1、圆的有关性质综合题圆的有关性质综合题【例1】(2020内江）如图3-45-1，AB是O的直径，C是O上一点，ODBC于点D，过点C作O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE（1）求证：BE是O的切线；（2）设OE交O于点F，若DF=2，BC=4 求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（1 1）证明：如答图）证明：如答图3-45-13-45-1，连接，连接OC.OC.CECE为切线，为切线，OCCE.OCCE.OCE=90OCE=90.ODBCODBC，CD=BD.CD=BD.则则ODOD垂直平分垂直平分BC.BC.EC=EB.EC=EB.在在OCEOCE和和OBEOBE中中,
2、OCEOCEOBE(SSS).OBE(SSS).OBE=OCE=90OBE=OCE=90，即即OBBE.OBBE.BEBE与与OO相切相切.C=OBC=OB，OE=OEOE=OE，EC=EBEC=EB，（2 2）解：设）解：设OO的半径为的半径为x x，则则OD=OFOD=OFDF=xDF=x2 2，OB=x.OB=x.在在RtRtOBDOBD中，中，BD=BC=2BD=BC=2ODOD2 2+BD+BD2 2=OB=OB2 2，(x(x2)2)2 2+(2 )+(2 )2 2=x=x2 2.解得解得x=4.OD=2x=4.OD=2，OB=4.OB=4.OBD=30OBD=30BOD=60BO
3、D=60.BEO=30.BEO=30.OE=2OB=8.EF=OEOE=2OB=8.EF=OEOF=8OF=84=44=4（3 3）解：）解：BOE=60BOE=60，OBE=90OBE=90，在在RtRtOBEOBE中，中，BE=OB=4 .BE=OB=4 .SS阴影阴影=S=S四边形四边形OBECOBECS S扇形扇形OBCOBC=2=2=16=16相似三角形与圆相似三角形与圆【例2】（2019广东）如图3-45-3，在ABC中，ABAC，O是ABC的外接圆，过点C作BCDACB交O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CFAC，连接AF（1）求证：EDEC；（2）求证：AF是O
4、的切线；（3）如图3-45-3，若点G是ACD的内心，BCBE25，求BG的长（1 1）证明：）证明：ABABACAC，ABCABCACB.ACB.又又ACBACBBCDBCD，ABCABCADCADC，BCDBCDADC.ADC.EDEDEC.EC.（2 2）证明：如答图）证明：如答图3-45-23-45-2，连接，连接OA.OA.ABABACAC，ABABAC.AC.OABC.OABC.CACACFCF，CAFCAFCFA.CFA.ACDACDCAF+CFACAF+CFA2CAF.2CAF.ACBACBBCDBCD，ACDACD2ACB.2ACB.CAFCAFACB.ACB.AFBC.AF
5、BC.OAAF.OAAF.AFAF为为OO的切线的切线.（3 3）解：）解：ABEABECBACBA，BADBADBCDBCDACBACB，ABEABECBA.CBA.ABAB2 2BCBE=25,BCBE=25,即即AB=5.AB=5.如答图如答图3-45-33-45-3，连接，连接AG.AG.BAGBAGBAD+DAGBAD+DAG，BGABGAGAC+ACB.GAC+ACB.点点G G为为ACDACD的内心，的内心，DAGDAGGAC.GAC.又又BAD=BCDBAD=BCDACBACB，BAGBAGBGA.BGA.BGBGABAB5 51.（2020绵阳）如图3-45-2，ABC内接于
6、O，点D在O外，ADC90，BD交O于点E，交AC于点F，EACDCE，CEBDCA，CD6，AD8（1）求证：ABCD；（2）求证：CD是O的切线；（3）求tanACB的值（1 1）证明：）证明：CEBCEBCABCAB，CEBCEBDCADCA，CABCABDCADCA，ABCD.ABCD.（2 2）证明：如答图）证明：如答图3-45-4,3-45-4,连接连接COCO并延长交并延长交OO于点于点G G，交，交ABAB于于点点M M，连接，连接GE.GE.GCGC为为OO的直径，的直径，GECGEC9090.EGCEGCECGECG9090.EACEACDCEDCE，EACEACEGCEG
7、C，DCEDCEEGC.EGC.DCEDCEECGECG9090.DCODCO9090，即，即COCD.COCD.CDCD是是OO的切线的切线.（3 3）解：如答图）解：如答图3-45-5,3-45-5,记记ADAD交交OO于点于点H H，连接，连接OAOA，BH.BH.答图答图3-45-5ADC3-45-5ADC9090，DCODCO9090，ADCM.ADCM.又又ABCDABCD，四边形四边形ADCMADCM为矩形为矩形.BAHBAHAMCAMC9090，AMAMCDCD6 6，CMCMADAD8.8.BHBH是是OO的直径的直径.设设OO的半径为的半径为r.r.在在RtRtAOMAOM
8、中，由勾股定理可得中，由勾股定理可得r r2 26 62 2+(8+(8r)r)2 2.解得解得r r BH BH AB AB2AM2AM12.12.AHAHACBACBAHBAHB，tanACBtanACBtanAHBtanAHB2.（2018广东）如图3-45-4，在四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的O经过点C，连接AC，OD交于点E（1）证明：ODBC；（2）若tanABC=2，证明：DA与O相切；（3）在（2）条件下，连接BD交O于点F，连接EF.若BC=1，求EF的长（1 1）证明：如答图）证明：如答图3-45-6,3-45-6,连接连接OC.OC.在在OADOAD和
9、和OCDOCD中，中，OADOADOCDOCD（SSSSSS）.ADO=CDO.ADO=CDO.答图答图3-45-63-45-6又又AD=CDAD=CD，DEAC.DEAC.ABAB为为OO的直径，的直径，ACB=90ACB=90，即，即BCAC.BCAC.ODBC.ODBC.OA=OC,OA=OC,AD=CD,AD=CD,OD=OD,OD=OD,（2 2）证明：）证明：tanABC=tanABC=2 =2，设设BC=aBC=a，则，则AC=2a.AC=2a.AD=AB=AD=AB=OEBCOEBC，且，且AO=BOAO=BO，OE=BC=aOE=BC=a，AE=CE=AC=a.AE=CE=A
10、C=a.在在RtRtAEDAED中，中，DE=DE=2a=2a，则在则在AODAOD中，中，AOAO2 2+AD+AD2 2=ODOD2 2=（OE+DEOE+DE）2 2=AOAO2 2+AD+AD2 2=OD=OD2 2，即，即OAD=90OAD=90.DADA与与OO相切相切.（3 3）解：如答图）解：如答图3-45-6,3-45-6,连接连接AF.AF.ABAB是是OO的直径，的直径，AFD=BAD=90AFD=BAD=90.ADF=BDAADF=BDA，AFDAFDBAD.BAD.即即DFBD=AD2.DFBD=AD2.又又AED=OAD=90AED=OAD=90，ADE=ODAAD
11、E=ODA，AEDAEDOAD.OAD.即即ODDE=AD2.ODDE=AD2.由由,得得DFBD=ODDEDFBD=ODDE，即，即又又EDF=BDOEDF=BDO，EDFEDFBDO.BDO.BC=1BC=1，AB=AD=OD=AB=AD=OD=DE=2,DE=2,BD=OB=BD=OB=3.（2019孝感）如图3-45-5，点I是ABC的内心，BI的延长线与ABC的外接圆O交于点D，与AC交于点E，延长CD，BA相交于点F，ADF的平分线交AF于点G.（1）求证：DGCA；（2）求证：ADID；（3）若DE4，BE5，求BI的长.（1 1）证明：如答图）证明：如答图3-45-7.3-45
12、-7.点点I I是是ABCABC的内心，的内心，227=ABC.7=ABC.DGDG平分平分ADFADF，11 ADF.ADF.四边形四边形ABCDABCD是圆内接四边形，是圆内接四边形，ADFADFABC.ABC.答图答图3-45-713-45-712.2.3322，113.DGAC.3.DGAC.（2 2）证明：）证明：点点I I是是ABCABC的内心，的内心，556.6.又又7=2=3,47=2=3,47+57+53+63+6，即，即44DAI.DAI.ADADID.ID.（3 3）解：）解：3377，ADEADEBDABDA，DAEDAEDBA.DBA.AD AD6,6,即即DI=6.
13、DI=6.BIBIBD-DIBD-DI9-69-63.3.4.（2018乐山改编）如图3-45-6，P是O外的一点，PA，PB是O的两条切线，A，B是切点，PO交AB于点F，延长BO交O于点C，交PA的延长线于点Q，连接AC.（1）求证：ACPO；（2）若O的半径为3，CQ=2，求tanBCA;（3）在（2）的条件下，设D为PB的中点，QD交AB于点E，求 的值.（1 1）证明：）证明：PAPA，PBPB是是OO的两条切线，的两条切线，A A，B B是切点，是切点，PA=PBPA=PB，且，且POPO平分平分BPA.POAB.BPA.POAB.BCBC是直径，是直径，CAB=90CAB=90，
14、即即CAAB.ACPO.CAAB.ACPO.（2 2）解：如答图）解：如答图3-45-83-45-8，连接，连接OA.OA.PAPA，PBPB是是OO的两条切线，的两条切线，A A，B B是切点，是切点，OAQ=PBQ=90OAQ=PBQ=90.在在RtRtOAQOAQ中，中，OA=OC=3OA=OC=3，OQ=OC+CQ=5.OQ=OC+CQ=5.由由QAQA2 2+OA+OA2 2=OQ=OQ2 2，得，得QA=4.QA=4.在在RtRtPBQPBQ中，中，PA=PBPA=PB，QB=OQ+OB=8QB=OQ+OB=8，由由QBQB2 2+PB+PB2 2=PQ=PQ2 2，得，得8 82
15、 2+PB+PB2 2=（PB+4PB+4）2 2.解得解得PB=6.PA=PB=6.PB=6.PA=PB=6.tanBCA=tanBOP=2.tanBCA=tanBOP=2.(3)(3)解：如答图解：如答图3-45-83-45-8，连接，连接DF.DF.OPABOPAB，BF=AF=AB.BF=AF=AB.又又DD为为PBPB的中点，的中点，DFAPDFAP，DF=PA=3.DF=PA=3.DFEDFEQAE.QAE.设设AE=4tAE=4t，FE=3tFE=3t，则，则AF=AE+FE=7t.AF=AE+FE=7t.BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t.BE=BF+FE=AF+
16、FE=7t+3t=10t.5.（2018南宁）如图3-45-7，ABC内接于O，CBG=A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EFBC，垂足为点F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD（1）求证：PG与O相切；（2）若 的值；（3）在（2）的条件下，若O的半径为8，PD=OD，求OE的长（1 1）证明）证明:如答图如答图3-45-93-45-9，连接，连接OBOB，则，则OB=OD.OB=OD.BDC=DBO.BDC=DBO.BAC=BDCBAC=BDC，GBC=BACGBC=BAC，GBC=DBO.GBC=DBO.CDCD是是OO的直径，的直径，DBO+OBC=90DBO+OBC=
17、90.GBC+OBC=90GBC+OBC=90，即，即GBO=90GBO=90.PGPG与与OO相切相切.（2 2）解）解:如答图如答图3-45-9,3-45-9,过点过点O O作作OMACOMAC于点于点M M，连接，连接OA.OA.则则AOM=COM=AOC.AOM=COM=AOC.AC=ACAC=AC，ABC=AOC.AOM=ABC.ABC=AOC.AOM=ABC.又又EFB=OMA=90EFB=OMA=90，BEFBEFOAM.OAM.AM=AM=（3 3）解）解:PD=OD:PD=OD，PBO=90PBO=90，BD=OD=8.BD=OD=8.又又OD=OBOD=OB，DOBDOB是
18、等边三角形是等边三角形.DOB=60DOB=60.DOB=OBC+OCBDOB=OBC+OCB，OB=OCOB=OC，OCB=30OCB=30.可设可设EF=xEF=x，则，则EC=2xEC=2x，FC=x.FC=x.在在RtRtDBCDBC中，中，BC=BC=BF=8BF=8由（由（2 2）,得得BE=OC=10.BE=OC=10.在在RtRtBEFBEF中，中，BEBE2 2=EF=EF2 2+BF+BF2 2，即即100=x100=x2 2+（8 8x x）2 2.解得解得x=6x=66+6+8 8，不符题意，不符题意,舍去，舍去，x=6-x=6-EC=12-2EC=12-2OE=8-OE=8-（12-212-2）=2=2-4-4
