1、导数的应用一、知识要点：一、知识要点：1.函数的单调性函数的单调性:设函数设函数y=f(x)在某个区间可导在某个区间可导,若若f(x)0，则，则f(x)为增函数；为增函数；若若f(x)0，则，则f(x)为减函数为减函数.一、知识要点：一、知识要点：1.函数的单调性函数的单调性:求可导函数的单调区间的一般步骤和方法：求可导函数的单调区间的一般步骤和方法：确定函数确定函数f(x)的定义区间的定义区间;=0,解此方程解此方程,求出它在定义区求出它在定义区间内的一切实根间内的一切实根;求求 fx,令令 fx 把函数把函数 f(x)的间断点的间断点(包括包括 f(x)的无定义的点的无定义的点)的横坐标和
2、上面的各实根按从小到大的顺序排列的横坐标和上面的各实根按从小到大的顺序排列 起来，然后用这些点把函数起来，然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成的定义区间分成 若干个小区间若干个小区间;确定确定 f(x)在各区间内的符号在各区间内的符号,根据根据 f(x)的符号的符号判定函数判定函数 f(x)在每个相应小区间内的增减性。在每个相应小区间内的增减性。一、知识要点：一、知识要点：2.可导函数的极值可导函数的极值设函数设函数 f(x)在点在点x0附近的所有的点都有附近的所有的点都有f(x)f(x0),则称则称 f(x0)为函数的一个极大为函数的一个极大(小小)值值,称称x0为极大为极大(小小)值
3、点。值点。极值的概念极值的概念 求可导函数求可导函数 f(x)极值的步骤：极值的步骤：求导数求导数 fx求方程求方程 fx =0的根的根 在上述根的左右的符号在上述根的左右的符号,如果在根的如果在根的左侧为正左侧为正(负负),右侧为负右侧为负(正正),那么函数那么函数 y=f(x)在这个根处取得极大在这个根处取得极大(小小)值。值。检验检验 fx一、知识要点：一、知识要点：3.函数的最大与最小值函数的最大与最小值 设设y=f(x)是定义在区间是定义在区间a,b上的函数上的函数,y=f(x)在在(a,b)内有导数内有导数,求函数求函数y=f(x)在区间在区间a,b上的最大最小值上的最大最小值,可
4、分两步进行可分两步进行:求求y=f(x)在区间在区间(a,b)内的极值内的极值;将将y=f(x)在各极值点的极值与在各极值点的极值与f(a),f(b)比较，比较，其中最大的一个为最大值其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。最小的一个为最小值。若函数若函数f(x)在区间在区间a,b上单调递增上单调递增(减减),则则f(a)为最小为最小(大大)值值,f(b)为最大为最大(小小)值。值。二、例题选讲二、例题选讲上是单调函数。上是单调函数。例例1(2000年全国高考题年全国高考题)设函数设函数 21f xxax 其中其中a0,求求a的取值范围的取值范围,使函数使函数 f(x)在区间在区间0,)分
5、析：求分析：求 fx ,当当x0,)时时,看看 fx变化范围。变化范围。例例1（2000年全国高考题）设函数年全国高考题）设函数 21f xxax 其中其中a0,求求a的取值范围，使函数的取值范围，使函数f(x)在区间在区间 0,)上是单调函数。上是单调函数。22,0,),0,1),11xxfxaxxx 解:100,)0,)afxf x故当时,在上恒成立,即a1时,在递减;121212,0,),x xxxf xf x又当0a1时,设有当时,=,221222121111xxxx 1122即 x-ax=x-ax=a,0ff122222a2a2a令x=0,可求得x=,所以有=,显然0,1-a1-a1
6、-a 0,)f x0a1时,在上,不是单调函数.二、例题选讲二、例题选讲例例2.设设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定恰有三个单调区间，试确定a的的 取值范围，并求其单调区间。取值范围，并求其单调区间。231,fxax解:0,)afx 若则在(-恒正,f x只有一个单调区间,与题意不符.211133,333fxa xa xxaaa若a 0,x0,得得 0 x1.6.例例4.(2000年江西卷年江西卷)用总长为用总长为14.8m的钢条制作一个的钢条制作一个 长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的 一边比另一边长一边比另一边长0.5m,那么高
7、为多少时容器的容积那么高为多少时容器的容积 最大？并求出它的最大容积。最大？并求出它的最大容积。设容器体积为设容器体积为y m3,则则 y=x(x+0.5)(3.2 2x)=-2x3+2.2x2+1.6x(0 x1.6)y=-6x2+4.4x+1.6,令令y=0 得得 x=1 或或 x=-4/15(舍去），舍去），当当0 x0,当当1x1.6时，时，y0,n为正整数，为正整数，设设1,：nnyxayn xa证明设设 nnnfxxxa ，对任意，对任意na,证明证明:111.nnfnnfn0()nnknkyxaC();n kkax证明证明:(1)因为因为所以所以10()nkn kknkykCax
8、0nkn1111()().kn kknnCaxn xa(2)对函数对函数()()nnnfxxxa求导数求导数:证明证明:,(1)(1)()nnnnnannanna 因此 当时0,()0.nxafx当时1111()(),()().nnnnnnfxnxn xafnn nna所以1(1)(1)(1)(1)(1)()nnnnnfnnnnannna 1(1)()(1)().nnnnnn nanfn即对任意即对任意1,(1)(1)().nnna fnnfn例例5（2003年江苏卷）年江苏卷）已知已知a0,n为正整数，为正整数，设设 nnnfxxxa ，对任意，对任意na,证明证明:111.nnfnnfn,
9、()().nnnxafxxxax当时是关于 的增函数三、小结：三、小结：1.证函数证函数f(x)在在(a,b)内单调内单调,可以用函数的单调可以用函数的单调 性定义性定义,也可以用导数来进行判别也可以用导数来进行判别.前者较繁，前者较繁，后者较易后者较易.要注意若要注意若f(x)在在(a,b)内个别点上满内个别点上满 足足:fx=0(或或 fx 不存在不存在,但但 f(x)连续连续)，0(fx其余点满足其余点满足 2.函数的极值是在局部对函数值的比较，函数在函数的极值是在局部对函数值的比较，函数在 区间上的极大区间上的极大(小小)值可有若干个，而且有时极值可有若干个，而且有时极 小值可以大于它
10、的极大值。小值可以大于它的极大值。=0可以是不可以是不必要条件。必要条件。=0是可导函数是可导函数 f(x)在在x=x 0处取极值的处取极值的必要而不充分条件，必要而不充分条件，在在x 0两侧的导数异两侧的导数异 号是号是x 0为极值点的充分条为极值点的充分条 件。对于连续函数件。对于连续函数 (不一定处处可导不一定处处可导)的情况的情况 fx fx fx3.函数的最大值、最小值表示函数函数的最大值、最小值表示函数 f(x)在一个在一个 区间的情况，连续函数区间的情况，连续函数 f(x)在闭区间在闭区间 a,b 上必有一个最大值和最小值。但上必有一个最大值和最小值。但 f(x)在在(a,b)上就不一定有最大上就不一定有最大(小小)值。值。=0的解为最的解为最值点。值点。4.在实际应用问题中，利用导数求在实际应用问题中，利用导数求 f(x)在在(a,b)的最大值时，的最大值时，=0的解只有一个时，由题的解只有一个时，由题 意最值确实存在，就是使意最值确实存在，就是使 fx fx
