1、控江中学2021年度第二学期高一年级期中考试数学试卷考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号.2.本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分54分，共有12题，第16题每题4分，第712题每题5分）1. 若扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的面积为_.2. 函数的最小正周期为_3. 已知且，则_.4. 已知，则_.5. 函数的奇偶性为_函数.（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）6. 已知，则_.7. 在中，、分别为、的对边.已知，则外接圆的半径是_.8 若，则_9. 若函数的图象关于直线对称，则的一个可能的值为_.10. 已知是边长为1正六边形的边上的
2、任意一点，则的取值范围是_.11. 函数ysin2x2cosx在区间，a上的值域为，2，则a的取值范围是_.12. 若是正整数，且，则满足方程的有_个.二、选择题（本大题满分20分，共有4题，每题5分）13. 将函数的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平移个单位，得到的图象的函数解析式是 A. B. C. D. 14. 函数在下列哪个区间上是严格增函数（ ）A. B. C. D. 15. 已知ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足+=，则点P与ABC的关系为()A. P在ABC内部B. P在ABC外部C. PAB边所在直线上D. P是AC边的一个
3、三等分点16. 已知，有以下两个结论：存在在第一象限，在第二象限；存在在第一象限，在第四象限；则（ ）A. 均正确B. 均错误C. 错对D. 对错三、解答题（本大题满分76分，共有5题）17. 已知.（1）求的值；（2）求的值.18. 已知两个平面向量与的夹角为，且记.（1）若，求实数的值；（2）若，求与的夹角.19. 如图，某城市有一矩形街心广场，如图.其中百米，百米.现将在其内部挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，要求.（1）若百米，判断是否符合要求，并说明理由；（2）设，写出面积的关于的表达式，并求的最小值.20. 已知函数，是周期为周期函数，当时，.（1）求值；（2）当
4、时，求的表达式；（3）设，求方程的解集.21. 对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”.（1）判断函数是否为“同比不减函数”？并说明理由；（2）若函数是“同比不减函数”，求实数的取值范围；（3）是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.控江中学2021年度第二学期高一年级期中考试数学试卷考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号.2.本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分54分，共有12题，第16题每题4分，第712题每题5分）1. 若扇形的圆心角为，半径为2，则
5、扇形的面积为_.答案：解：由题意,扇形的面积为.故答案为:.2. 函数的最小正周期为_答案：解：试题分析：因为，所以其最小正周期是考点：三角函数周期3. 已知且，则_.答案：解：由于且，所以是第四象限角，所以，.故答案为：4 已知，则_.答案：解：将两边同时平方得，即，故答案为：.5. 函数的奇偶性为_函数.（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）答案：偶函数解：由已知条件得，且函数定义域为R，关于原点对称，则，故函数为偶函数；故答案为：偶函数.6. 已知，则_.答案：解：.故答案为：7. 在中，、分别为、的对边.已知，则外接圆的半径是_.答案：解：由余弦定理得，即，由正弦定理得，则，故答案为：.8
6、. 若，则_答案：解：试题分析：由可知，所以，则，由变形得：考点：三角恒等变换9. 若函数的图象关于直线对称，则的一个可能的值为_.答案：（答案不唯一）解：依题意，故可取.故答案为：（答案不唯一）10. 已知是边长为1的正六边形的边上的任意一点，则的取值范围是_.答案：解：如图，正六边形，点P在线段AB上时，当点P在线段BC(不含点B)上时，当点P在线段CD(不含点C)上时，当点P在线段DE(不含点D)上时，当点P在线段EF(不含点E)上时，当点P在线段AF(不含点A)上时，所以的取值范围是.故答案为：11. 函数ysin2x2cosx在区间，a上的值域为，2，则a的取值范围是_.答案：0，解
7、：解：由已知得y1cos2x+2cosx（cosx1）2+2，令tcosx，得到：y（t1）2+2，显然当tcos（）时，y，当t1时，y2，又由x，a可知cosx，1，可使函数的值域为，2，所以有a0，且a，从而可得a的取值范围是：0a故答案为0，12. 若是正整数，且，则满足方程的有_个.答案：解：当时，方程显然成立.当时，由三角函数的单调性和值域可知，当时，即不符合题意，当时，是函数的最小正周期，所以方程两边均为时成立，结合三角函数的周期性可知：，共10个综上所述，的可能取值有个.故答案为：二、选择题（本大题满分20分，共有4题，每题5分）13. 将函数的图象上所有的点的横坐标缩短到原来
8、的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平移个单位，得到的图象的函数解析式是 A. B. C. D. 答案：A解：试题分析：将函数的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得函数，再把所得图象上所有点向左平移个单位，得故选A考点：三角函数的图象变换14. 函数在下列哪个区间上是严格增函数（ ）A. B. C. D. 答案：B解：，所以函数在上递增，令，得.故选：B15. 已知ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足+=，则点P与ABC的关系为()A. P在ABC内部B. P在ABC外部C. P在AB边所在直线上D. P是AC边的一个三等分点答案：D解：因为+=，所以+=-，
9、所以=-2=2，所以P是AC边的一个三等分点. 选D.16. 已知，有以下两个结论：存在在第一象限，在第二象限；存在在第一象限，在第四象限；则（ ）A. 均正确B. 均错误C. 错对D. 对错答案：C解：，第一象限，在第二象限，所以，错误.，当时，成立，正确.故选：C三、解答题（本大题满分76分，共有5题）17. 已知.（1）求的值；（2）求的值.答案：（1）-3；（2）解：（1）；（2）18. 已知两个平面向量与的夹角为，且记.（1）若，求实数的值；（2）若，求与的夹角.答案：（1）；（2）；解：（1）由得，即：，解得：，所以当时，.（2）当时，所以，所以，所以与的夹角为19. 如图，某城市
10、有一矩形街心广场，如图.其中百米，百米.现将在其内部挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，要求.（1）若百米，判断是否符合要求，并说明理由；（2）设，写出面积的关于的表达式，并求的最小值.答案：（1）不符合要求，理由详见解析；（2），最小值为.解：解：（1）由题意，所以所以，不符合要求（2），所以，所以，的最小值为.20. 已知函数，是周期为的周期函数，当时，.（1）求的值；（2）当时，求的表达式；（3）设，求方程的解集.答案：（1） （2） （3）或（1）.（2），当时，.当时，所以.（3）依题意，当时，由,.当时，由，所以是周期为的周期函数，所以方程解集为或.21. 对于函数
11、，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”.（1）判断函数是否为“同比不减函数”？并说明理由；（2）若函数是“同比不减函数”，求实数的取值范围；（3）是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.答案：（1）不是，理由见解析 （2） （3）存在，且（1）依题意，函数不是“同比不减函数”，理由如下：，不恒大于零，所以不恒成立，所以函数不是“同比不减函数”.（2）函数是“同比不减函数”，恒成立，由于，所以.所以的取值范围是.（3）存在，理由如下：，画出的图象如下图所示，的图象是由的图象向左平移个单位所得，由图可知，当时，对任意的，都有成立，所以存在正常数，使得函数为“同比不减函数”，且.
