1、二次函数解析式的求法二次函数解析式的求法(1)二次函数解析二次函数解析(常见的三种表示形式常见的三种表示形式)(1)一般式一般式(2)顶点式顶点式(3)交点式交点式)0(2acbxaxy),)0()(2khakhxay顶点坐标（)0,)(0,2)0)()(2121xxXcbxaxyaxxxxay轴轴交交于于两两点点（与与条条件件：若若抛抛物物线线根据下列条件求二次函数解析式根据下列条件求二次函数解析式(1)抛物线过点抛物线过点(0,0)(1,2)(2,3)三点三点解法解法:抛物线过一般三点抛物线过一般三点 通常设一般式将三点坐标代入通常设一般式将三点坐标代入 求出求出a,b,c的值的值解解:设
2、二次函数解析式为设二次函数解析式为:y=ax2+bx+c则则32420cbacbac解得：解得：02521cba所求的抛物线解析式为所求的抛物线解析式为:xxy25221(2)抛物线顶点是抛物线顶点是(2,-1)且过点且过点(-1,2)解法解法(一一)可设一般式列方程组求可设一般式列方程组求a,b,c解法解法(二二)可设顶点式可设顶点式解解:抛物线的顶点为抛物线的顶点为(2,-1)设解析式为设解析式为:y=a(x-2)2-1把点把点(-1,2)代入代入 a(-1-2)2-1=212)2(3131xya所求的解析式为：所求的解析式为：解得：解得：(3)图象与图象与X轴交于轴交于(2,0)(-1,
3、0)且过点且过点(0,-2)解法解法(一一)可设一般式可设一般式解法解法(二二)可设交点式可设交点式解解:抛物线与抛物线与X轴交于点轴交于点(2,0)(-1,0)设解析式为设解析式为:y=a(x-2)(x+1)把点把点(0,-2)代入代入a(0-2)(0+1)=-2解得解得 a=1y=(x-2)(x+1)即即:y=x2-x-2另一些例题讲解另一些例题讲解:1.若抛物线若抛物线y=x2-4x+c(1)过点过点A(1,3)求求c(2)顶点在顶点在X轴上求轴上求c(1)点在抛物线上点在抛物线上,将将A(1,3)代入解析式代入解析式 求得求得 c=6(2)X轴上的点的特点轴上的点的特点(x,0)根据根
4、据顶点的纵坐标为顶点的纵坐标为0求得求得:c=42,若抛物线若抛物线 y=ax2+2x+c 的对称轴是直线的对称轴是直线 x=2 且函数的且函数的最大值最大值是是-3,求求 a,c分析分析:实质知道顶点坐标实质知道顶点坐标(2,-3)且且 为最高点抛物线开口向下为最高点抛物线开口向下034224222aaaca解解:解得解得521ca3.图象与图象与X轴交于轴交于(2,0)(3,0)且函数最小值是且函数最小值是-3分析分析:函数最小值函数最小值:-3即顶点纵坐标即顶点纵坐标 但隐藏着抛物线开口向上这个条件但隐藏着抛物线开口向上这个条件可设一般式来解可设一般式来解.但比较繁但比较繁可设交点式来解
5、可设交点式来解求得的解析式为求得的解析式为:y=12x2-60 x+724,练习练习:求下列二次函数解析式求下列二次函数解析式(1)抛物线抛物线 y=x2-5(m+1)x+2m的对称轴是的对称轴是y轴轴所求的解析式为所求的解析式为:y=x2-2(2)y=(m-3)x2+mx+m+3的最大值是的最大值是0(3)y=ax2+bx+c且且a:b:c=2:3:4,函数有最函数有最 小值小值423解得解得:y=4x2+6x+8(4)抛物线抛物线y=ax2+bx+c的顶点是的顶点是(-1,2),且且a+b+c+2=05,思考题思考题:（求下列二次函数解析式）（求下列二次函数解析式）(1)若抛物线若抛物线y
6、=(m2-2)x2-4mx+n对称轴是对称轴是 直线直线x=2,且最高点在直线且最高点在直线 上上121xy解法解法:可先求出顶点坐标可先求出顶点坐标(2,2)再由题意得再由题意得2)22(42)4()22(42)22(24022mmmnmmm解得解得:m=-1n=-2即：即：y=-x2+4x-2(2)若抛物线若抛物线y=2x2+bx+c过点过点(2,3)且顶点在直线且顶点在直线y=3x-2上上解法：可抓住顶点在直线解法：可抓住顶点在直线y=3x-2上上设抛物线的顶点坐标为（设抛物线的顶点坐标为（m,3m-2)来解来解所求得的抛物线解析式为：所求得的抛物线解析式为：252)23(212)1(2
7、xyxy或或6 (1)抛物线抛物线y=ax2+bx+c与与y=-x2形形状相同状相同,对称轴是直线对称轴是直线x=3,最高点最高点在直线在直线y=x+1上上,求抛物线解析式求抛物线解析式;(2)若若(1)中求得的抛物线的顶点在直中求得的抛物线的顶点在直线线y=x+1上移动到点上移动到点P时时,它与它与X轴交轴交于于(x1,0)(x2,0),且且x12+x22=6,求求P点坐点坐标标Y=-(x-3)2+4Y=-x2+2x+1 P(1,2)7 已知直线已知直线y=kx+b与与x轴相交于轴相交于点点A的横坐标为的横坐标为2,与抛物线与抛物线y=ax2相交于相交于B、C两点两点,且点且点B与点与点P(
8、-1,1)关于关于y轴对称轴对称.(1)求直线和抛物线的解析式求直线和抛物线的解析式;(2)若抛物线上有一点若抛物线上有一点D,使使SAOD =SBOC,求点求点D的坐标的坐标.8 已知抛物线已知抛物线 y=ax2+bx+c 与直线与直线y=kx+4 相交于点相交于点A(1,m),B(4,8),与与x轴交于坐标原点轴交于坐标原点O和点和点C.(1)求直线和抛物线解析式求直线和抛物线解析式.(2)在在x轴上方的抛物线是否存在轴上方的抛物线是否存在D点点,使得使得SOCD=SOCB.若存在若存在,求出所求出所有符合条件的点有符合条件的点;若不存在若不存在,说明理由说明理由.小结小结(1)二次函数解析式的三种表示形式二次函数解析式的三种表示形式(1)一般式一般式(2)顶点式顶点式(3)交点式交点式)0(2acbxaxy)0,)(0,2)0)()(2121xxXcbxaxyaxxxxay轴轴交交于于两两点点（与与条条件件：若若抛抛物物线线),)0()(2khakhxay顶点坐标（
