1、 第 1 页（共 18 页） 2020 高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷（高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷（14） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x60，Bx|ylg（x2），则 AB（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，2） D 2 （5 分）设 ， 是夹角为 60的单位向量，则|4 3 |（ ） A6 B37 C13 D7 3 （5 分）设 aR，若复数1 +在复平面内对应的点位于实轴上，则 a（ ） A2 B1 C1 D2 4（5 分） 对某杂志社一个月内每天收到的稿件
2、数量进行了统计， 得到样本的茎叶图 （如图） ， 则该样本的中位数、众数分别为（ ） A47、45 B45、47 C46、45 D45、46 5（5 分） 等比数列an中， a5、 a7是函数 f （x） x24x+3 的两个零点， 则 a3a9等于 （ ） A3 B3 C4 D4 6 （5 分）函数() = (1 +1) 的部分图象大致是（ ） A B C D 7 （5 分）设 a，b，c，d 是四条不同的直线，且 a，b 为异面直线，命题 p“c 与 a，b 都相 交，d 与 a，b 都相交” ，命题 q“c，d 为相交直线” ，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件
3、 第 2 页（共 18 页） C充要条件 D既不充分也不必要条件 8 （5 分）已知直线 y2 与函数() = 2( 3)， （其中 w0）的相邻两交点间的 距离为 ，则函数 f（x）的单调递增区间为（ ） A 6 ， + 5 6 ， B 12 ， + 5 12， C 5 6 ， + 11 6 ， D 5 6 ， + 11 12 ， 9 （5 分）已知函数 g（x）是 R 上的奇函数当 x0 时，g（x）ln（1x） ，且 f（x） = 2， 0 ()，0若 f（2x 2）f（x） ，则实数 x 的取值范围为（ ） A （1，2） B （1，2） C （2，1） D （2，1） 10 （5 分
4、）已知函数() = 4(2 6)， 0， 16 3 ，若函数 F（x）f（x）3 的所 有零点依次记为 x1，x2，x3，xn，且 x1x2x3xn，则 x1+2x2+2x3+2xn1+xn （ ） A85 3 B155 3 C42 D281 6 11 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）与椭圆 2 18 + 2 2 =1 有相同焦点 F1，F2， 离心率为4 3 若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2 的距离为12， N为线段MF2的中点， O 为坐标原点，则|NO|等于（ ） A4 B3 C2 D2 3 12 （5 分）众所周知的“太极图” ，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在
5、一起，也被称为“阴阳 鱼太极图” 如图是放在平面直角坐标系中的“太极图” 整个图形是一个圆形其中黑 色阴影区域在 y 轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题： 在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是1 2 当 = 3 2时，直线 yax+2a 与白色部分有公共点； 黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x，y） ，则 x+y 的最大值为 2； 设点 P（2，b） ，点 Q 在此太极图上，使得OPQ45，b 的范围是2，2 其中所有正确结论的序号是（ ） 第 3 页（共 18 页） A B C D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5
6、分）分） 13 （5 分）已知 为第二象限角，则 2 12 + 1 + 2的值是 14 （5 分）已知长方形 ABCD 中，AB1，ABD60，现将长方形 ABCD 沿着对角线 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，则折后几何图形的外接球表面积为 15 （5 分）设函 f（x）x3+ax2（3+2a）x+1，若 f（x）在 x1 处取得极大值，那么实数 a 的取值范围为 16 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，首项为 1，且当 nN*时，an+2+an2an+1恒成 立，若 12a5S5+S9，则 a10 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每
7、小题 12 分）分） 17 （12 分）笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即“文房四宝” 笔、墨、纸、砚之 名，起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县” ，而唐 代泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸” ，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌 （优等品和合格品） ，某公司年产宣纸 10000 刀，公司按照某种质量标准值 x 给宣纸确定 质量等级，如表所示： x （48，52 （44， 48 （52， 56 （0， 44 （56， 100 质量等级 正牌 副牌 废品 公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀（100 张）进行检验，得到频率分布直方图如图所 示，已知每张正牌
8、纸的利润是 10 元，副牌纸的利润是 5 元，废品亏损 10 元 （）按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀（100 张）纸中抽出一个容量为 5 的样本，再从这个样本中随机抽出两张，求其中无废品的概率； 第 4 页（共 18 页） （）试估计该公司生产宣纸的年利润（单位：万元） 18 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2a2bcosC+csinB （）求 tanB； （）若 C= 4，ABC 的面积为 6，求 BC 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PCD平面 ABCD， AB2，BC1，PCPD= 2，E
9、为 PB 中点 （1）求证：PD平面 ACE； （2）求证：PD平面 PBC； （3）求三棱锥 EABC 的体积 20 （12 分） 已知抛物线 C： y22px （p0） ， 点 F 为抛物线的焦点， 焦点 F 到直线 3x4y+2 0 的距离为 d1，焦点 F 到抛物线 C 的准线的距离为 d2，且1 2 = 1 2 （1）求抛物线 C 的标准方程； （2） 若x轴上存在点M， 过点M的直线l与抛物线C相交于P、 Q两点， 且 1 |2 + 1 |2为 定值，求点 M 的坐标 21 （12 分）已知函数 f（x）cosx+xsinx+exax （1）若函数 f（x）在点（0，f（0） ）处
10、的切线与 x 轴平行，求实数 a 的值及函数 f（x） 在区间 2， 2上的单调区间； 第 5 页（共 18 页） （2）在（1）的条件下，若 x1x2，f（x1）f（x2） ，求证：(1+2 2 )0 （f（x）为 f（x）的导函数） 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分） 在直角坐标系 xOy 中， 以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系， 椭圆 C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、 （2，0）为一个顶点直 线 l 的参数方程是 = 1 = 2 ， （t 为参数） （）求椭
11、圆 C 的极坐标方程； （）若直线 l 与椭圆 C 的交点分别为 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，求线段 MN 的长度 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23设 g（x）x2mx+1 （1）若() 0对任意 x0 恒成立，求实数 m 的取值范围； （2）解关于 x 的不等式 g（x）0 第 6 页（共 18 页） 2020 高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷（高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷（14） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x6
12、0，Bx|ylg（x2），则 AB（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，2） D 【解答】解：Ax|2x3，Bx|x2， AB（2，3） 故选：A 2 （5 分）设 ， 是夹角为 60的单位向量，则|4 3 |（ ） A6 B37 C13 D7 【解答】解：根据题意， ， 是夹角为 60的单位向量，即| |1，| |1，则 = 1 2， 则|4 3 |216 224 +9 2 13， 则|4 3 |= 13； 故选：C 3 （5 分）设 aR，若复数1 +在复平面内对应的点位于实轴上，则 a（ ） A2 B1 C1 D2 【解答】解：复数1 + = (1)() (+)() = 1
13、2+1 +1 2+1 在复平面内对应的点位于实轴 上， +1 2+1 = 0，即 a1 故选：C 4（5 分） 对某杂志社一个月内每天收到的稿件数量进行了统计， 得到样本的茎叶图 （如图） ， 则该样本的中位数、众数分别为（ ） 第 7 页（共 18 页） A47、45 B45、47 C46、45 D45、46 【解答】解：由题意可知茎叶图共有 30 个数值，所以中位数为：45+47 2 =46 出现次数最多的数是 45，故众数是 45 故选：C 5（5 分） 等比数列an中， a5、 a7是函数 f （x） x24x+3 的两个零点， 则 a3a9等于 （ ） A3 B3 C4 D4 【解答
14、】解：a5、a7是函数 f（x）x24x+3 的两个零点， a5、a7是方程 x24x+30 的两个根， a5a73， 由等比数列的性质可得：a3a9a5a73 故选：B 6 （5 分）函数() = (1 +1) 的部分图象大致是（ ） A B C D 【解答】解：当 x时， 0+， 1 +1 = 1 2 +1 1+，所以 f（x）0+，排除 C， D； 因为 x+时， +， 1 +1 = 1 2 +1 1+，所以 f（x）+，因此排除 B， 故选：A 7 （5 分）设 a，b，c，d 是四条不同的直线，且 a，b 为异面直线，命题 p“c 与 a，b 都相 交，d 与 a，b 都相交” ，命
15、题 q“c，d 为相交直线” ，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：a，b 为异面直线， 当“c 与 a，b 都相交，d 与 a，b 都相交”时， 第 8 页（共 18 页） c，d 相交，或 c，d 异面， 故命题 p“c 与 a，b 都相交，d 与 a，b 都相交”是命题 q“c，d 为相交直线”的必要不 充分条件， 故选：B 8 （5 分）已知直线 y2 与函数() = 2( 3)， （其中 w0）的相邻两交点间的 距离为 ，则函数 f（x）的单调递增区间为（ ） A 6 ， + 5 6 ， B 12 ， + 5
16、12， C 5 6 ， + 11 6 ， D 5 6 ， + 11 12 ， 【解答】解：y2 与函数() = 2( 3)， （其中 w0）的相邻两交点间的距 离为 ， 函数的 周期 T2，即2 =2，得 2， 则 f（x）2sin（2x 3） ， 由 2k 2 2x 3 2k+ 2，kZ， 得 k 12 xk+ 5 12，kZ， 即函数的单调递增区间为k 12，k+ 5 12，kZ， 故选：B 9 （5 分）已知函数 g（x）是 R 上的奇函数当 x0 时，g（x）ln（1x） ，且 f（x） = 2， 0 ()，0若 f（2x 2）f（x） ，则实数 x 的取值范围为（ ） A （1，2）
17、 B （1，2） C （2，1） D （2，1） 【解答】解：函数 g（x）是 R 上的奇函数，且当 x0 时，g（x）ln（1x） ， 当 x0 时，g（x）g（x）ln（1+x）ln（1+x） 函数 f（x）= 2， 0 ()，0 ， 当 x0 时，f（x）x2为单调递增函数，值域（，0 当 x0 时，f（x）ln（x+1）为单调递增函数，值域（0，+） 函数 f（x）在区间（，+）上单调递增 第 9 页（共 18 页） f（2x2）f（x） ， 2x2x， 即 x2+x20， （x+2） （x1）0， 2x1 x（2，1） 故选：D 10 （5 分）已知函数() = 4(2 6)， 0，
18、 16 3 ，若函数 F（x）f（x）3 的所 有零点依次记为 x1，x2，x3，xn，且 x1x2x3xn，则 x1+2x2+2x3+2xn1+xn （ ） A85 3 B155 3 C42 D281 6 【解答】解：令2 6 = 2 + 得函数对称轴为 = 3 + 2 ( )， f（x）的最小正周期为 T， 当 k0 时，第一条对称轴为 = 3，当 k10 时，可得 = 16 3 ， f（x）在0， 16 3 有 11 条对称轴，函() = 4(2 6)与 y3 有 11 个交点，x1 与 x2关于 = 3对称，x2 与 x3关于 = 5 6 对称，xn1与 xn关于 = 29 6 对称，
19、 即1+ 2= 2 2 6 ，2+ 3= 2 5 6 ，10+ 11= 2 29 6 ， 1+ 22+ 23+ + 210+ 11= 2(2 6 + 5 6 + + 29 6 ) = 155 3 ， 故选：B 11 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）与椭圆 2 18 + 2 2 =1 有相同焦点 F1，F2， 离心率为4 3 若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2 的距离为12， N为线段MF2的中点， O 为坐标原点，则|NO|等于（ ） A4 B3 C2 D2 3 【解答】解：如图，N 为线段 MF2的中点，|NO|= 1 2|MF1|= 1 2（|MF2|2a）6a，
20、 双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的离心率为 e= 4 3， 第 10 页（共 18 页） = 4 3， 椭圆 2 18 + 2 2 =1 与双曲线 2 2 2 2 =1 的焦点相同， c= 18 2 =4，则 a3，即 6a3， |NO|3 故选：B 12 （5 分）众所周知的“太极图” ，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳 鱼太极图” 如图是放在平面直角坐标系中的“太极图” 整个图形是一个圆形其中黑 色阴影区域在 y 轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题： 在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是1 2 当 = 3 2时，直线 yax+2a 与白色部分
21、有公共点； 黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x，y） ，则 x+y 的最大值为 2； 设点 P（2，b） ，点 Q 在此太极图上，使得OPQ45，b 的范围是2，2 其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 【解答】解：对于，将 y 轴右侧黑色阴影部分补到左侧，即可知黑色阴影区域占圆的 面积的一半， 第 11 页（共 18 页） 根据几何概型的计算公式，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率 是1 2，正确； 对于，直线 yax+2a= 3 2x3，圆的方程为 x 2+y24，联立可得，13x2+36x+200， 362413200，但是两根之和为负，两根之积为正，所
22、以两根都为负， 即说明直线 yax+2a 与白色部分没有公共点，错误； 对于，设 l：zx+y，由线性规划知识可知，当直线 l 与圆 x2+（y1）21 相切时，z 最大， 由|1| 2 = 1解得 z= 2 + 1（z12舍去） ，错误； 对于，要使得OPQ45，即需要过点 P 的切线所成角大于等于 90 度， 所以 2 45 = 2 2 ，即 OP22，于是 22+b28，解得2b2 故选：A 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知 为第二象限角，则 2 12 + 1 + 2的值是 1 【解答】解： 为第二象限角，
23、cos0， 2 12 + 1 + 2 = 2 +cos 1 2 =2+cos| 1 |211 故答案为：1 14 （5 分）已知长方形 ABCD 中，AB1，ABD60，现将长方形 ABCD 沿着对角线 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，则折后几何图形的外接球表面积为 4 【解答】解：长方形 ABCD 中，AB1，ABD60，可得 BD2，AD= 3， 作 AEBD 于 E， 可得 AEBDABAD， 所以 AE= 3 2 ， BE= 2 2=1 3 4 = 1 2， 因为平面 ABD平面 BCD，AE面 ABD，平面 ABD平面 BCDBD， 所以 AE面 BCD， 由直角三角形 BC
24、D 可得其外接圆的圆心为斜边 BD 的中点 O1，且外接圆的半径 r= 1 2 =1，过 O1作 OO1垂直于底面 BCD，所以 EO1O1BBE1 1 2 = 1 2， 所以 OO1AE，取三棱锥外接球的球心 O，设外接球的半径为 R， 作 OFAE 于 F，则四边形 EFOO1为矩形，O1EOF，EFOO1， 则 OAOCOBODR， 第 12 页（共 18 页） 在AFO 中，OA2AF2+OF2（AEEF）2+EO12即 R2（ 3 2 OO1）2+ 1 4； 在BOO1中：OB2OO12+EO12，即 R2OO12+ 1 4； 由可得 R21，OO10，即外接球的球心为 O1， 所以
25、外接球的表面积 S4R24， 故答案为：4 15 （5 分）设函 f（x）x3+ax2（3+2a）x+1，若 f（x）在 x1 处取得极大值，那么实数 a 的取值范围为 （，3） 【解答】解：f（x）3x2+2ax（3+2a）（x1） （3x+3+2a） ， 由 f（x）0 得：x1 或 x= 3+2 3 ， f（x）在 x1 处取得极大值， 3+2 3 1，解得：a3， 实数 a 的取值范围为： （，3） ， 故答案为： （，3） 16 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，首项为 1，且当 nN*时，an+2+an2an+1恒成 立，若 12a5S5+S9，则 a10 10 【解答
26、】解：由题意可知，数列an是首项为 1 的等差数列，设公差为 d， 12a5S5+S9， 12（1+4d）5+10d+9+36d， 解得：d1， an1+（n1）1n， a1010， 故答案为：10 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 第 13 页（共 18 页） 17 （12 分）笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即“文房四宝” 笔、墨、纸、砚之 名，起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县” ，而唐 代泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸” ，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌 （优等品和合格品） ，
27、某公司年产宣纸 10000 刀，公司按照某种质量标准值 x 给宣纸确定 质量等级，如表所示： x （48，52 （44， 48 （52， 56 （0， 44 （56， 100 质量等级 正牌 副牌 废品 公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀（100 张）进行检验，得到频率分布直方图如图所 示，已知每张正牌纸的利润是 10 元，副牌纸的利润是 5 元，废品亏损 10 元 （）按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀（100 张）纸中抽出一个容量为 5 的样本，再从这个样本中随机抽出两张，求其中无废品的概率； （）试估计该公司生产宣纸的年利润（单位：万元） 【解答】解： （）按正牌、副牌、废品进行分
28、层抽样， 从这一刀（100 张）约中抽出一个容量为 5 的样本， 设抽出的 2 张正牌为 A，B，2 张副牌为 a，b，1 张废品为 t， 从中任取两张，基本事件有： AB，Aa，Ab，At，Ba，Bb，Bt，ab，at，bt，共 10 种， 其中无废品包含的基本事件有：AB，Aa，Ab，Ba，Bb，ab，共 6 种， 其中无废品的概率 p= 6 10 = 3 5 （）由频率分布直方图得： 一刀（100 张）宣纸有正牌宣纸 1000.1440 张， 有副牌宣纸 1000.054240 张，有废品 1000.0254220 张， 该公司一刀宣纸的利润为 4010+405+20（10）400 元，
29、 第 14 页（共 18 页） 估计该公司生产宣纸的年利润为：400 万元 18 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2a2bcosC+csinB （）求 tanB； （）若 C= 4，ABC 的面积为 6，求 BC 【解答】 解： （I） 2a2bcosC+csinB， 利用正弦定理可得： 2sinA2sinBcosC+sinCsinB， 又 sinAsin（B+C）sinBcosC+cosBsinC， 化为：2cosBsinB0，tanB2 （II）tanB2，B（0，） ，可得 sinB= 2 5，cosB= 1 5 sinAsin（B+C）sinBc
30、osC+cosBsinC= 2 5 2 2 + 1 5 2 2 = 310 10 = ，可得：a= 2 5 310 10 = 32 4 又1 2absin 4 =6，可得 b= 122 a= 32 4 122 ，解得 a32 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PCD平面 ABCD， AB2，BC1，PCPD= 2，E 为 PB 中点 （1）求证：PD平面 ACE； （2）求证：PD平面 PBC； （3）求三棱锥 EABC 的体积 【解答】 （1）证明：连结 BD 交 AC 于点 F，连结 EF 底面 ABCD 是矩形，F 为 BD 中点 又E 为
31、PB 中点，EFPD PD平面 ACE，EF平面 ACE， PD平面 ACE； 第 15 页（共 18 页） （2）证明：底面 ABCD 为矩形，BCCD 又平面 PCD平面 ABCD，BC平面 ABCD，平面 PCD平面 ABCDCD， BC平面 PCD PD平面 PCD，BCPD PCPD= 2，PC2+PD2CD2，即 PDPC BCPCC，BC，PC平面 PBC， PD平面 PBC； （3）解：取 CD 的中点 M，连接 PM PCPD= 2，CDAB2，M 是 CD 的中点， PMCD，且 PM1， 平面 PCD平面 ABCD，PM平面 PCD，平面 PCD平面 ABCDCD， PM
32、平面 ABCD， E 是 PB 的中点， VEABC= 1 2VPABC= 1 2 1 3 1 2 2 1 1 故三棱锥 EABC 的体积为1 6 20 （12 分） 已知抛物线 C： y22px （p0） ， 点 F 为抛物线的焦点， 焦点 F 到直线 3x4y+2 0 的距离为 d1，焦点 F 到抛物线 C 的准线的距离为 d2，且1 2 = 1 2 （1）求抛物线 C 的标准方程； （2） 若x轴上存在点M， 过点M的直线l与抛物线C相交于P、 Q两点， 且 1 |2 + 1 |2为 定值，求点 M 的坐标 【解答】解： （1）抛物线 C：y22px（p0）的焦点 F（ 2，0） ，准线
33、方程为 x= 2， 可得 d1= |3 20+2| 9+16 = 3+4 10 ，d2p， 第 16 页（共 18 页） 则1 2 = 3+4 10 = 1 2，解得 p2， 则抛物线的方程为 y24x； （2）设 M（t，0） ，设点 M，P（x1，y2） ，Q（x2，y2） ，显然直线 l 的斜率不为 0， 设直线 l 的方程为 xmy+t 联立方程 = + 2= 4 ，整理可得 y24my4t0 16（m2+t）0，y1+y24m，y1y24t， |PM|= 1 + 2|y1|， |QM|= 1 + 2|y2|， 1 |2 + 1 |2 = 1 (1+2)12 + 1 (1+2)22 =
34、 12+22 (1+2)(12)2 = (1+2)2212 16(1+2)2 162+8 16(1+2)2 = +22 2(1+2)2 = 22+ 222+22， 要使 1 |2 + 1 |2为定值，必有 2 22 = 22，解得 t2， 且 1 |2 + 1 |2为定值时，点 M 的坐标为（2，0） 21 （12 分）已知函数 f（x）cosx+xsinx+exax （1）若函数 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线与 x 轴平行，求实数 a 的值及函数 f（x） 在区间 2， 2上的单调区间； （2）在（1）的条件下，若 x1x2，f（x1）f（x2） ，求证：(1+2 2 )0 （f（
35、x）为 f（x）的导函数） 【解答】解： （1）f（x）xcosx+exa，kf（0）e0a0，a1 f（x）xcosx+ex1，当 2 ，0)，()0，()递减； 当 (0， 2时，()0，()递增 第 17 页（共 18 页） 所以函数 f（x）的递增区间为0， 2，递减区间为 2 ，0 （2）由（1）可知，x1，x2异号，不妨设 2 102 2 则 4 1+2 2 4，因为 f（x）在 2 ，0上递减， 故要证(1+2 2 )0，只需证1+2 2 2 ，0，即证 x1x2 因为1， 2 2 ，0，所以只需证 f（x1）f（x2） ，又 x1x2，f（x1）f（x2） ， 只需证 f（x2
36、）f（x2） ，即 f（x2）f（x2）0 不妨令 h（x）f（x）f（x） ，x 0， 2 h（x）f（x）+f（x）xcosx+ex1xcos（x）+e x1 = + 22 2 = 0 所以 h（x）在0， 2递增，h（x）h（0）0 所以(1+2 2 )0 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分） 在直角坐标系 xOy 中， 以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系， 椭圆 C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、 （2，0）为一个顶点直 线 l 的参数方程是 = 1 = 2 ，
37、 （t 为参数） （）求椭圆 C 的极坐标方程； （）若直线 l 与椭圆 C 的交点分别为 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，求线段 MN 的长度 【解答】 解：（） 椭圆C以极坐标系中的点 （0， 0） 为中心、 点 （1， 0） 为焦点、（2， 0） 为一个顶 点 所以 c1，a= 2，b1， 所以椭圆的方程为 2 2 + 2= 1，转换为极坐标方程为2= 2 1+2 （） 直线 l 的参数方程是 = 1 = 2 ， （t 为参数） 转换为直角坐标方程为 2x+y20 设交点 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 所以 2 + 2 = 0 2 2 + 2= 1 ，整理得 9x21
38、6x+60， 所以1+ 2= 16 9 ，12= 6 9， 第 18 页（共 18 页） 所以| = 1 + (2)2|x1x2|= 5(1+ 2)2 412= 10 9 2 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23设 g（x）x2mx+1 （1）若() 0对任意 x0 恒成立，求实数 m 的取值范围； （2）解关于 x 的不等式 g（x）0 【解答】解： （1）() 0对任意 x0 恒成立，即 + 1 对任意 x0 恒成立， 只需 ( + 1 ) = 2，当且仅当 x1 时取等号， m 的取值范围为（，2 （2）当m240，即2m2 时，g（x）0 的解集为； 当m240，即 m2 或 m2 时，方程 x2mx+10 的两根为 24 2 ， +24 2 ， g（x）x2mx+10 的解集为x| 24 2 +24 2
