1、数学分析考研大纲一、数列极限 数列、数列极限的 定义，收敛数列唯一性、有界性、保号性、不等式性、迫敛性、四则运算，单调有界数列极限存在定理。柯西准则，重要极限。二、函数极限函数极限。 定义， 定义，单侧极限，函数极限的性质唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、迫敛性、四则运算、归结原则（Heine 定理）。函数极限的柯西准则。无穷小量及其阶的比较，无穷大量及其阶的比较，渐近线。三、函数的连续性函数在一点的连续性、单侧连续性、间断点及其分类。在区间上连续的函数，连续函数的局部性质有界性、保号性。连续函数的四则运算。复合函数的连续性。闭区间上连续函数的性质有界性、取得最大值最小值性、介值性、一
2、致连续性、反函数的连续性，初等函数连续性。四、导数和微分导数定义，单侧导数、导函数、导数的几何意义、费马( Fermat)定理。和、积、商的导数、反函数的导数、复合函数的导数、初等函数的导数、参变量函数的导数、高阶导数、微分概念、微分的几何意义、微分的运算法则。五、微分中值定理Roll、Lagrange、Cauchy中值定理，不定式极限，洛比达（LHospital）法则，泰勒（Taylor）定理。（泰勒公式及其皮亚诺余项、拉格朗日余项、积分型余项）。 极值、最大值与最小值。曲线的凸凹性。拐点，函数图的讨论。六、实数的完备性区间套定理，数列的柯西（Cauchy）收敛准则，聚点原理，有界数列存在收
3、敛子列，有限覆盖定理。七、不定积分原函数与不定积分，换元积分法、分部积分法，有理函数积分法，三角函数有理式的积分法，几种无理根式的积分。八、定积分牛顿莱布尼茨公式，可积的必要条件，可积的充要条件，可积函数类。绝对可积性，积分中值定理，微积分学基本定理。换元积分法，分部积分法。九、定积分的应用简单平面图形面积。有平行截面面积求体积，曲线的弧长与微分。微元法、旋转体体积与侧面积，物理应用（引力、功等）。十、反常积分无穷限反常积分概念、柯西准则，绝对收敛、无穷限反常积分收敛性判别法：比较判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法。无界函数反常积分概念，无界函数反常积分收敛
4、性判别法。十一、数项级数级数收敛与和，柯西准则，收敛级数的基本性质，正项级数比较原则。比式判别法与根式判别法、积分判别法。一般项级数的绝对收敛与条件收敛，交错级数，莱布尼茨判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法。绝对收敛级数的重排定理。十二、函数列与函数项级数函数列与函数项级数的收敛与一致收敛概念，一致收敛的柯西准则。函数项级数的维尔斯特拉斯（Weierstrass）优级数判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法，函数列极限函数与函数项级数和的连续性、逐项积分与逐项求导。十三、幂级数幂级数的收敛半径与收敛区间，一致收敛性、连续性、逐
5、项积分与逐项求导，幂级数的四则运算。泰勒级数、泰勒展开的条件，初等函数的泰勒展开。十四、傅里叶（Fourier）级数三角级数、三角函数系的正交性、傅里叶（Fourier）级数，贝塞尔（Bessel）不等式，黎曼勒贝格定理，按段光滑且以2为周期的函数展开，傅里叶级数的收敛定理，以2为周期的函数的傅里叶级数，奇函数与偶函数的傅里叶级数。十五、多元函数的极限和连续平面点集概念（邻域、内点、界点、开集、闭集、开域、闭域），平面点集的基本定理区域套定理、聚点原理、有限覆盖定理。二元函数概念。二重极限、累次极限，二元函数的连续性、复合函数的连续性定理、有界闭域上连续函数的性质。十六、多元函数的微分学偏导数
6、及其几何意义，全微分概念，全微分的几何意义，全微分存在的充分条件，全微分在近似计算中的应用，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，混合偏导数与其顺序无关性，高阶导数，高阶微分，二元函数的泰勒定理，二元函数的极值。十七、隐函数定理隐函数概念、隐函数定理、隐函数求导。隐函数组概念、隐函数组定理、隐函数组求导、反函数组与坐标变换，函数行列式。几何应用，条件极值与拉格朗日乘数法。十八、含参量积分含参量积分概念、连续性、可积性与可微性，积分顺序的交换。含参量反常积分的收敛与一致收敛，一致收敛的柯西准则。维尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法。连续性、可积性与可微性，Gamma函数。十九、曲线积分第一型和第二型曲线积分概念与计算，两类曲线积分的联系。二十、重积分二重积分定义与存在性，二重积分性质，二重积分计算（化为累次积分）。格林（Green）公式，曲线积分与路径无关条件。二重积分的换元法（极坐标与一般变换）。三重积分定义与计算，三重积分的换元法（柱坐标、球坐标与一般变换）。重积分应用（体积，曲面面积，重心、转动惯量、引力等）。无界区域上的收敛性概念。无界函数反常二重积分。在一般条件下重积分变量变换公式。二十一、曲面积分曲面的侧。第一型和第二型曲面积分概念与计算，高斯公式。斯托克斯公式。场论初步（梯度场、散度场、旋度场）。3 / 3
