黄金矩形的设计,下面下面,我们用宽为我们用宽为2 2的矩形纸片折叠黄金矩形的矩形纸片折叠黄金矩形.(.(提示提示:MN=2):MN=2)第一步第一步,在矩形纸片一端在矩形纸片一端,利用图的方法折出一个正方形利用图的方法折出一个正方形,然后把纸片展平然后把纸片展平.第二步第二步,如图如图,把这个正方
8、形折成两个相等的矩形把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平再把纸片展平.第三步第三步,折出内侧矩形的对角线折出内侧矩形的对角线AB,AB,并把并把ABAB折到图中所示的折到图中所示的ADAD处处.第四步第四步,展平纸片展平纸片,按照所得的点按照所得的点D D折出折出DE,DE,使使DEND,DEND,则图中就会出现黄金矩形则图中就会出现黄金矩形.512问题解决问题解决:(1)(1)图中图中AB=AB=(保留根号保留根号););(2)(2)如图如图,判断四边形判断四边形BADQBADQ的形状的形状,并说明理由并说明理由;(2)(2)结论结论:四边形四边形BADQBADQ是菱形是菱形.理由理
9、由:四边形四边形ACBFACBF是矩形是矩形,BQAD,BQA=QAD,BQAD,BQA=QAD,由折叠可得由折叠可得BAQ=QAD,AB=AD,BAQ=BQA,AB=BQ,AD=BQ,BAQ=QAD,AB=AD,BAQ=BQA,AB=BQ,AD=BQ,四边形四边形BADQBADQ是平行四边形是平行四边形,AB=AD,AB=AD,四边形四边形BADQBADQ是菱形是菱形.(3)(3)请写出图中所有的黄金矩形请写出图中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由并选择其中一个说明理由.实际操作实际操作(4)(4)结合图结合图,请在矩形请在矩形BCDEBCDE中添加一条线段中添加一条线段,设计一个新的黄
10、金矩形设计一个新的黄金矩形,用字母表示出用字母表示出来来,并写出它的长和宽并写出它的长和宽.(1)(1)折叠前后的两个图形全等折叠前后的两个图形全等,图形在变换前后的形状、大小均不变图形在变换前后的形状、大小均不变;(2)(2)折叠后的图形展开后成轴对称折叠后的图形展开后成轴对称,折痕就是对称轴折痕就是对称轴,对应点的连线要被对称轴垂直平对应点的连线要被对称轴垂直平分分.平移与旋转类平移与旋转类【类型解读类型解读】平移和旋转类试题是以平移和旋转操作为问题背景平移和旋转类试题是以平移和旋转操作为问题背景,通过平移和旋转的活通过平移和旋转的活动动,获得直观的感性认识获得直观的感性认识,学会抽象的数
11、学知识和方法的一类试题学会抽象的数学知识和方法的一类试题,主要考查学生的动手主要考查学生的动手操作能力、空间想象能力操作能力、空间想象能力,培养学生的创新能力和实践能力培养学生的创新能力和实践能力.常有以下类型常有以下类型:(1)(1)平移图形平移图形,探究结论探究结论;(2)(2)旋转图形旋转图形,探究结论探究结论.【例例3 3】(2018(2018襄阳襄阳)如图如图(1),(1),已知点已知点G G在正方形在正方形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC上上,GEBC,GEBC,垂足为点垂足为点E,GFCD,E,GFCD,垂足为点垂足为点F.F.(1)(1)证明与推断证明与推断:求证求证:
12、四边形四边形CEGFCEGF是正方形是正方形;解解:(1)(1)四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形,BCD=90BCD=90,BCA=45,BCA=45,GEBC,GFCD,GEBC,GFCD,CEG=CFG=ECF=90CEG=CFG=ECF=90,四边形四边形CEGFCEGF是矩形是矩形,CGE=ECG=45,CGE=ECG=45,EG=EC,EG=EC,四边形四边形CEGFCEGF是正方形是正方形;(2)(2)探究与证明探究与证明:将正方形将正方形CEGFCEGF绕点绕点C C顺时针方向旋转顺时针方向旋转(0(04545),),如图如图(2)(2)所示所示,试探究线段试探究线段
13、AGAG与与BEBE之间的数量关系之间的数量关系,并说明理由并说明理由;2(3)(3)拓展与运用拓展与运用:正方形正方形CEGFCEGF在旋转过程中在旋转过程中,当当B,E,FB,E,F三点在一条直线上时三点在一条直线上时,如图如图(3)(3)所示所示,延长延长CGCG交交ADAD于点于点H.H.若若AG=6,GH=2 ,AG=6,GH=2 ,则则BC=BC=.2解答平移和旋转类问题解答平移和旋转类问题,首先要掌握好平移前后、旋转前后的图形是全等形首先要掌握好平移前后、旋转前后的图形是全等形,旋旋转时图形上每一点的旋转角度相同转时图形上每一点的旋转角度相同;其次解答问题时要认真把握变换前后图形
14、之其次解答问题时要认真把握变换前后图形之间的对应关系间的对应关系,分类讨论分类讨论,自主探究自主探究,合情推理合情推理.强化运用强化运用3:3:如图如图,两个全等的两个全等的ABCABC和和DFEDFE重叠在一起重叠在一起,固定固定ABC,ABC,将将DEFDEF进行如下变进行如下变换换:(1)(1)如图如图1,1,DEFDEF沿直线沿直线CBCB向右平移向右平移(即点即点F F在线段在线段CBCB上移动上移动),),连接连接AF,AD,BD.AF,AD,BD.请直接写出请直接写出S SABCABC与与S S四边形四边形AFBDAFBD的关系的关系;解解:(1)S(1)SABCABC=S=S四
15、边形四边形AFBDAFBD.(2)(2)如图如图2,2,当点当点F F平移到线段平移到线段BCBC的中点时的中点时,若四边形若四边形AFBDAFBD为正方形为正方形,那么那么ABCABC应满足什么应满足什么条件条件?请给出证明请给出证明;解解:(2)(2)ABCABC为等腰直角三角形为等腰直角三角形,即即AB=AC,BAC=90AB=AC,BAC=90.证明如下证明如下:F:F为为BCBC的中点的中点,CF=BF.CF=AD,AD=BF.CF=BF.CF=AD,AD=BF.又又ADBF,ADBF,四边形四边形AFBDAFBD为平行四边形为平行四边形.AB=AC,FAB=AC,F为为BCBC的中
16、点的中点,AFBC,AFBC,平行四边形平行四边形AFBDAFBD为矩形为矩形.BAC=90BAC=90,F,F为为BCBC的中点的中点,AF=BC=BF,AF=BC=BF,四边形四边形AFBDAFBD为正方形为正方形.12(3)(3)在在(2)(2)的条件下的条件下,将将DEFDEF沿沿DFDF折叠折叠,点点E E落在落在FAFA的延长线上的点的延长线上的点G G处处,连接连接CG,CG,请你在图请你在图3 3的位置画出图形的位置画出图形,并求出并求出sinCGFsinCGF的值的值.作图与测量类作图与测量类【类型解读类型解读】作图与测量类问题作图与测量类问题,是以给定的问题情境为背景是以给
17、定的问题情境为背景,按要求进行设计作按要求进行设计作图、测量图、测量,并进行计算与推理并进行计算与推理,它不仅进行作图它不仅进行作图,还对所要作的图形进行作图原理的还对所要作的图形进行作图原理的推究和作图方法的探索推究和作图方法的探索,要求学生进行多方位、多角度、多层次的探究要求学生进行多方位、多角度、多层次的探究,考查了学考查了学生思维的灵活性、发散性、创新性生思维的灵活性、发散性、创新性.常有以下几种类型常有以下几种类型:(1)(1)作图与计算题作图与计算题;(2)(2)作图与推理题作图与推理题;(3)(3)图案设计题图案设计题.【例例4 4】在劳技课上在劳技课上,老师请同学们在一张长为老
18、师请同学们在一张长为9 cm,9 cm,宽为宽为8 cm8 cm的长方形纸板上的长方形纸板上,剪下一剪下一个腰长为个腰长为5 cm5 cm的等腰三角形的等腰三角形(要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合,其其余两个顶点在长方形的边上余两个顶点在长方形的边上).).请你帮助同学们画出图形并计算出剪下的等腰三角形的请你帮助同学们画出图形并计算出剪下的等腰三角形的面积面积.(.(求出所有可能的情况求出所有可能的情况)解答作图类问题解答作图类问题,要掌握几种基本作图的方法要掌握几种基本作图的方法,以及如作三角形、三角形的外接圆、以及如作三角形、三角
19、形的外接圆、内切圆等复杂作图的方法内切圆等复杂作图的方法,需要进一步证明结论时需要进一步证明结论时,可利用所作图形可利用所作图形,结合已知图形结合已知图形的性质进行推理的性质进行推理.按要求设计图案时按要求设计图案时,要学会运用平移、轴对称、旋转、位似等图要学会运用平移、轴对称、旋转、位似等图形变换知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题形变换知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题,结合已有的生活经验结合已有的生活经验,把把实际问题转化为我们熟悉的数学问题实际问题转化为我们熟悉的数学问题,从而使问题得到从而使问题得到 解决解决.强化运用强化运用4:4:图图1,1,图图2 2是两张形状、大
20、小完全相同的方格纸是两张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形方格纸中的每个小正方形的边长均为的边长均为1,1,每个小正方形的顶点叫做格点每个小正方形的顶点叫做格点.(1)(1)在图在图1 1中画出等腰直角三角形中画出等腰直角三角形MON,MON,使点使点N N在格点上在格点上,且且MON=90MON=90;解解:(1)(1)如图如图1 1所示所示.(2)(2)在图在图2 2中以格点为顶点画一个正方形中以格点为顶点画一个正方形ABCD,ABCD,使正方形使正方形ABCDABCD面积等于面积等于(1)(1)中等腰直角中等腰直角三角形三角形MONMON面积的面积的4 4倍倍,并将正方形并将正方形ABCDABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形和一个正方形,且正方形且正方形ABCDABCD面积没有剩余面积没有剩余(画出一种即可画出一种即可).).解解:(2)(2)如图如图2,32,3所示所示.
