1、整体把握小学数学整体把握小学数学从数学的角度从数学的角度首都师范大学首都师范大学王尚志王尚志问题问题 不增加学习时间和强度，有什么办法不增加学习时间和强度，有什么办法提高学习、教学效率？提高学习、教学效率？如何让学生喜欢您如何让学生喜欢您喜欢数学？喜欢数学？如何调动学生学习激情、主动精神？如何调动学生学习激情、主动精神？“做得快做得快”是数学教育主要价值追求？是数学教育主要价值追求？如何帮助学生学会学习？如何帮助学生学会学习？从一节课的教学设计说起从一节课的教学设计说起 百分数教学设计百分数教学设计 教学内容教学内容 本节课是在学生学习了分数后，要学习本节课是在学生学习了分数后，要学习的一个经
2、常使用的概念，教师设计的一节的一个经常使用的概念，教师设计的一节概念课。概念课。百分数概念课百分数概念课 教学目标教学目标 1、理解百分数的概念和意义；、理解百分数的概念和意义；2、了解百分数与分数差异，体会为什么引、了解百分数与分数差异，体会为什么引入百分数；入百分数；3、初步了解百分数的应用；、初步了解百分数的应用；4、让学生经历独立学习和合作学习过程、让学生经历独立学习和合作学习过程。百分数概念课百分数概念课 教学形式教学形式 本节课教师主要采用独立学习与小组合作结合方式进行本节课教师主要采用独立学习与小组合作结合方式进行教学活动。主要步骤：教学活动。主要步骤：1、教师将全班同学进行分组
3、；、教师将全班同学进行分组；2、确定需要研讨的问题串；、确定需要研讨的问题串；3、提出学生在独立思考的要求；、提出学生在独立思考的要求；4、分工合作、交流提升、集体分享等过程；最后，通过、分工合作、交流提升、集体分享等过程；最后，通过学生的学习，分享结果，形成一个资源包，从而保证每个学生的学习，分享结果，形成一个资源包，从而保证每个学生都能有所收获。学生都能有所收获。百分数概念课百分数概念课 研讨问题串研讨问题串研讨要求研讨要求 1、了解周围的人是如何认识百分数？、了解周围的人是如何认识百分数？2、什么是百分数？、什么是百分数？3、为什么学习百分数？百分数与分数有什么差异？、为什么学习百分数？
4、百分数与分数有什么差异？4、在那些背景下使用百分数？在那些背景下使用百分数？百分数概念课百分数概念课研讨问题串研讨问题串研讨要求研讨要求课前，各个小组完成和思考的任务。课前，各个小组完成和思考的任务。收集并整理周围成人对以下问题认识，并提出自己的认识：收集并整理周围成人对以下问题认识，并提出自己的认识：什么是百分数；什么是百分数；百分数与分数差异；百分数与分数差异；在哪些实际背景下有用；在哪些实际背景下有用；（要求：每一个同学独立完成，汇总后，再由小组组长和两个同学（要求：每一个同学独立完成，汇总后，再由小组组长和两个同学一起整理，教师需要进行比较细致指导、要求。）一起整理，教师需要进行比较细
5、致指导、要求。）（这一节课安排在星期一，课前的工作在上周末完成。）（这一节课安排在星期一，课前的工作在上周末完成。）百分数概念课百分数概念课研讨问题串研讨问题串研讨要求研讨要求课上，教师组织交流、抽象、总结。课上，教师组织交流、抽象、总结。1、每个问题有两个小组为主，集体进行汇报，其他小组补充，讨论；、每个问题有两个小组为主，集体进行汇报，其他小组补充，讨论；2、教师即时引导，把握进度、集中主题；、教师即时引导，把握进度、集中主题；3、讨论完，由教师总结。、讨论完，由教师总结。课后，课后，对每一个问题，汇报小组进行整理，并展示。对每一个问题，汇报小组进行整理，并展示。百分数概念课百分数概念课
6、评论：评论：学生感兴趣，每个人都能参与进来。学生感兴趣，每个人都能参与进来。这节课的设计真的让学生开动脑筋思考，想问这节课的设计真的让学生开动脑筋思考，想问题，印象深刻。题，印象深刻。教学设计不是仅仅以让学生教学设计不是仅仅以让学生“学会学会”为目的，为目的，而是以学生而是以学生“会学会学”为目的的。为目的的。小组合作不仅仅是留于形式而是真正有价值的。小组合作不仅仅是留于形式而是真正有价值的。背背 景景自上而下自上而下国家在行动国家在行动 教育部提出教育部提出“立德树人立德树人”工程工程 正在正在研制学生研制学生具备具备“核心素养核心素养”和和学科学科“核心素养核心素养”推出推出“招生、考试改
7、革方案招生、考试改革方案”试点试点“入职教师国家考试入职教师国家考试”背背 景景 最大的动力最大的动力 教育的理想、追求教育的理想、追求背背 景景 过程好了结果不会差过程好了结果不会差 学生动起来结果会更好！学生动起来结果会更好！Todays economy means multiple jobs and on-going development to build transferable competencies20th Century21st Century1 2 Jobs10 15 JobsCritical Thinking Across DisciplinesIntegration o
8、f 21st Century Skills intoSubject Matter MasteryMastery ofOne FieldSubjectMatterMasteryNumber ofJobs:JobRequirement:Teaching Model:SubjectMatterMasteryIntegration of 21stCentury Skills intoSubject MatterMasteryAssessment Model:5Are we asking the right questions?Why 21st Century Skills?Are our studen
9、ts critical thinkers and problem solvers?我们学生是否具有批判思考和问题解决的人？Are our students globally aware?我们学生是否具有全球意识？Are our students self-directed?我们学生是否具有自我定向能力？Are our students good collaborators?我们学生是否是好的合作者？Are we asking the right questions?Why 21st Century Skills?Are our students information and technolo
10、gy literate?我们学生是否拥有信息技术意识？Are our students flexible and adaptable?我们学生是否具有灵活和适应能力？Are our students innovative?我们学生是否具有创造意识和能力？Are our students effective communicators?我们学生能否进行有效交流能力？P21 MembersWhy 21st Century Skills?对雇佣的高中毕业生，什么能力对职业成功是最重要的?职业道德80%与人合作75%良好的交流能力70%社会责任感63%具有批判思维和问题解决能力58%Why 21st
11、Century Skills?对你们最近雇佣的高中毕业生，他们最缺乏的是什么？文本表达交流能力81%领导能力73%职业道德70%具有批判思维和问题解决能力70%自我定向能力58%Why 21st Century Skills?对于你们将要雇佣的本科毕业生，那些能力和基本知识是最重要的？What applied skills and basic knowledge are most important for those you will hire with a four-year college diploma?口头交流能力95.4%合作能力94.4%职业道德93.8%文本表述和交流能力93.
12、1%具有批判思维和问题解决能力93.1%对你们近期雇佣的本科毕业生，如何评价他们的这些能力？Of the four-year graduates you recently hired,how do they rate?Why 21st Century Skills?63.456.464.667.365.49.027.818.68.19.816.8职业道德27.6具有批判思维和问题解决能力15.8文本表述和交流能力24.6合作能力24.8口头交流能力DeficientExcellentAdequateWhy 21st Century Skills?在今后五年中，那些能力需要重点提升？What s
13、kills and content areas will be growing in importance in the next five years?质疑、批判能力78%I.T.（信息技术）77%身心健康76%合作能力74%创造（新）能力74%个人奋斗能力72%Overview:21st Century Competencies and Skills21世纪基本能力几种看法世纪基本能力几种看法基本结构基本结构THE 4 PILLARS OF A COMPETENCY-BASED EDUCATION Learning to Know（学会学习）（学会学习）Learning to Do（学会做
14、事）（学会做事）Learning to Live and Work Together（学会与人共同生活、工作）（学会与人共同生活、工作）Learning to Be（学会做人）（学会做人）Source:Report presented to UNESCO by the International Commission on Education for the 21st Century“Learning:the treasure within”,1996.认识数学课程内容的三个基点：认识数学课程内容的三个基点：21世纪基本能力世纪基本能力 社会、科学技术的发展社会、科学技术的发展 数学沿革、发展
15、数学沿革、发展 实际需求实际需求 认识数学新课程变化三个基本视角：认识数学新课程变化三个基本视角：数学视角数学视角 教育视角教育视角 学生视角学生视角数学的角度数学的角度 对数学和数学教育有比较科学的认识对数学和数学教育有比较科学的认识 整体把握数学和数学课程整体把握数学和数学课程 努力抓住数学的本质努力抓住数学的本质数学的角度数学的角度 著名数学家华罗庚著名数学家华罗庚 能把书读厚能把书读厚联系、整体联系、整体 能把书读薄能把书读薄本质本质关键词关键词 正确正确认识数学认识数学 整体把握数学课程整体把握数学课程基本脉络基本脉络 数学本质数学本质 四四基基和四能和四能：基本知识、基本技能、基本
16、思想、基本活动基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验经验 发现、提出和分析、解决问题能力发现、提出和分析、解决问题能力 整体把握整体把握数学与数学教育数学与数学教育 数学是研究现实中数量关系和空间形式数学是研究现实中数量关系和空间形式的科的科学。学。恩格斯恩格斯 数学是研究数量关系和空间形式的科学数学是研究数量关系和空间形式的科学 前苏联前苏联“数学的内容、方法、意义数学的内容、方法、意义”数学是研究模式与秩序的科学。数学是研究模式与秩序的科学。“2061”计划计划 把数学科学与自然科学的并列。把数学科学与自然科学的并列。“2061”计划计划整体把握整体把握数学与数学教育数学与数学教育 数
17、学是科学，数学是科学，数学是理论，数学是理论，数学是语言，数学是语言，数学是工具，数学是工具，数学是技术，数学是技术，数学是文化，数学是文化，数学是伙伴，数学是伙伴，整体把握整体把握数学与数学教育数学与数学教育数学的基本特征：数学的基本特征：抽象性抽象性 严格性严格性 应用广泛性应用广泛性数学基本数学基本思想思想举例：鸡兔同笼举例：鸡兔同笼 抽象抽象 推理推理 模型模型整体把握整体把握数学与数学教育数学与数学教育数学教育在国家发展中的作用数学教育在国家发展中的作用 几个世纪以来，国家的崇高地位、安全、康宁几个世纪以来，国家的崇高地位、安全、康宁和发展总是与国民能力紧密联系在一起，这种能和发展总
18、是与国民能力紧密联系在一起，这种能力又会受到面向各种复杂事物观念的影响。引导力又会受到面向各种复杂事物观念的影响。引导社会发展需要数学能力，数学能力会给国家带来社会发展需要数学能力，数学能力会给国家带来发展优势，在医学和健康，技术和商业，航行和发展优势，在医学和健康，技术和商业，航行和太空探索，防御和金融，等等方面，另外，在分太空探索，防御和金融，等等方面，另外，在分析过去失败经验和预测未来发展的能力等方面带析过去失败经验和预测未来发展的能力等方面带来优势。历史上这样的例子比比皆是。来优势。历史上这样的例子比比皆是。整体把握整体把握数学与数学教育数学与数学教育数学教育在个人发展中作用数学教育在
19、个人发展中作用 在数学教育方面的成功对于公民个人也是十分重要在数学教育方面的成功对于公民个人也是十分重要的，因为数学教育有助于他们进大学深造、增加就业选的，因为数学教育有助于他们进大学深造、增加就业选择，还有助于在未来的职业中获得较好的待遇。择，还有助于在未来的职业中获得较好的待遇。总之，学好数学有助于学生获得更广阔的发展空间。总之，学好数学有助于学生获得更广阔的发展空间。国家科学委员会预示，与数学有密切联系的科学和工程国家科学委员会预示，与数学有密切联系的科学和工程方面劳动力需求增长速度和总的职业需求增长速度相比，方面劳动力需求增长速度和总的职业需求增长速度相比，比值为比值为3：1。整体把握
20、整体把握数学与数学教育数学与数学教育 两千多年来，人们一直认为每一个受教育者都必须具备一定两千多年来，人们一直认为每一个受教育者都必须具备一定的数学知识。但是，今天，数学教育的传统地位却陷入了严的数学知识。但是，今天，数学教育的传统地位却陷入了严重的危机之中，而且遗憾的是数学工作者要对此负一定的责重的危机之中，而且遗憾的是数学工作者要对此负一定的责任。数学教学有时竟演变成空洞的解题训练，这种训练虽然任。数学教学有时竟演变成空洞的解题训练，这种训练虽然可以提高形式推理的能力，但却不能导致真正的理解与深入可以提高形式推理的能力，但却不能导致真正的理解与深入的独立思考。数学研究已经出现一种过分专门化
21、和过于强调的独立思考。数学研究已经出现一种过分专门化和过于强调抽象的趋势，而忽视了数学的应用以及与其他领域的联系。抽象的趋势，而忽视了数学的应用以及与其他领域的联系。不过，这种状况不能证明紧缩数学教育政策是合理的。相反，不过，这种状况不能证明紧缩数学教育政策是合理的。相反，那些醒悟到培养思维重要性的人，必然会采取完全不同的做那些醒悟到培养思维重要性的人，必然会采取完全不同的做法，即更加重视和加强数学教学。教师、学生和一般受过教法，即更加重视和加强数学教学。教师、学生和一般受过教育的人都要求数学家有一个建设性的改造，而不是听其自然，育的人都要求数学家有一个建设性的改造，而不是听其自然，其目的是要
22、真正理解数学是一个有机的整体，是科学思考与其目的是要真正理解数学是一个有机的整体，是科学思考与行动的基础。行动的基础。R.柯朗（柯朗（1941年，什么是数学的序言）年，什么是数学的序言）受学校教育的影响，一般人认为数学仅仅是对科学家、受学校教育的影响，一般人认为数学仅仅是对科学家、工程师，或许还有金融家才有用的一系列技巧。这样的教工程师，或许还有金融家才有用的一系列技巧。这样的教育导致了对这门学科的厌恶和对它的忽视。育导致了对这门学科的厌恶和对它的忽视。由于学校数学教学的影响，这些权威性的诊断和流行的由于学校数学教学的影响，这些权威性的诊断和流行的看法，竟被认为是正确的！数学学科并不是一系列的
23、技巧，看法，竟被认为是正确的！数学学科并不是一系列的技巧，这些技巧只不过是它微不足道的方面：它们远不能代表数这些技巧只不过是它微不足道的方面：它们远不能代表数学，就如同调配颜色远不能当作绘画一样。技巧是将数学学，就如同调配颜色远不能当作绘画一样。技巧是将数学的激情、推理、美和深刻的内涵剥落后的产物。如果我们的激情、推理、美和深刻的内涵剥落后的产物。如果我们对数学的本质有一定的了解，就会认识到数学在形成现代对数学的本质有一定的了解，就会认识到数学在形成现代生活和思想中起重要作用这一断言并不是天方夜谭。生活和思想中起重要作用这一断言并不是天方夜谭。M.克莱因克莱因整体把握整体把握数学与数学教育数学
24、与数学教育整体把握：大学数学课程分类整体把握：大学数学课程分类 分析类数学课程：分析类数学课程：研究函数以及与函数有关的问题的课程。研究函数以及与函数有关的问题的课程。数学分析，数学分析，复变函数，复变函数，实变函数，实变函数，常微分方程，常微分方程，偏微分方程，偏微分方程，数值计算，数值计算，泛函分析，泛函分析，与这些课程有联系的拓展类课程：三角级数，调和分析，与这些课程有联系的拓展类课程：三角级数，调和分析，函数逼近论等等。函数逼近论等等。整体把握：大学数学课程分类整体把握：大学数学课程分类 代数类数学课程：研究运算以及与运算有关的课代数类数学课程：研究运算以及与运算有关的课程。程。高等代
25、数（线性代数、多项式理论），高等代数（线性代数、多项式理论），抽象代数，抽象代数，群伦，群伦，有限群及其应用，有限群及其应用，环论，环论，域论，域论，与这些课程有联系的拓展类课程：交换代数，非与这些课程有联系的拓展类课程：交换代数，非交换代数，半论，等等。交换代数，半论，等等。整体把握：大学数学课程分类整体把握：大学数学课程分类 几何类数学课程：研究图形以及与图形有关的课几何类数学课程：研究图形以及与图形有关的课程。程。解析几何，解析几何，射影几何（高等几何），射影几何（高等几何），微分几何，微分几何，点集拓扑，点集拓扑，代数拓扑，代数拓扑，微分拓扑，微分拓扑，微分流形，微分流形，许多相关课程
26、：代数几何，旋论，形论，等许多相关课程：代数几何，旋论，形论，等整体把握：大学数学课程分类整体把握：大学数学课程分类 统计、概率类数学课程：统计、概率类数学课程：统计，统计，概率，概率，许多相关课程：随机微分方程，等等许多相关课程：随机微分方程，等等整体把握：大学数学课程分类整体把握：大学数学课程分类 应用类数学课程应用类数学课程 运筹学运筹学线性规划、整数规划、非线性规划线性规划、整数规划、非线性规划 优化课程优化课程 离散数学课程离散数学课程图论、图论、学科应用课程学科应用课程生物数学、生物数学、经济、金融类数学类课程经济、金融类数学类课程 计算类课程计算类课程 理论物理类数学课程理论物理
27、类数学课程 图像识别类数学课程图像识别类数学课程 等等等等 算法与计算机课程算法与计算机课程 整体把握：高中数学课程整体把握：高中数学课程 的主要脉络的主要脉络高中数学主要脉络函数函数 几何几何 运算运算 统计、概率统计、概率 应用应用 算法算法初中数学：内容结构初中数学：内容结构 数数与代数与代数 图形与几何图形与几何 统计与概率统计与概率 综合与实践综合与实践数与代数数与代数初中初中 数数、字母、字母与运算与运算 运算对象认识运算对象认识 运算背景认识运算背景认识 运算法则运算法则 运算应用运算应用 数与代数数与代数初中初中 量、量、关系关系与模型与模型 量的认识量的认识 从算术到代数：模
28、型从算术到代数：模型 常量模型：方程与不等式常量模型：方程与不等式 变量模型：函数模型变量模型：函数模型 简单数学建模：模型简单数学建模：模型分类、识别、确定分类、识别、确定图形与几何图形与几何初中初中 图形图形分类分类 空间图形空间图形 平面图形平面图形 直线图形、曲线直线图形、曲线图形图形 图形与几何图形与几何初中初中 基本基本几何图形与基本关系：几何图形与基本关系：基本图形基本图形 长方体、直角坐标系长方体、直角坐标系 圆圆 等腰三角形？等腰三角形？基本关系基本关系 图形组成要素的等、不等量关系图形组成要素的等、不等量关系 图形间全等关系图形间全等关系 图形间相似关系图形间相似关系 图形
29、间对称关系图形间对称关系 图形间投影关系图形间投影关系 图形与几何图形与几何初中初中 研究图形的基本方法研究图形的基本方法 综合推理综合推理 运动与变换运动与变换 坐标系与代数方法坐标系与代数方法 度量与度量与积分积分 几何（图形）应用几何（图形）应用 运用图形描述问题运用图形描述问题 运用图形发现解决问题思路运用图形发现解决问题思路 运用图形表示（记忆）结果和解决问题过程运用图形表示（记忆）结果和解决问题过程 统计与概率统计与概率初中初中 统计统计 数据分析全过程数据分析全过程 从数据中提取信息从数据中提取信息 统计实际应用统计实际应用 概率概率 随机现象基本特征与识别随机现象基本特征与识别
30、 古典概型初步古典概型初步综合与实践综合与实践初中初中 综合：综合：综合数学讨论某些数学问题综合数学讨论某些数学问题 综合数学讨论某些实际问题综合数学讨论某些实际问题 体会与积累：体会与积累：数学数学实践活动全过程实践活动全过程 积累积累数学活动经验数学活动经验小学数学：内容结构小学数学：内容结构 数数与代数与代数 图形与几何图形与几何 统计与概率统计与概率 综合与实践综合与实践小学数学：内容结构小学数学：内容结构 数数与与代数代数 数量、数、字母与运算数量、数、字母与运算 量量、关系与模型、关系与模型 图形与几何图形与几何 图形与分类图形与分类 图形基本关系图形基本关系 研究方法研究方法 图
31、形应用图形应用小学数学：内容结构小学数学：内容结构 统计统计与与概率概率 数据与数据处理数据与数据处理 概率初步认识概率初步认识 综合与综合与实践实践 数学综合数学综合 数学应用数学应用数与代数数与代数小学小学 数量与数、运算与估算数量与数、运算与估算 运算运算 从数量到数从数量到数从数量运算到数运算从数量运算到数运算 运算对象运算对象认识：数与数的表示认识：数与数的表示 运算背景认识运算背景认识 运算法则运算法则 运算运算应用应用 估算估算 估算要素：单位、误差、近似（逼近）估算要素：单位、误差、近似（逼近）估算分类估算分类 数与代数数与代数小学小学 数量与数、运算与估算数量与数、运算与估算
32、 运算运算 自然数及其运算自然数及其运算 自然数自然数的功能和表示的功能和表示进进制制 为什么为什么数数是学习数学的基础数数是学习数学的基础？整整“个个”数数数数整整“十十”数数数数整整“百百”整整“千千”数数数数 数数与加法数数与加法定义定义 从一位数加到多位数的加从一位数加到多位数的加 数与代数数与代数小学小学 数量与数、运算与估算数量与数、运算与估算 运算运算 自然数及其运算自然数及其运算 加、减、乘、除的顺序加、减、乘、除的顺序 不讲加可否讲减？不讲加可否讲减？不讲加、减，可否讲除？不讲加、减，可否讲除？数与代数数与代数小学小学 数量与数、运算与估算数量与数、运算与估算 运算运算 自然
33、数及其运算自然数及其运算 加、减、乘、除运算的意义加、减、乘、除运算的意义 乘是加的简便运算乘是加的简便运算乘的概念、乘对加的分配乘的概念、乘对加的分配 除的意义：平均分、包含、乘的逆运算除的意义：平均分、包含、乘的逆运算 数与代数数与代数小学小学 数量与数、运算与估算数量与数、运算与估算 运算运算 分数及其运算分数及其运算 分数的意义分数的意义 分数与除法分数与除法 分数与分数与单位单位 “加、减、除加、减、除”归为同单位归为同单位 “乘乘”产生新单位产生新单位 分数与百分数分数与百分数 分数与比分数与比 分数与小数分数与小数 数与代数数与代数小学小学 数量与数、运算与估算数量与数、运算与估
34、算 运算运算 分数及其运算分数及其运算 分数的运算分数的运算单位作用单位作用 分数与整数分数与整数运算运算归为同单位归为同单位 加加 减减 除除 分数的乘法分数的乘法运算运算产生新单位产生新单位 数与代数数与代数小学小学 数量与数、运算与估算数量与数、运算与估算 估算估算 估算要素：单位、误差、近似（逼近）估算要素：单位、误差、近似（逼近）估算分类估算分类 度量估计度量估计 比较：两个量比较；与上、下界比较；决定范围比较：两个量比较；与上、下界比较；决定范围 求近似值求近似值 数与代数数与代数小学小学 数量、数量、关系关系与模型与模型 数量的认识与分类数量的认识与分类 数量与运算数量与运算 基
35、本实际模型基本实际模型：“路程、速度、时间路程、速度、时间”模型模型 “总价、单价、数量总价、单价、数量”模型模型 模型抽象：模型抽象：正比例关系与反比例关系正比例关系与反比例关系 方程初步方程初步 简单数学建模：简单数学建模：初步学习进行量、量的关系分析初步学习进行量、量的关系分析数与代数数与代数小学小学 数量、数量、关系关系与模型与模型 数量的认识、分类数量的认识、分类 几何量几何量 生活量生活量 物理量物理量 数与代数数与代数小学小学 数量、数量、关系关系与模型与模型 数量数量数数运算运算 一类量一类量运算运算 两类量两类量运算运算 三种量关系三种量关系加、减加、减 在在同同一类事物（同
36、一个量）范围一类事物（同一个量）范围，按加，按加减法分类减法分类两类两类 反映的都是部分与总数关系（求总数，求部分数）分别对应：有3只小鸟，又飞来6只，一共是几只？俩人一共有10个梨，一个人有4个，另一个人有几个？加、减加、减 两类事物（两个量）的两类事物（两个量）的数量比较，按加数量比较，按加减法分类减法分类三类三类 反映两个量的数量：大的、小的与差的关系（求相差数，求大数，求小数）。分别对应：学校里养了12只白兔，7只黑兔，白兔比黑兔多几只？学校里养了7只黑兔，白兔比黑兔多5只。学校里养了几只白兔？学校里养了12只白兔，黑兔比白兔少5只。学校里养了几只黑兔？乘、除乘、除 在在同同一类事物（
37、同一个量）范围一类事物（同一个量）范围，按，按乘、乘、除法除法分类分类三类三类 反映这个量的总数数与各部份（各部分数量相同）的关系：知道每份数和份数，求总数：同学们浇树，每人浇4棵，3个人一共浇多少棵？知道总数和份数，求每份数：15条金鱼，平均放在3个鱼缸里，每个鱼缸放几条？知道总数和每份数，求份数。15条金鱼，每个鱼缸里放3条，要用几个鱼缸？乘、除乘、除 两类事物（两个量）的两类事物（两个量）的数量比较，按数量比较，按乘、除法乘、除法分类分类三类三类 反映两个量的倍数关系：知道大量的数量和小量的数量，求大的是小的几倍数：饲养组养了12只小鸡，3只小鸭。小鸡的只数是小鸭的几倍？知道小量的数量和
38、大量对小量的倍数，求大量的数量：美术小组做黄花7朵，做红花的朵数是黄花的5倍。做了多少朵红花？知道大量的数量和大量对小量的倍数，求小量的数量或求1倍数：小林家养了36只母鸡，正好是公鸡只数的9倍。小林家养几只公鸡？数与代数数与代数小学小学 数量、数量、关系关系与模型与模型 基本实际模型基本实际模型：“路程、速度、时间路程、速度、时间”模型模型 “总价、单价、数量总价、单价、数量”模型模型 典型应用问题典型应用问题 三个量形成基本关系三个量形成基本关系 具体实际模型具体实际模型 反映反映“路程、速度、时间路程、速度、时间”基本模型基本模型 反映反映“总价、单价、数量总价、单价、数量”基本模型基本
39、模型 其他，例如其他，例如 反映反映“工程总量、进度、时间工程总量、进度、时间”基本模型基本模型 数量关系：绝对大小关系数量关系：绝对大小关系绝对变化绝对变化 相对大小关系相对大小关系相对变化相对变化 （速度、单价、进度、等等）（速度、单价、进度、等等）数与代数数与代数小学小学 数量、数量、关系关系与模型与模型 模型抽象：模型抽象：正比例关系与反比例关系正比例关系与反比例关系 数与代数数与代数小学小学 数量、数量、关系关系与模型与模型 方程初步方程初步 加数加数+加数加数 和和 和和 加数加数 差差 被乘数被乘数乘数乘数 积积 被除数被除数除数除数 商商数与代数数与代数小学小学 数量、数量、关
40、系关系与模型与模型 简单数学建模：简单数学建模：初步学习进行量、量的关系分析初步学习进行量、量的关系分析小学数学：内容结构小学数学：内容结构 图形与几何图形与几何 图形与分类图形与分类 基本图形与基本关系基本图形与基本关系 研究方法研究方法 图形应用图形应用图形与几何图形与几何小学小学 图形与分类图形与分类 空间图形空间图形 平面图形平面图形 直线图形、曲线直线图形、曲线图形图形 图形与几何图形与几何小学小学 基本图形与基本关系：基本图形与基本关系：基本图形基本图形 数轴数轴 方格纸方格纸 圆、等腰三角形？圆、等腰三角形？基本关系基本关系 图形变换：平移、轴对称、旋转图形变换：平移、轴对称、旋
41、转 图形与几何图形与几何小学小学 什么是几何直观什么是几何直观？建立实物与图形关系建立实物与图形关系 建立图形与数学关系建立图形与数学关系 用图形描述数学问题用图形描述数学问题 通过通过图形发现解决问题思路图形发现解决问题思路 借助图形理解、记忆数学结果借助图形理解、记忆数学结果 让图形帮助我们学习数学！让图形帮助我们学习数学！图形与几何图形与几何小学小学 研究图形的基本方法研究图形的基本方法 综合推理综合推理 运动与变换运动与变换 方格纸方格纸坐标系坐标系与代数方法与代数方法 度量与度量与积分积分 一些典型问题一些典型问题 从算术到代数从算术到代数 从算术到代数从算术到代数例子：鸡兔同笼问题
42、例子：鸡兔同笼问题 问题：一支铅笔4元，一支钢笔7元，共有46元买10支笔，应如何购买？问题：一个笼子里装着一些兔子和鸡，共计20只，它们56条腿，试问：兔子和鸡各有多少？从算术到代数从算术到代数例子：鸡兔同笼问题例子：鸡兔同笼问题 算术方法（一）尝试（猜测）算术方法（一）尝试（猜测）调整调整 有的学生尝试：买4支铅笔6支钢笔，供需要58元。调整：只有46元，不足，只能少买一些钢笔；买1支钢笔9支铅笔，可否？需43元。再调整：自己有46元，还可多买钢笔；买2支钢笔8支铅笔，恰为46元。从算术到代数从算术到代数例子：鸡兔同笼问题例子：鸡兔同笼问题 算术方法（二）穷举、列表算术方法（二）穷举、列表
43、 有的学生 罗列所有的可能：从0支铅笔、10支钢笔；1支铅笔、9支钢笔；10支铅笔、0支钢笔。把各种情况下所需的钱算出来。最后作出判断。这种方法好吗？有没有逻辑？给我们什么启示？这种方法好吗？有没有逻辑？给我们什么启示？从算术到代数从算术到代数例子：鸡兔同笼问题例子：鸡兔同笼问题 算术方法（三）假设，推理算术方法（三）假设，推理 假设都买成铅笔，供需假设都买成铅笔，供需40元；元；（46 40）/（7 47 4）=2=2 结果：买结果：买 8 8支铅笔，支铅笔，2 2 支钢笔。支钢笔。为什么？为什么？从算术到代数从算术到代数例子：鸡兔同笼问题例子：鸡兔同笼问题 代数方法：1、量的分析 铅笔每支
44、4元、钢笔每支7元 （1）铅笔的数量、钢笔的数量 （2）铅笔和钢笔的总量10支 （3）一共拥有46元 （4）其中(1)(3)(4)是已知量,(2)是未知量.这些在讨论问题过程中都是不变的。从算术到代数从算术到代数例子：鸡兔同笼问题例子：鸡兔同笼问题 2、等量关系 让学生用自然语言叙述等量关系 等量关系1：铅笔、钢笔的数量之和是10支。等量关系2：买铅笔和钢笔的费用之和是46元。3、设未知数、列方程 第一种列方程方式：设未知量铅笔的支数为x，利用等量关系1：钢笔的数量为10-x,这样，利用等量关系2，有：4x+7(10-x)=46。从算术到代数从算术到代数例子：鸡兔同笼问题例子：鸡兔同笼问题 第
45、二种列方程方式：设铅笔的支数为x，钢笔的支数为y，则 x+y=10 （利用等量关系1）4x+7y=46 （利用等量关系2）4、解方程。从算术到代数从算术到代数例子：鸡兔同笼问题例子：鸡兔同笼问题有两种思维方法：算术方法：尝试，调整 穷举，列表 假设，推理 代数方法：分析问题中的量，确定等量关 系，设未知数，列方程（不同方式），解方程。从算术到代数从算术到代数例子：鸡兔同笼问题例子：鸡兔同笼问题尝试尝试调整调整 求 的值 二分法 排序 优选法 微积分、数值计算等大部分数学课程 这种方法本质上是“逼近”，在数学研究特别是数学应用中，她是非常基本得数学思想，也是一种重要的方法。2 从算术到代数从算术
46、到代数例子：鸡兔同笼问题例子：鸡兔同笼问题穷举，列表穷举，列表 学生很容易在老师的诱导下，通过穷举、列表法做出判断。在“分类分类”讨论是数学思考问题的基本思讨论是数学思考问题的基本思想想，穷举、列表等是最基本、重要的一种方法。为了把所有的情况表示清楚，我们常常采用这种方法。从算术到代数从算术到代数例子：鸡兔同笼问题例子：鸡兔同笼问题假设、推理假设、推理 假设有10支铅笔，0支钢笔，则一共需要40元。如何使用余下的6元？我们知道：1支钢笔7元=1支铅笔4元+3元 这样，可以用2支铅笔加6元换两支钢笔。由此可知 46元可买8支铅笔，2支钢笔。从算术到代数从算术到代数例子：鸡兔同笼问题例子：鸡兔同笼
47、问题 算术方法小结：从数学上来讲，前两种方法更重要一些，它们体现了数学基本思想逼近、分类逼近、分类。它们也是数学的通性通法，在今后学习中非常有用。希望老师帮助学生掌握。从学生认知来说，前两种方法也是学生容易接受的方法。它们反映了比较自然的解决问题过程。很多老师更喜欢用第三种方法来解决类似问题，但这对于部分学生有一定难度。从算术到代数从算术到代数例子：鸡兔同笼问题例子：鸡兔同笼问题 代数方法代数方法方程：方程：1、量的分析、量的分析2、等量关系、等量关系3、设未知数、列方程、设未知数、列方程4、解方程解方程5、讨论解的实际意义、讨论解的实际意义 从算术到代数从算术到代数例子：鸡兔同笼问题例子：鸡
48、兔同笼问题 代数方法特征：分析规律 表示规律 解决问题 讨论问题的意义 从算术到代数从算术到代数例子：鸡兔同笼问题例子：鸡兔同笼问题 算术方法算术方法 基本特征：算基本特征：算数（加数（加减、乘、除）减、乘、除）基本特征：用基本特征：用“术术”算（有规律地算）算（有规律地算）基本特征：不同的算法基本特征：不同的算法 不同的计算途径或程序不同的计算途径或程序 基本特征：解决一个一个的具体问题基本特征：解决一个一个的具体问题 通过通过“术术”和和“算算”解决的问题是算术问题。解决的问题是算术问题。通过通过“术术”和和“算算”体现逻辑思维体现逻辑思维演绎。演绎。从算术到代数从算术到代数例子：鸡兔同笼
49、问题例子：鸡兔同笼问题代数方法代数方法 基本特征：用字母代替数基本特征：用字母代替数 基本特征：用字母表示规律基本特征：用字母表示规律 量之间的相等关系、不等关系、函数关系量之间的相等关系、不等关系、函数关系 基本特征：通过字母的运算和运算规律基本特征：通过字母的运算和运算规律 解决问题解决问题 基本特征：不同的算法基本特征：不同的算法 不同的计算途径或程序不同的计算途径或程序 基本特征：一类一类地解决问题基本特征：一类一类地解决问题 算术方法与代数方法算术方法与代数方法 共性：共性：通过通过“算算”和和“算律算律”解决问题解决问题 通过通过“算算”和和“算律算律”体现体现数学逻辑思维数学逻辑
50、思维 不同：不同：“算数算数”“算字母算字母”解决具体问题解决具体问题解决一类问题解决一类问题 从算术到代数从算术到代数 例子：鸡兔同笼问题例子：鸡兔同笼问题 从算术到代数从算术到代数例子：鸡兔同笼问题例子：鸡兔同笼问题算术方法与代数方法本质是一致算术方法与代数方法本质是一致 字母代表是数字母代表是数 通过运算和运算规律解决的问题通过运算和运算规律解决的问题。通过通过运算和运算规律体现逻辑思维运算和运算规律体现逻辑思维演绎。演绎。希望改变传统对算术认识：希望改变传统对算术认识：只能用已知量表示未知量只能用已知量表示未知量 从算术到代数从算术到代数例子：鸡兔同笼问题例子：鸡兔同笼问题 算术方法与
