1、上海市奉贤区2022-2023学年高二下学期3月教学评估数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、填空题1同时投掷两颗均匀的骰子，所得点数相等的概率为_2对于独立事件A、B，若，则_.3下列事件中，属于随机现象的序号是_.明天是阴天；方程有两个不相等的实数根；明天吴淞口的最高水位是4.5米；三角形中，大角对大边4计算：_.5抛物线的准线方程为_6已知两点，直线过点且与线段相交，则直线斜率的取值范围是_.7已知直线，则直线恒过定点_.8在等比数列中，则_9若椭圆与椭圆圆扁程度相同，则的值为_10若P（m，8）是焦点为F的抛物线上的一点，则_11双曲线的弦被点平分，则直线的方程为_12已知双曲线
2、，、分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，连接交双曲线左支于点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为_.二、单选题13下列说法中正确的是（）A事件A、B至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大B事件A、B同时发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率小C互斥事件一定是对立事件，对立事件也是互斥事件D互斥事件不一定是对立事件，而对立事件一定是互斥事件14质检部门检查一箱装有2 500件包装食品的质量,抽查总量的2%,在这个问题中,下列说法正确的是()A总体是指这箱2 500件包装食品B个体是一件包装食品C样本是按2%抽取的50件包装食品D样本容量是5015现须完成下列2项抽样
3、调查：从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查；某生活小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁的有180人，年龄在超过30岁不超过60岁的有270人，60岁以上的有90人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量为30的样本.较为合理的抽样方法分别为（）A抽签法，分层随机抽样B随机数法，分层随机抽样C随机数法，抽签法D抽签法，随机数法16如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）ABCD三、解答题17在等差数列中，为其前项的和，已知，(1)求；(2)求数列的最大值1
4、8已知焦点在y轴上的椭圆C，过点，离心率直线l:被椭圆C所截得的弦长为，(1)求椭圆C的标准方程；(2)求实数的值.19如图，在长方体中，.(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求直线与平面所成角的正弦值.20某电子商务公司对10000名网络购物者某年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间0.3,0.9内，其频率分布直方图如图所示求：(1)直方图中的a的值；(2)在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数(3)为了更好了解消费者和激励消费，网络公司决定在这10000名消费者中用分层随机抽样法抽取100名进一步做调查问卷和奖励.再从这100名中消费在内的个体内抽取一等奖两
5、名，求中奖的2人中消费在，内各一人的概率.21已知抛物线的焦点为F，准线为l；(1)若F为双曲线的一个焦点，求双曲线C的离心率e；(2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程；(3)经过点F且斜率为的直线l与相交于A，B两点，O为坐标原点，直线分别与l相交于点M，N；试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由；试卷第3页，共4页参考答案：1【分析】根据给定条件，利用古典概率计算作答.【详解】投掷两颗均匀的骰子的试验有个基本事件，它们等可能，所有点数相等的事件含有的基本事件为，共6个，所以.故答案为：.2【分析】根据相互独立事件和
6、对立事件的概率计算即可求解.【详解】因为，所以，又因为，所以，因为，为独立事件，所以与相互独立，则有，故答案为：.3【分析】对于，根据生活经验判断即可；对于，利用数学知识即可判断.【详解】对于，明天的事是未来才发生的事，具有不确定性，故属于随机现象；对于，由得，显然在实数域方程无解，故属于不可能事件；对于，由正弦定理易知在三角形中，大角对大边故属于确定事件；综上：属于随机现象的序号是.故答案为：.415150【分析】直接利用等差数列前项和公式即可.【详解】15150.故答案为：15150.5【分析】将方程化为标准方程，得到p，进而得到准线方程.【详解】抛物线化为标准方程为，所以，即，故准线方程
7、为：.故答案为：.6.【分析】数形结合法，讨论直线过A、B时对应的斜率，进而判断率的范围.【详解】如下图示，当直线过A时，当直线过B时，由图知：.故答案为：7【分析】依题意可得，令，解得即可.【详解】解：直线即，令，解得，所以直线恒过定点.故答案为：8【分析】设等比数列的公比为，依题意得到关于、的方程组，解得即可.【详解】解：设等比数列的公比为，由，所以， 解得，所以.故答案为：9或【分析】根据焦点的位置以及椭圆离心率的计算公式即可求解.【详解】两椭圆的圆扁程度相同，所以两个椭圆的离心率相同，椭圆的离心率为，当焦点在轴时，椭圆的离心率为，解得当焦点在轴时，椭圆的离心率为，可得，故的值为或，故答
8、案为：或1010【分析】根据点在抛物线上求出，再根据抛物线的焦半径公式可求出结果.【详解】因为点在抛物线上，所以，得，所以，由得，准线方程为，所以.故答案为：.11【分析】根据题意易得直线斜率存在时，设方程为，进而联立方程，结合韦达定理，中点公式求解即可.【详解】解：当直线斜率不存在时，方程为，根据双曲线的对称性，不能平分弦，故不满足题意；当直线斜率存在时，设方程为，所以，联立方程得，所以，因为弦被点平分，所以，所以，解得，此时联立后的方程为，满足，所以，直线的方程为，即故答案为：12【分析】记等边的边长为，利用双曲线的定义得到，进而在中利用余弦定理求得，从而求得双曲线的离心率.【详解】因为是
9、等边三角形，不妨记，所以，由双曲线的定义得，故，所以，又由双曲线的定义得，所以，故，所以，在中，则，所以，整理得，故，所以双曲线的离心率为.故答案为：.13D【分析】对于AB，利用事件的运算方法，举反例排除即可；对于CD，根据对立事件与互斥事件的概念，对选项进行分析判断即可.【详解】对于A，因为事件A，B中至少有一个发生包括事件A发生B不发生，A不发生B发生和A，B都发生；事件A，B中恰有一个发生包括事件A发生B不发生，A不发生B发生；又当事件A，B为对立事件时，事件A，B都发生的概率为，所以事件A、B至少有一个发生与A、B中恰有一个发生是相等事件，两者概率相等，故A错误；对于B，若A、B是相
10、等事件，此时A、B恰有一个发生为不可能事件，概率为0，而事件A、B同时发生的概率必然大于或等于0，故B错误；对于CD，由互斥事件和对立事件的概念知，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故C错误，D正确.故选：D.14D【分析】本题考查的对象是：质检部门检查一箱装有2 500件包装食品的质量，依据总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，样本容量是样本中包含的个体的数目，即可作出判断【详解】A、2总体是指这箱2 500件包装食品的质量，错误；B、个体是一件包装食品的质量，错误；C、样本是按2%抽取的50件包装食品的质量，错误；D、样本
11、容量是50，正确故选D【点睛】本题考查了总体、个体、样本和样本容量的概念与应用问题，是基础题15A【分析】根据抽签法以及分层抽样的使用条件，可得答案.【详解】对于，由于抽取的总体个数与样本个数都不大，则应用抽签法；对于，抽取的总体个数较多，且总体有明确的分层，抽取的样本个数较大，则采用分层随机抽样.故选：A.16D【分析】不妨设渐近线方程为，根据点到直线的距离得到，得到双曲线方程.【详解】不妨设渐近线方程为，即，下焦点为，下焦点到渐近线的距离为，离心率，解得，故双曲线方程为.故选：D17(1)(2)49【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式列出方程组，即可解出，的值，进而求解即可；（
12、2）根据等差数列的前项和公式求出，结合二次函数的性质即可求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，由，可得，解得，所以.（2）因为，因为，所以当时，取得最大值.18(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆C的长短半轴长即可作答.（2）联立直线l与椭圆C的方程，利用弦长公式求解作答.【详解】（1）因为椭圆C的焦点在y轴上，且过点，则椭圆C的短半轴长为2，设其长半轴长为，由离心率得：，解得，所以椭圆C的标准方程是.（2）由消去y并整理得：，有，即，设直线l被椭圆C所截弦的端点，于是，解得，满足条件，所以.19(1)(2)【分析】（1）以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐
13、标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值；（2）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）解：以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则、，所以，所以，因此，异面直线与所成角的余弦值为.（2）解：设平面的法向量为，则，取，则，因为，所以，.因此，直线与平面所成角的正弦值为.20(1)3.0；(2)6000；(3).【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用各小矩形面积和为1，列式计算作答.（2）求出消费金额在区间内的频率即可求解作答.（3）求出抽取的100名消费者中，消费在内的个体数，及消费在，内的个体数，再利用组合求概率作答.【详解
14、】（1）由频率分布直方图得：，解得，所以直方图中的a的值为3.0.（2）由频率分布直方图得，消费金额在区间内的频率是，所以消费金额在区间内的购物者的人数约为：.（3）用分层随机抽样法抽取的100名消费者中，消费在内的个体数为，其中消费在，内的个体数分别为，因此从10人中任取2人的试验有个基本事件，消费在，内各一人的事件有个基本事件，所以中奖的2人中消费在，内各一人的概率.21(1)(2)(3)以线段MN为直径的圆C过定点，理由见详解【分析】（1）先求抛物线的焦点坐标，再根据题意求双曲线的，即可得离心率；（2）根据抛物线的定义进行转化分析可得，进而可得直线EP的倾斜角与斜率，利用点斜式求直线方程
15、；（3）设直线l的方程及A，B两点的坐标，进而可求M，N两点的坐标，结合韦达定理求圆C的圆心及半径，根据圆C的方程分析判断定点.【详解】（1）抛物线的焦点为，准线为，双曲线的方程为双曲线，即，则，由题意可知：，则，故双曲线C的离心率.（2）由（1）可知：，过点P作直线的垂线，垂足为M，则，且，故直线EP的倾斜角，斜率，直线EP的方程为，即.（3）以线段MN为直径的圆C过定点，理由如下：设直线，联立方程，消去y可得：，则可得：，直线，当时，同理可得：，则线段MN为直径的圆C的圆心，半径，故圆C的方程为，整理得，令，则，解得或，故以线段MN为直径的圆C过定点.【点睛】思路点睛：过定点问题的两大类型及解法：(1)动直线l过定点问题解法：设动直线方程(斜率存在)为ykxt，由题设条件将t用k表示为tmk，得yk(xm)，故动直线过定点(m,0)(2)动曲线C过定点问题解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点答案第11页，共11页
