1、3.13.1变化率与导变化率与导数数v问题问题1 气球膨胀率气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程过程,可以发现可以发现,随着气球内空气容量的随着气球内空气容量的增加增加,气球的半径增加越来越慢气球的半径增加越来越慢.从数学从数学角度角度,如何描述这种现象呢如何描述这种现象呢?v气球的体积气球的体积V(单位单位:L)与半径与半径r(单位单位:dm)之间的函数关系是之间的函数关系是34()3V rrv如果将半径如果将半径r表示为体积表示为体积V的函数的函数,v那么那么33()4Vr V思考思考:这一现象这一现象中，哪些量中，哪些量在改变？变在改变？变量的变化
2、情量的变化情况？况？我们来分析一下我们来分析一下:v当当V从从0增加到增加到1时时,气球半径增加了气球半径增加了气球的平均气球的平均膨胀率膨胀率为为v当当V从从1增加到增加到2时时,气球半径增加了气球半径增加了气球的平均气球的平均膨胀率膨胀率为为(1)(0)0.62()rrdm(1)(0)(/)1 00.62rrdm L(2)(1)0.16()rrdm(2)(1)(/)2 10.16rrdm L显然显然0.620.1633()4Vr V 随着气球体积逐渐随着气球体积逐渐变大变大,它的平均膨胀率逐它的平均膨胀率逐渐变小渐变小思考思考?v当空气容量从当空气容量从V V1 1增加到增加到V V2 2
3、时时,气球的平均气球的平均膨胀率是多少膨胀率是多少?2121()()r Vr VVV问题问题2 高台跳水高台跳水 在在高台跳水运动中高台跳水运动中,运动员相对于水面运动员相对于水面的高度的高度h(h(单位：米单位：米)与起跳后的时间与起跳后的时间t t（单位：（单位：秒）存在函数关系秒）存在函数关系 h(t)=-4.9th(t)=-4.9t2 2+6.5t+10.+6.5t+10.如何用运动员在某些时如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态地描述其运动状态?hto请计算00.52:ttv 和1时的平均速度htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10(0.
4、5)(0)00.54.05(/)0.5 0(2)(1)28.2(/)2 1hhtvm shhtvm s 在这段时间里，在1这段时间里，平均变化率定义平均变化率定义:v若设若设x=x2-x1,f=f(x2)-f(x1)则平均变化率为则平均变化率为121)()f xxx2f(xfx121)()f xxx2f(x这里这里x看作是对于看作是对于x1的一个的一个“增量增量”可用可用x1+x代替代替x2同样同样f=y=f(x2)-f(x1)l上述问题中的变化率可用式子上述问题中的变化率可用式子 表示表示称为函数称为函数f(x)从从x1到到x2的的平均变化率平均变化率1、式子中式子中x、y 的值可正、可负，
5、但的值可正、可负，但 x的值不能为的值不能为0，y 的值可以为的值可以为0 x y 2、若函数、若函数f(x)为常函数时，为常函数时，y=0 理解理解xxfxxfxxxfxf)()()()(1112123、变式变式:2121()()y f xf xxxxv1.函数的平均变化率函数的平均变化率v2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)计算计算平均变化率平均变化率1212)()(y xxxfxfx1212)()(y xxxfxfxv观察函数观察函数f(x)的图象平均变化率的图象平均变化率v表示什么表示什么?思考xyo
6、Bx2f(x2)Ax1f(x1)f(x2)-f(x1)x2-x1直线AB的斜率y=f(x)2121()()y f xf xxxx例例 (1)计算函数计算函数 f(x)=2 x+1在区间在区间 3,1上的平均变化率上的平均变化率；(2)求函数求函数f(x)=x2+1的平均变化率。的平均变化率。(1)解：解：y=f(-1)-f(-3)=4 x=-1-(-3)=2422yx(2)解：解：y=f(x+x)-f(x)=2x x+(x)2 22()2yx xxxxxx 练习3.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=()A.3 B.3x-(x
7、)2 C.3-(x)2 D.3-x D2.t2质点运动规律s=t+3,则在时间(3,3+t)中相应的平均速度为()9A.6+t B.6+t+C.3+t D.9+tA做两个题吧!v1、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=()A、3 B、3x-(x)2C、3-(x)2 D、3-x Dv2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率.2x0+x 练习：练习：v5.过曲线过曲线y=f(x)=x3上两点上两点P（1，1）和）和Q(1+x,1+y)作曲线的割线，求出当作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率时割线的斜率.小结：小结：v1.函数
8、的平均变化率函数的平均变化率v2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)计算计算平均变化率平均变化率1212)()(y xxxfxfx1212)()(y xxxfxfx?,?,.).tan(.,时时的的瞬瞬时时速速度度是是多多少少比比如如度度呢呢如如何何求求运运动动员员的的瞬瞬时时速速那那么么度度在在某某时时刻刻的的瞬瞬时时速速她她他他度度不不一一定定能能反反映映运运动动员员的的平平均均速速的的速速度度称称为为我我们们把把物物体体在在某某一一时时刻刻是是不不同同的的度度运运动动员员在在不不同同时时刻刻的的速速在在高
9、高台台跳跳水水运运动动中中2 tvelociyeousins瞬瞬时时速速度度 .,.,;,.,.可以得到如下表格内平均速度和区间计算区间之后在时当之前在时当但不为也可以是负值正值可以是是时间的改变量任意取一个时刻之前或之后在附近的情况我们先考察vtttttttttt 22222202200222二新课讲授二新课讲授1瞬时速度瞬时速度t0时时,在在2,2+t 这段时这段时间内间内1.139.4tv1.139.4tv13.051v 当t=0.01时,13.149v 当t=0.01时,0951.13v当t=0.001时,1049.13v当t=0.001时,13.09951v 当t=0.0001时,1
10、3.10049v 当t=0.0001时,099951.13vt=0.00001,100049.13vt=0.00001,13.0999951v t=0.000001,13.1000049v t=0.000001,105.69.4)(2ttth当当t趋近于趋近于0时时,平均平均速度有什么变化趋势速度有什么变化趋势?.,1132220 个确定的值平均速度都趋近于一时一边趋近于还是从大于的一边从小于即无论时趋近于当我们发现tt./.,.,|,smttvt11322 时的瞬时速度是员在运动因此时的瞬时速度就无限趋近于速度平均无限变小时时间间隔从物理的角度看 .,.lim,11302113220 定值趋
11、近于确平均速度时趋势近于当表示我们用为了表述方便vttththt .时的极限时的极限趋近于趋近于当当是是我们称确定值我们称确定值022113tthth 定义定义:函数函数 y=f(x)在在 x=x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是xxxfxxfxx ylim )()(lim 0000称为函数称为函数 y=f(x)在在 x=x0 处的处的导数导数,记作记作0000()()()lim.xf xxf xfxx )(0 xf 或或 ,即即0|xxy。其导数值一般也不相同的值有关，不同的与000)(.1xxxf 的具体取值无关。与 xxf)(.20一概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同.3由导数的定义
12、可知由导数的定义可知,求函数求函数 y=f(x)的导数的一般方法的导数的一般方法:1.求函数的改变量求函数的改变量2.求平均变化率求平均变化率3.求值求值);()(00 xfxxfy.lim)(00 xyxfx;)()(00 xxfxxfxy一差、二比、三极限一差、二比、三极限例例1.1.求求y=xy=x2 2在点在点x=1x=1处的导数处的导数解：解：222)(21)1(xxxyxxxxxy2)(222|2)2(limlim100 xxxyxxyf f(x x)=x x2 2 7 7x x+15+15(0 x x8 8).计算计算x=2x=2和和x=6x=6时的导数时的导数.xfxf)2()
13、2(根据导数的定义根据导数的定义,37)(42xxxxx所以所以,.3)3(limlim)2(00 xxffxx同理可得同理可得.5)6(f 由导数的意义可知由导数的意义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的导数处的导数的基本方法是的基本方法是:00(1)()();yf xxf x 求函数的增量00()()(2);f xxf xyxx求平均变化率00(3)()lim.xyfxx 取极限，得导数00()()()limlimxxyf xxf xf xyxx 在不致发生混淆时，在不致发生混淆时，导函数导函数也简称也简称导数导数000()()()()().yf xxfxf xfxx 函数在点处
14、的导数等于 函数的导 函 数在点处的 函数值 什么是导函数?由函数由函数f(x)在在x=x0处求导数的过程可以看到处求导数的过程可以看到,当当x=x0时时,f(x0)是一个确定的数是一个确定的数.那么那么,当当x变变化时化时,f(x0)便是便是x的一个函数的一个函数,我们叫它为我们叫它为f(x)的导函数的导函数.即即:)2(),1(),(,)(12ffxfxxf求：设例的值代入求得导数值。再将自变量义求思路：先根据导数的定),(xfxxxxxxxxxxxfxxfxfxxx2)2(lim)(lim)()(lim)(02200解：由导数的定义有422)()2(2)1(2)()1(21xxxffxf
15、f 1.曲线的切线曲线的切线y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy 如图如图,曲线曲线C是函数是函数y=f(x)的图象的图象,P(x0,y0)是曲线是曲线C上的上的任意一点任意一点,Q(x0+x,y0+y)为为P邻近一点邻近一点,PQ为为C的割线的割线,PM/x轴轴,QM/y轴轴,为为PQ的的倾斜角倾斜角.tan,:xyyMQxMP则则.就就是是割割线线的的斜斜率率表表明明：xy PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T 请看请看当点当点Q沿沿着曲线逐着曲线逐渐向点渐向点P接近时接近时,割割线线PQ绕绕着点着点P逐逐渐转动的渐转动的情况情况.我们发现我们发现,当点当点Q沿着曲
16、线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PQ有一个极限位置有一个极限位置PT.则我们把直线则我们把直线PT称为曲称为曲线在点线在点P处的处的切线切线.设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那么当那么当x0时时,割线割线PQ的的斜率斜率,称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线的斜率切线的斜率.即即:xxfxxfxykxx )()(limlimtan0000 切切线线 这个概念这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法种方法;切线斜率的本质切线斜率的本质函数平均变化率的极限函数平均变化率的极限.注意注意,曲线在某点处的切线曲线在某点处的切线:(1)与
17、该点的位置有关；与该点的位置有关；(2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解切线。要根据割线是否有极限位置来判断与求解切线。例例1:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx.2)(2lim)11(1)1(lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲线在某点处的切线方程求曲线在某点处的切线方程的基本步骤的基本步骤:(1)先利用切线斜率的定义求出切先利用切线斜率的定义求出切线的斜率线的斜率(2)利用点斜式求切线方程利用点斜式
18、求切线方程.变式变式:设设f(x)为可导函数，且满足为可导函数，且满足 ,求曲线求曲线y=f(x)在点在点(1,f(1)处的切线的斜率处的切线的斜率.12)1()1(lim0 xxffx,12)1()1(lim)(0 xxffxfx是是可可导导函函数数且且解解：,21)1()1()1(lim,1)1(1)1()1(lim2100 xfxfxxffxx.2)1(f故所求的斜率为故所求的斜率为-2.例例2:已知曲线已知曲线 上一点上一点P(1,2),用斜率的定义求用斜率的定义求 过点过点P的切线的倾斜角和切线方程的切线的倾斜角和切线方程.222 xy,22)1(2)1()1(,lim:20 xfx
19、fyxyKxP而而解解2002(1)22limlimxxxyxx tan1,45,PK故过点故过点P的切线方程为的切线方程为:y-2=1(x-1),即即y=x+1.练习练习:求曲线求曲线 上一点上一点P(1,-1)处的切线方程处的切线方程.31xy 答案答案:y=3x-4.22042()lim 2(1)22xxxxx 2044lim1.2 1 222(1)22xxx 练习练习:如图已知曲线如图已知曲线 ,求求:(1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率;(2)点点P处的切线方程处的切线方程.)38,2(313Pxy上上一一点点 yx-2-112-2-11234OP313yx.)(33lim31)
20、()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx 解解：.42|22 xy即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4.(2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.3求双曲线过点（，）的切线方程.141)2(4121.4121241221lim121lim22lim000 xyxyxxxxxfxfxxx，即即故故所所求求切切线线方方程程为为）的的切切线线斜斜率率为为，（所所以以，这这条条双双曲曲线线过过点点，）（）（）（解解：因因为为 练习练习练习练习1:
21、设函数设函数f(x)在点在点x0处可导处可导,求下列各极限值求下列各极限值:xxftxxfxxfxmxfxx )()(lim)2(;)()(lim)1(000000).(1)2();()1(00 xftxfm 答答案案：练习练习2:设函数设函数f(x)在点在点x=a处可导处可导,试用试用a、f(a)和和.)()(lim)(axaxfxafafax 表表示示).()()()()(lim)()()()(lim)()(lim:afafaafaxafxfaaxafaxafxfaaxaxfxafaxaxax 解解例例2:设函数设函数f(x)在点在点x0处可导处可导,求下列各极限值求下列各极限值:.2)(
22、)(lim)2(;)()(lim)1(000000hhxfhxfxxfxxfhx 分析分析:利用函数利用函数f(x)在点在点x0处可导的条件处可导的条件,将题目中给定将题目中给定 的极限恒等变形为导数定义的形式的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定注意在导数定 义中义中,自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论x 选择哪种形式选择哪种形式,y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式.);()()(lim)()()(lim)1(0000000 xfxxfxxfxxfxxfxx 原原式式解解：).()()(21)()(lim)()(lim212)()()()(lim)2(00000000000000 xfxfxfhxfhxfhxfhxfhxfhxfxfhxfhhh 原原式式
