1、 1 / 9 专题专题 01 01 求几何体外接球和内切球的半径求几何体外接球和内切球的半径 一基础梳理一基础梳理 1.1.求求几几何体的外接球何体的外接球方法综述方法综述： 遇直必径，径垂过心； “阳马” 、 “鱉臑” ，实为方体；对棱相等，体面角线；遇直必径，径垂过心； “阳马” 、 “鱉臑” ，实为方体；对棱相等，体面角线； 两直共斜，斜为球径；两直共斜，斜为球径；三角垂面三角垂面，三心矩形，三心矩形；“正锥正锥”、 “正柱” ，两心直角。、 “正柱” ，两心直角。 参考图形： （1）正四棱锥与圆锥内接于球：解“两心三角形” 。 （2）正三棱柱内接于球、圆柱内接于球：解“两心三角形” 。
2、 2.2.三棱锥的内切球三棱锥的内切球半径的求法半径的求法： 已知三棱锥BCDA的内切球半径为r，则三棱锥BCDA的体积为： rSrSSSSV BCDADBACDABCBCDA 表三棱锥 3 1 )( 3 1 二二题型分解：题型分解： 题型题型一：一：遇直必径，径垂过心；遇直必径，径垂过心； 遇直必径：球面上的三点如果构成直角三角形，则斜边必然是截面的直径。遇直必径：球面上的三点如果构成直角三角形，则斜边必然是截面的直径。 径垂过心：过截面直径与截面垂直的平面必然经过球心径垂过心：过截面直径与截面垂直的平面必然经过球心； 过截面圆心与截面垂直的直线经过球心，即为球的直径。过截面圆心与截面垂直的
3、直线经过球心，即为球的直径。 例 1、 如图， 网格纸上小正方形的边长为 1， 某几何体的三视圈如图所示， 则该几何体的 外接球表面积为( ) A. 9 16 B. 4 25 C. 16 D. 25 2 / 9 4 3 略解：ROO 4 1 ，2 1 AO，RAO. 22 4)4(RR。解得 2 5 R，25 球 S。 例 2、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为_。 略解：平面 ABCD 过小圆直径 AB，且平面 ABCD平面 PAB，所以球心必为矩形 ABCD 的中 心，对角线 BD 即为球的直径，.25, 2 5 , 5 球 SRBD 题型题型二二： “阳马” 、 “鱉
4、臑” ，“阳马” 、 “鱉臑” ，实为实为方体方体： （1 1） “阳马” ：是指具有公共端点两两垂直的三条线段；） “阳马” ：是指具有公共端点两两垂直的三条线段； （2 2） “鳖臑” ：是指连接两条互相垂直的异面直线的端点的线段是两条异面直线的公垂线段。） “鳖臑” ：是指连接两条互相垂直的异面直线的端点的线段是两条异面直线的公垂线段。 实为实为方体方体：三条线段的长即为长方体的长、宽、高。：三条线段的长即为长方体的长、宽、高。 例 3、 （2017 届广州一模，10） 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直 的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑 （1）
5、若三棱锥PABC为鳖臑, PA平面ABC, 2PAAB， 4AC ,三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上, 则球O的表 面积为（ ） A.8 B.12 C.20 D.24 略解：如图，三棱锥 P-ABC 四个面都是直角三角形，可以补型构造长方体。 20532, 2, 242SRcbaACABPA， 。 （也可以类比例 2 求解） （2）若四棱锥ABCDP为阳马，PA平面ABCD, 2PAAB，4AD,四棱锥 ABCDP的五个顶点都在球O的球面上, 则球O的表面积为（ ） A.8 B.12 C.20 D.24 略解：四棱锥可补形成长方体，.24,6 2 222 球 S cba R a b c
6、 c C B A P 3 / 9 例 4、三棱锥 PABC 的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、，则该 三棱锥的外接球的体积是（ ） A B C D8 略解：如图，补型构造长方体，易得，3,21cba 6 2 6 2 222 V cba R 例 5、(2017太原一模)平面四边形 ABCD 中，ABADCD1， BD 2，BDCD，将其沿对角线 BD 折成四面体 ABCD，使平 面 ABD平面 BCD，若四面体 ABCD 的顶点在同一个球面上， 则该球的表面积为( ) A3 B 3 2 C4 D 3 4 略解：线段DCAB、AD构成“鱉臑” ，所以.3 2 3 球 ，SR 题型题型三三：
7、 对棱相等，体面角线。对棱相等，体面角线。 对棱相等对棱相等：四面体的三组对棱分别对应相等。：四面体的三组对棱分别对应相等。 体面角线体面角线：这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线。：这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线。 例 7、 在三棱锥ABCD中，2ABCD，5ADBCACBD， 则三棱锥ABCD 外接球的半径为_。 略解：如图，补型构造长方体。 5 5 2 22 22 22 ac cb ba ， 2 6 2 222 cba R。 2 2 3 2 6 2 2 3 8 2 3 66 a b c c A P B C a b c c A B D C 4 / 9 题型题型四四： 两直两直共斜
8、，斜为球径。共斜，斜为球径。 两直共斜：两个直角三角形有公共斜边；两直共斜：两个直角三角形有公共斜边； 斜为球径：公共斜边即为外接球的直径。斜为球径：公共斜边即为外接球的直径。 例 8、在四面体ABCD中，ADAB ，CDCB ，33 ADAB，则四面体ABCD的 外接球的体积为（ ） A. 2 105 B. 3 105 C. 2 10 D. 3 10 略解：DABRt与DCBRt有共同斜边DB，DB即为球O的直径。 102 22 ADABDBR， 2 10 R， 3 105 O V球。 题型题型五五： 三角垂面，三心矩形三角垂面，三心矩形； 三角垂面：两个三角形所在的平面互相垂直；三角垂面：
9、两个三角形所在的平面互相垂直； 三心矩形：两个三角形的外心，球心（三心）及两三角形的公共边中点构成一个矩形。三心矩形：两个三角形的外心，球心（三心）及两三角形的公共边中点构成一个矩形。 例 6、已知三棱锥ABCS -的侧面SBC垂直于底面ABC， BCAC ， 6 CAB，2BC，且SBC为正三角形， 则三棱锥ABCS -的外接球的表面积为（ ） A 3 23 B 3 52 C 4 23 D 27 3952 略解一： 3 3 21 DOOO，2 1 BO， 3 13 4 3 1 R， 3 52 球 S。 略解二： 利用公式 “ 22 2 2 1 2 ) 2 (drrR” 求解， 其中 1 r、
10、 2 r分别是ABC和SBC的外接圆半径， d是互相垂直的两个三角形的公共边的长。 题型题型六六：“正锥正锥”、 “正柱” ，两心直、 “正柱” ，两心直角。角。 “正锥” 、 “正柱” ：正棱锥（含圆锥） 、 “正棱柱”“正锥” 、 “正柱” ：正棱锥（含圆锥） 、 “正棱柱” （含圆柱）内接于球；（含圆柱）内接于球； 两心直角：底面外接圆圆心，球心（两心）及底面的一个顶点构成直角三角形。两心直角：底面外接圆圆心，球心（两心）及底面的一个顶点构成直角三角形。 例 7、在正三棱锥PABC中，3PAPBPC，侧棱PA与底 面ABC所成的角为 60，则该三棱锥外接球的体积为（ ） A B. C.
11、4 D. 略解：在直角APO1中， 60, 3 1 PAOPA， 2 3 , 2 3 11 AOPO. 3 4 3 5 / 9 所以，ROO 2 3 1 .在直角OAO1中， 2 1 2 1 2 OOAOAO，即 2 2 2 3 4 3 RR， 解得1R， 3 4 球 V. 例 8、已知正三棱柱 111 CBAABC 的各棱长都等于a，其外接球 的半径为R，则 a R . 略解：aAO a OO 3 3 , 2 11 ， 34 22 2 aa R， 6 21 a R . 题型七：题型七：利用正弦定理利用正弦定理求求小圆半径：小圆半径： 例 9、若三棱锥 P-ABC 四个顶点都在球 O 上，若
12、PA=PB=PC=5，AB=4，ACB=150则球 O 半径为（ ） A 3 B 4 C 6 25 D 3 25 略解：因为5PCPBPA，所以P在平面ABC内的射影是 ABC的外心 1 O。 设圆 1 O的半径为r，8 sin 2 ACB AB r，4 1 rCO. 3 1 PO，ROO3 1 ， 22 )3(16RR， 6 25 R. 例 10、 若三棱锥ABCS 的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，2 3SA，1AB ， 2AC ，120BAC，则球O的表面积为_。 略解：由余弦定理可得7BC， 3 212 sin 2 A BC rAD. 3 64 222 ADSASD，所以 3
13、 38 2 SDR， 3 34 R. 3 64 球 S. 6 / 9 题型八：求题型八：求椎体的内切球半径椎体的内切球半径 例 11、在正四棱锥 S-ABCD 中，侧面与底面所成的角为，则它的外接球半径 R 与内切球 半径之比为（ ） A. 5 B. C. 10 D. 略解：设正方形ABCD的边长为 2，因为侧面与地面所成的角 为 3 ，所以3 1 PO,斜高2h，则ROO3 1 ，2 1 BO. 在BOORt 1 中， 22 1 2 1 OBBOOO，即 22 2)3(RR，解得 6 35 R. 而rV ABCDS )22 2 1 44( 3 1 34 3 1 四棱锥 ，解得 3 3 r.
14、所以 2 5 r R . 三、三、对点精炼：对点精炼： 1已知直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上,若 AB3,AC4,ABAC,AA1 12,则球 O 的半径为( ) A.3 17 2 B2 10 C.13 2 D3 10 略解： （遇直必径，径垂过心）矩形 11B BCC的对角线即为球的直径. 球 O 的半径 R 2 13 125 2 1 2 1 22 1 BC 2 【2018 南阳第一中学】 已知三棱锥PABC的四个顶点均在某球面上， PC为该球的直径， ABC是边长为 4 的等边三角形，三棱锥PABC的体积为 16 3 ，则该三棱锥的外接球的表面 积为（ ）
15、A. 16 3 B. 40 3 C. 64 3 D. 80 3 3 r 3 2 5 2 7 / 9 略解：34 ABC S， 3 38 CD， 3 16 34 3 1 PDV ABCP三棱锥 ， 3 34 PD. 所以 3 80 )2( 2222 PDCDPCR， 3 20 2 R， 3 80 4 2 RS球. 3已知三棱锥ABCD中， 2ABCD， 3ACBCADBD，且各顶点均在同一 个球面上，则该球的体积为（ ） A 32 3 B 4 C 2 D 4 3 略解：（对棱相等，体面角线） 3 3 2 22 22 22 ac cb ba ，1 2 222 cba R， 3 4 球 V. 4在四
16、边形ABCD中， 2ABAD， 3BC ， 5CD ， ABAD，现将ABD沿BD 折起，得三棱锥ABCD，若三棱锥ABCD的四个顶点都在球O的球面上，则球O的体积为 A 11 2 4 B 5 2 3 C 7 2 3 D 8 2 3 ， 略解：（两直共斜， 斜为球径） 2 2BD ， 222 DCBCBD， 所以 00 90 ,90BCDBAD， 所以BD为球的直径，2R， 3 28 3 4 3 RV球 5已知三棱锥SABC， ABC是直角三角形，其斜边8,ABSC平面,6ABC SC ，则三 棱锥的外接球的表面积为（ ） A 64 B 68 C 72 D 100来 略解：（阳马、鱉臑，实为方
17、体）这个三棱锥中，CSCBCA,两两垂直，“阳马”结构. 5 22 22222 CSABCSCBCA R，所以1004 2 RS球. 8 / 9 6 【2019 四川乐山四校联考*模型法】 如图， 在等腰梯形ABCD中， 22,60ABDCDAB, E为AB中点.将ADE与BEC分别沿ED、EC折起， 使A、B重合于点P， 则三棱锥PDCE 的外接球的体积为（ ） A. 4 3 27 B. 6 2 C. 6 8 D. 6 24 略解： （正锥、正柱，两心直角）折叠后所得的几何体是各棱长均为 1 的正四面体. 3 6 1 AO， 3 3 1 EO，ROO 3 6 1 ， 在EOORt 1 中，
18、22 ) 3 6 ( 3 1 RR， 4 6 R， 所以 8 6 3 4 3 RV球. 7如图，在菱形 ABCD 中，BAD=60 ，AB=23，E 为对角线 BD 的中点，将ABD 沿 BD折起到PBD 的位置，若PEC=120 ，则三棱锥 PBCD的外接球的表面积为（ ） A 28 B 32 C 16 D 12 略解： （径垂过心） 如图， 21,O O分别是CBDPBD和的外心，O为球心，PBDOO平面 1 ， CBDOO平面 2 ，2 2 CO，1 2 EO，3 2 OO，所以7 2 2 2 2 OOCOR. 284 2 RS球. 9 / 9 8已知四棱锥PABCD的顶点都在球O上，底
19、面ABCD是矩形，平面PAD 平面ABCD， PAD为正三角形，24ABAD,则球O的表面积为 A. 32 3 B.32 C.64 D. 64 3 来源:163文库 略解： （三角垂面，三心矩形） 3 3 21 EOOO，5 1 DO， 3 34 5 3 1 R， 3 64 4 2 RS球。 9 已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， SC 是球 O 的直径 若平面 SCA平面 SCB， SA=AC，SB=BC，三棱锥 S-ABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为_ 略解：球心O是SC的中点，连接,OA OB，因为,SAAC SBBC 所以,OASC OBSC，因为平面SA
20、C 平面SBC，所以 90AOB. 92 2 1 3 1 3 1 2 RRSCSV AOBABCS三棱锥 ，解得3R. 所以364 2 RS球. 10 在 九章算术 中， 将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑 ABCM 中， ABCMA平面 ， 2BCABMA ， 则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为_.来 略解： （阳马、鱉臑，实为方体）设三棱锥的外接球半径为R，内切球的半径为r. 3 2 222 BCABMA R . rSSSSMASV MBCMACMABABCABCABCM )( 3 1 3 1 三棱锥 所以r)222222(4，解得 12 r . 所以外接球和内切球的表面积之和为)23(8)(4 22 rR.
