1、类型一图形的平移图Z6-1图Z6-1图Z6-1【方法点析】图形的平移过程中,保持了形状不变,因此有边长、角度不变,同时对应点连线会共线或平行,从而可以借助平行线分线段成比例或者相似三角形求边长.对于平移过程中的重叠面积问题,需要大致画出图形,明确重叠部分的形状,并进行分类讨论.【配练】如图Z6-2,半圆O的直径DE=6 cm,等边三角形ABC的边长为6 cm,半圆O的直径DE与三角形的边AB在同一条直线上,且半圆O与ABC在该直线同侧.现在ABC以1 cm/s的速度向右匀速移动,设运动时间为t s,当t=0时,BD=1 cm.(1)当t=s时,点B与点O重合,此时半圆O和三角形重叠部分的面积S
2、=cm2;(2)当AB和DE重合时,求ABC和半圆O的重叠部分的面积;(3)若BC与半圆O有公共点,求t的取值范围.图Z6-2【配练】如图Z6-2,半圆O的直径DE=6 cm,等边三角形ABC的边长为6 cm,半圆O的直径DE与三角形的边AB在同一条直线上,且半圆O与ABC在该直线同侧.现在ABC以1 cm/s的速度向右匀速移动,设运动时间为t s,当t=0时,BD=1 cm.(2)当AB和DE重合时,求ABC和半圆O的重叠部分的面积;图Z6-2【配练】如图Z6-2,半圆O的直径DE=6 cm,等边三角形ABC的边长为6 cm,半圆O的直径DE与三角形的边AB在同一条直线上,且半圆O与ABC在
3、该直线同侧.现在ABC以1 cm/s的速度向右匀速移动,设运动时间为t s,当t=0时,BD=1 cm.(3)若BC与半圆O有公共点,求t的取值范围.图Z6-2类型二图形的折叠例22019郴州改编如图Z6-3,在矩形ABCD中,点E为AB边上的动点(不与A,B重合),把ADE沿DE翻折,点A的对应点为G,延长EG交直线DC于点F,再把BEF折叠,使点B的对应点T落在EF上,折痕EH交直线BC于点H.(1)求证:GDETEH;(2)若AB=6,AD=4,且GT=TH,求AE的长;图Z6-3解:(1)证明:由折叠的性质可知:DAE=DGE=90,EBH=ETH=90,AED=GED,BEH=TEH
4、,DEG+HET=90.又HET+EHT=90,DEG=EHT,GDETEH.例22019郴州改编如图Z6-3,在矩形ABCD中,点E为AB边上的动点(不与A,B重合),把ADE沿DE翻折,点A的对应点为G,延长EG交直线DC于点F,再把BEF折叠,使点B的对应点T落在EF上,折痕EH交直线BC于点H.(2)若AB=6,AD=4,且GT=TH,求AE的长;图Z6-3图Z6-3【方法点析】图形折叠的两条基本性质:折叠必有全等三角形,则有对应边相等,对应角相等;对应点连线被折痕垂直平分.在平行四边形折叠过程中,由于平行线的缘故,加上折痕起角平分线的作用,还有可能产生等腰三角形.在求边长或者求边比的
5、过程中,常需要借助设元来表示更多的边长,利用勾股定理或相似三角形或锐角三角函数来列方程.图Z6-4图Z6-4图Z6-4类型三图形的旋转例3 2020郴州改编如图Z6-5,在等腰直角三角形ADC中,ADC=90,AD=4.点E是AD的中点,以DE为边作正方形DEFG,连接AG,CE.如图,将正方形DEFG绕点D顺时针旋转,旋转角为(090),延长CE交直线AG于点P.(1)求证:AG=CE,AGCE.(2)当CE=CD时,AG与EF交于点H,求GH的长.(3)在旋转过程中,线段PC的长度是否存在最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.图Z6-5(1)求证:AG=CE,AGCE.图Z6-
6、5解:(1)证明:四边形EFGD是正方形,DG=DE,GDE=90,DA=DC,ADC=90,GDE=ADC,ADG=CDE,AGD CED(SAS),AG=CE,DAG=DCE,设AD交PC于O,如图.DCE+COD=90,COD=AOP,AOP+DAG=90,APO=90,即CEAG.(2)当CE=CD时,AG与EF交于点H,求GH的长.图Z6-5(3)在旋转过程中,线段PC的长度是否存在最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.图Z6-5【方法点析】共顶点的等腰三角形旋转过程中,会产生手拉手的全等三角形.一般地,图形旋转过程中三角形全等,从而得对应边相等,对应角相等,一般会得到等
7、腰三角形,特别是旋转60 时产生等边三角形,旋转45 时产生等腰直角三角形.【配练】2018益阳节选如图Z6-6,在矩形ABCD中,E是AD的中点,以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF,EG分别过点B,C.将EFG绕点E按顺时针方向旋转,当旋转到EF与AD重合时停止转动,若EF,EG分别与AB,BC相交于点M,N(如图).(1)求证:BEM CEN;(2)若AB=2,求BMN面积的最大值.图Z6-6(1)求证:BEM CEN;图Z6-6解:(1)证明:四边形ABCD是矩形,AB=DC,A=D=90,DCB=90.E是AD中点,AE=DE,BAE CDE,BE=CE,AEB=DEC=45
8、,ABE和DCE都为等腰直角三角形,ABE=DCE=45,故ABE=ECN=45.MEN=BEC=90,MEN-BEN=BEC-BEN,得:BEM=CEN,BEM CEN(ASA).【配练】2018益阳节选如图Z6-6,在矩形ABCD中,E是AD的中点,以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF,EG分别过点B,C.将EFG绕点E按顺时针方向旋转,当旋转到EF与AD重合时停止转动,若EF,EG分别与AB,BC相交于点M,N(如图).(2)若AB=2,求BMN面积的最大值.图Z6-6类型四动点与类比探究例4 2019常德在等腰三角形ABC中,AB=AC,作CMAB交AB于点M,BNAC交AC于
9、点N.(1)在图Z6-7中,求证:BMC CNB;(2)在图中的线段CB上取一动点P,过P作PEAB交CM于点E,作PFAC交BN于点F,求证:PE+PF=BM;(3)在图中,动点P在线段CB的延长线上,类似(2)过P作PEAB交CM的延长线于点E,作PFAC交NB的延长线于点F,求证:AMPF+OMBN=AMPE.图Z6-7例4 2019常德在等腰三角形ABC中,AB=AC,作CMAB交AB于点M,BNAC交AC于点N.(1)在图Z6-7中,求证:BMC CNB;图Z6-7证明:(1)AB=AC,ABC=ACB.CMAB,BNAC,BMC=CNB=90.又BC=BC,BMC CNB.例4 2
10、019常德在等腰三角形ABC中,AB=AC,作CMAB交AB于点M,BNAC交AC于点N.(2)在图中的线段CB上取一动点P,过P作PEAB交CM于点E,作PFAC交BN于点F,求证:PE+PF=BM;图Z6-7例4 2019常德在等腰三角形ABC中,AB=AC,作CMAB交AB于点M,BNAC交AC于点N.(3)在图中,动点P在线段CB的延长线上,类似(2)过P作PEAB交CM的延长线于点E,作PFAC交NB的延长线于点F,求证:AMPF+OMBN=AMPE.【配练】【问题情境】如图Z6-8,在ABC中,AB=AC,点P为边BC上的任一点,过点P作PDAB,PEAC,垂足分别为D,E,过点C
11、作CFAB,垂足为F.求证:PD+PE=CF.图Z6-8【结论运用】如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使点D落在点B上,点C落在点C处,点P为折痕EF上的任一点,过点P作PGBE,PHBC,垂足分别为G,H,若AD=8,CF=3,求PG+PH的值.图Z6-8【迁移拓展】图是一个航模的截面示意图.在四边形ABCD中,E为AB边上的一点,EDAD,ECCB,垂足分别为D,C,且ADCE=DEBC,AB=8,AD=3,BD=7.M,N分别为AE,BE的中点,连接DM,CN,求DEM与CEN的周长之和.图Z6-8【配练】【问题情境】如图Z6-8,在ABC中,AB=AC,点P为边BC上的任一点,过点P作P
12、DAB,PEAC,垂足分别为D,E,过点C作CFAB,垂足为F.求证:PD+PE=CF.图Z6-8【配练】【结论运用】如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使点D落在点B上,点C落在点C处,点P为折痕EF上的任一点,过点P作PGBE,PHBC,垂足分别为G,H,若AD=8,CF=3,求PG+PH的值.图Z6-8解:【结论运用】过点E作EQBC,垂足为Q,如图,四边形ABCD是矩形,AD=BC,C=ADC=90.AD=8,CF=3,BF=BC-CF=AD-CF=5.由折叠可得:DF=BF=5,BEF=DEF.【配练】【迁移拓展】图是一个航模的截面示意图.在四边形ABCD中,E为AB边上的一点,EDAD
13、,ECCB,垂足分别为D,C,且ADCE=DEBC,AB=8,AD=3,BD=7.M,N分别为AE,BE的中点,连接DM,CN,求DEM与CEN的周长之和.图Z6-8类型五动点与定值、最值图Z6-9图Z6-9图Z6-9【方法点析】几何动点问题中,定值问题需要找不变量(角度、长度等),最值问题需要确定临界状态,或者设x,用函数思想来求最值.【配练】2019衡阳改编如图Z6-10,在等边三角形ABC中,AB=6 cm,动点P从点A出发以1 cm/s的速度沿AB匀速运动.动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动,当点P到达点B时,点P,Q同时停止运动.设运动时间为t(s).过点P作
14、PEAC于E,连接PQ交AC边于D.(1)当t为何值时,BPQ为直角三角形;(2)求证:线段DE的长为定值;(3)若M为线段BC的中点,连接BE,DM,求四边形BEDM周长的最小值.图Z6-10【配练】2019衡阳改编如图Z6-10,在等边三角形ABC中,AB=6 cm,动点P从点A出发以1 cm/s的速度沿AB匀速运动.动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动,当点P到达点B时,点P,Q同时停止运动.设运动时间为t(s).过点P作PEAC于E,连接PQ交AC边于D.(1)当t为何值时,BPQ为直角三角形;图Z6-10解:(1)ABC是等边三角形,B=60,又Q60,要使BP
15、Q为直角三角形,只需Q=30即可,此时BQ=2BP,6+t=2(6-t),解得t=2,t=2时,BPQ是直角三角形.(2)求证:线段DE的长为定值;图Z6-10(3)若M为线段BC的中点,连接BE,DM,求四边形BEDM周长的最小值.图Z6-10解:(3)如图,连接BE,DM,将ABC向右平移BC个单位长度,得到GCN,连接AG,EG,设GN的中点为H,连接DH,根据平移性质,知ABGC,ACGN,AB=GC,AC=GN,四边形ABCG,四边形ACNG都为平行四边形.又等边三角形ABC中,AB=BC=AC,ABCG,ACNG都为菱形,点B关于AC的对称点为G,故BE=GE,又ED=GH=3,E
16、DGH,四边形EDHG为平行四边形,GE=DH,综合提升训练图Z6-111.2019湘潭节选如图Z6-11,在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD,AD=5,CD=5,点M是线段AC上一动点(不与点A重合),连接BM,过点M作BM的垂线交射线DE于点N,连接BN.(1)求CAD的大小.(2)在动点M运动的过程中,是否能使AMN为等腰三角形?如果能,求出线段MC的长度;如果不能,请说明理由.图Z6-11(2)在动点M运动的过程中,是否能使AMN为等腰三角形?如果能,求出线段MC的长度;如果不能,请说明理由.2.2020邵阳节选如图Z6-12,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边BC与x轴、
17、y轴的交点分别为C(8,0),B(0,6),CD=5.(1)求点D的坐标;(2)动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿DABC的方向运动到达C点后停止运动,动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动,到达C点后,立即返回,向CO方向运动,到达O点后,又立即返回,在线段OC上反复运动,当点M停止运动时,点N也停止运动,设运动时间为t.当点M,N同时开始运动时,若以点M,D,C为顶点的三角形与以点B,O,N为顶点的三角形相似,求t的值.图Z6-122.2020邵阳节选如图Z6-12,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C(8,0),B(0,6),CD=5.(
18、1)求点D的坐标;图Z6-12(2)动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿DABC的方向运动到达C点后停止运动,动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动,到达C点后,立即返回,向CO方向运动,到达O点后,又立即返回,在线段OC上反复运动,当点M停止运动时,点N也停止运动,设运动时间为t.当点M,N同时开始运动时,若以点M,D,C为顶点的三角形与以点B,O,N为顶点的三角形相似,求t的值.图Z6-12图Z6-13图Z6-13图Z6-13解:(1)证明:四边形ABCD是正方形,BCD=90,BCA=45.GEBC,GFCD,CEG=CFG=90,四边形CEGF是矩形,CGE=ECG=45,EG=EC,四边形CEGF是正方形.图Z6-13(2)探究与证明:将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转角(045),如图所示,试探究线段AG与BE之间的数量关系,并说明理由.图Z6-13图Z6-14图Z6-14图Z6-14图Z6-14
