1、2.4.1平面向量的数量积平面向量的数量积张波张波已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b，作，作OA=a，OB=b，则，则AOB=（0 180）叫做向量叫做向量a与与b的的夹角夹角。OBA当0时，a与b同向；OAB当180时，a与b反向；OABB当90时，称a与b垂直，记为ab.OAab 我们学过功的概念，即一个物体在力我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移的作用下产生位移s（如图）（如图）FS力力F所做的功所做的功W可用下式计算可用下式计算 W=|F|S|cos 其中其中是是F与与S的夹角的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量从力所做的功出发，我们引入向量“数量积数量积”的概念
2、。的概念。已知两个非零向量已知两个非零向量 与与 ，它们的，它们的夹角为夹角为，我们把数量，我们把数量|cos叫做叫做 与与 的的数量积数量积（或（或内积内积），记作），记作 =|cosararararararbrbrbrbrbrbr注意：向量注意：向量的数量积是的数量积是一个数量。一个数量。规定规定:零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0。叫做向量叫做向量 在在 方向上方向上（或向量（或向量 在在 方向上）的方向上）的投影投影。|cos(|cos)barr或bbaa 向量的数量积是一个数量，那么它向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？什么时候为正，什么时候
3、为负？=|cosararbrbr当当=90时时 为零。为零。arbr当当90 180时时 为负。为负。arbr当当0 90时时 为正；为正；arbr设设barr、是非零向量，是非零向量，ba与是的夹角，则的夹角，则|;|)2(bababarrrrrr同向时，与当|;|bababarrrrrr反向时，与当特别地特别地2|aaarrraaarrr|或2ar|cos)3(babarrrr|)4(babarrrrOAB abB1|c co os sa ab ba ab b r rr rr rr r0)1(babaOAB|b|cos abB1barr等于等于ar的长度的长度|ar方向上的投影在abrr与
4、与cos|br的乘积。的乘积。练习：练习：1 1若若a=0，则对任一向量，则对任一向量b ，有，有a b=02若若a 0，则对任一非零向量，则对任一非零向量b,有有a b03 3若若a 00，a b b=0，则，则b=04 4若若a b=0，则，则a b中至少有一个为中至少有一个为05 5若若a0，a b=b c，则，则a=c6 6若若a b=a c,则则bc,当且仅当当且仅当a=0 时成立时成立7对任意向量对任意向量 a 有有22|aa 二、二、平面向量的数量积的运算律平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：数量积的运算律：cbcacbabababaabbarrrrrrrrrrrrrrrr
5、r)(3()()()(2()1(其中，其中，cbarrr、是任意三个向量，是任意三个向量，R注：注：)()(cbacbarrrrrr例例1 1 已知已知|a|=4|a|=4，|b|=3|b|=3，（，（1 1）a/b;a/b;（2 2）a a与与b b垂直；（垂直；（3 3）a a与与b b的夹角的夹角=120=120，分别求，分别求a ab b。例例2 已知已知|a|=8，e为单位向量，当它们之为单位向量，当它们之间的夹角为间的夹角为 时，求时，求a在在e方向上的投影。方向上的投影。3例例2 已知已知|a|=3，|b|=5，且，且ab=12，求向量求向量a在向量在向量b方向上的投影。方向上的
6、投影。例例 3：求证：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：证明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.例例 3：求证：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.例例4 4、2 2)(3 3)a ab ba ab b r rr rr rr r求求（。|,|4 4,a ab ba ab b r rr rr rr r已已知知与与6 60 0,o o 的夹角为的夹角为变式：变式：求求rrr r|a+2b|,
7、|a-b|变式：变式：当且仅当当且仅当k为何值时，为何值时，垂直垂直2kababrrrr与小结 已知两个非零向量已知两个非零向量 与与 ，它们的，它们的夹角为夹角为，我们把数量，我们把数量|cos叫做叫做 与与 的的数量积数量积（或（或内积内积），记作），记作 =|cosararararararbrbrbrbrbrbr(1)0aba brrrr|;|)3(bababarrrrrr同向时，与当|;|bababarrrrrr反向时，与当2(2)|a aar rraaarrr|或2ar|cos)4(babarrrr|)5(babarrrr数学使人聪颖数学使人聪颖 数学使人严谨数学使人严谨 数学使人深
8、刻数学使人深刻 数学使人缜密数学使人缜密 数学使人坚毅数学使人坚毅 数学使人智慧数学使人智慧 则 (a+b)c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=ac+bc.ONMa+bbac 向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律证明运算律(3)思考：用向量方法证明：直径所对的圆思考：用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。周角为直角。ABCO分析：要证分析：要证ACB=90，只须证向，只须证向量量 ，即，即 。A AC CC CB B r r r r0 0A AC CC CB B r r r r设设 则则 ，由此可得：由此可得：,A AO Oa a O OC Cb b r rr r r rr r,A AC Ca ab b C CB Ba ab b r rr rr r r rr rr r A AC CC CB Ba ab ba ab b r r r rr rr rr rr r2 22 22 22 2|a ab ba ab b r rr rr rr r22220 0rrrr即即 ，ACB=900CBAC
