1、 歌德巴赫歌德巴赫猜想猜想:这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理(简称;归纳).简言之简言之归纳推理是部分到整体、有个别到一般的推理。12 nnna1annnaaa11nan1n2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.多面体多面体面数面数(F)(F)顶点数顶点数(V)(V)棱数棱数(E)(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59
2、 98 8多面体多面体面数面数(F)(F)顶点数顶点数(V)(V)棱数棱数(E)(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 86 66 68 86 612128 812126 61010多面体多面体面数面数(F)(F)顶点数顶点数(V)(V)棱数棱数(E)(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 86 66 68 86 6121
3、28 812126 610107 77 79 916169 91010151510101515F+V-E=2F+V-E=2猜想欧拉公式归纳推理的基础归纳推理的作用归纳推理观察、分析发现新事实、获得新结论由部分到整体、个别到一般的推理归纳推理的结论不一定成立 由两类对象具有某些类似特征和其中由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征一类对象的某些已知特征,推出另一类对推出另一类对象也具有这些特征的推理象也具有这些特征的推理,称为称为类比推理类比推理(简称类比简称类比).).简言之简言之，类比推理是特殊到特殊的，类比推理是特殊到特殊的推理。推理。类比推理的定义类比推理的定义:例如例如:
4、1.:1.仿照鱼类的外型和它们在水中沉仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理浮的原理,发明了潜水艇发明了潜水艇.3.3.利用平面向量的基本定理利用平面向量的基本定理类比类比得到得到空间向空间向量的基本定理量的基本定理.在我们生活或者数学中在我们生活或者数学中,你还知道哪些类比呢你还知道哪些类比呢?2.仿照蜻蜓的外形和她们在空中飞行的原理，发明了飞机.ba ba ba cbcabcac 22ba 问题：试根据等式的性质猜想不等式的性质。问题：试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：等式的性质：(1)a=ba+c=b+c;(2)a=b ac=bc;(3)a=ba2=b2;等等。等等。猜想不等式
5、的性质：猜想不等式的性质：(1)aba+cb+c;(2)ab acbc;(3)aba2b2;等等。等等。问：这样猜想出的结论是否一定正确？问：这样猜想出的结论是否一定正确？类比推理类比推理.圆的概念和性质圆的概念和性质球的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相与圆心距离不相等的两弦不相等等,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点(x(x0 0,y,y0 0)为圆心为圆心,r,r为半径为半径的圆的方程为的圆的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-+(y-y y0 0)2 2=r=r2 2圆心与弦圆心与弦(非直径非直径)中点的
6、连线中点的连线垂直于弦垂直于弦球心与不过球心的截面球心与不过球心的截面(圆面圆面)的圆心的连线垂直于截面的圆心的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积与球心距离不相等的两截面面积不相等不相等,距球心较近的面积较大距球心较近的面积较大以点以点(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0)为球心为球心,r,r为半为半径的球的方程为径的球的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-+(y-y y0 0)2 2+(z-z+(z-z0 0)2 2=r=r2 2利用圆的性质类比得出球的性质利用圆的性质类比得出球的性质球的体积球的体积3 34
7、4V=RV=R3 3球的表面积球的表面积2 2S=4RS=4R圆的周长圆的周长 S=2RS=2R圆的面积圆的面积2 2S=RS=R从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.合情推理归纳推理类比推理 通过以上例子,我们不难发现其推理过程都是:数学家波利亚说：类比是一个伟大的引路人,求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题.数学家拉普拉斯说:即使在数学里,发现真理的主要工具也是归纳和类比在数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜想和发现结论。证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向。n123设 为把 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则nann1a123设 为把 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则nann1an2a123设 为把 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则nann1an2an3a
