1、朝阳市第二十六中学朝阳市第二十六中学杨东旭杨东旭二次函数知识点导航：二次函数知识点导航：1、二次函数的定义2、二次函数的图像及性质3、求解析式的三种方法4、a，b，c及相关符号的确定5、抛物线的平移6、二次函数与一元二次方程的关系7、二次函数的应用题8、二次函数的综合运用本章共分两课时：第一课时复习知识点本章共分两课时：第一课时复习知识点15 第二课时复习知识点第二课时复习知识点8 1、二次函数的定义 定义：y=ax bx c（a、b、c 是常数，a 0）定义要点：a 0 最高次数为2 代数式一定是整式 练习：1、y=-x，y=2x-2/x，y=100-5 x，y=3 x-2x+5,其中是二次
2、函数的有_个。2.当当m_时时,函数函数y=(m+1)-2+1 是二次函数？是二次函数？mm 22、二次函数的图像及性质抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(a0)y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(a0,开口向上开口向上a0,开口向下开口向下在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x的增大而
3、减小的增大而减小.abacab44,22abacab44,22abx2直线abx2直线abacyabx44,22最小值为时当abacyabx44,22最大值为时当xy0 xy0例例2：（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。的坐标。（2）设抛物线与）设抛物线与y轴交于轴交于C点，与点，与x轴交于轴交于A、B两点，求两点，求C，A，B的坐标。的坐标。（3）x为何值时，为何值时，y随的增大而减少，随的增大而减少，x为为何值时，何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？值是多少？（4）x为何值时，为何值时，y0？23212x
4、xy已知二次函数已知二次函数0(-1,-2)(0,-)(-3,0)(1,0)3 2yx由图象可知：由图象可知：当当x1时，时，y 0当当-3 x 1时，时，y 0开口向下开口向下a0交点在交点在x轴下方轴下方c0与与x轴有一个交点轴有一个交点b2-4ac=0与与x轴无交点轴无交点b2-4ac0,则则a+b+c0当当x=1时，时，y0，则，则a+b+c0,则则a-b+c0当当x=-1，y0,则则a-b+c0当当x=-1，y=0,则则a-b+c=0 xy、二次函数、二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)的图象如图的图象如图 所示，则所示，则a a、b b、c c的符号为
5、（）的符号为（）A A、a0,c0 Ba0,c0 B、a0,c0a0,c0 C C、a0,b0 Da0,b0 D、a0,b0,c0a0,b0,c0,b0,c=0 Ba0,b0,c=0 B、a0,c=0a0,c=0 C C、a0,b0,c0 Da0,b0,c0,b0,b0,b=0,c0,a0,b=0,c0,0 B0 B、a0,c0,a0,c0,b=0,c0,b=0,c0 D0 D、a0,b=0,c0,a0,b=0,c0,0 0 BACooo练习：练习：熟练掌握熟练掌握a，b，c，与抛物线图象的关系与抛物线图象的关系(上正、下负）上正、下负）(左同、右异左同、右异)c c4.4.抛物线抛物线y=a
6、xy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)的图象经过原点和的图象经过原点和 二、三、四象限，判断二、三、四象限，判断a a、b b、c c的符号情况：的符号情况：a a 0,b0,b 0,c0,c 0.0.xyo=6.二次函数二次函数y=ax2+bx+c中，如果中，如果a0，b0，c3.已知二次函数的图像如图所示，下列结论：已知二次函数的图像如图所示，下列结论：a+b+c=0 a-b+c0 abc 0 b=2a其中正确的结论的个数是（其中正确的结论的个数是（）A 1个个 B 2个个 C 3个个 D 4个个Dx-110y要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方要点：寻求思路时，要着重
7、观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的位置，抛物线与向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、轴、y轴的轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想。交点的位置，注意运用数形结合的思想。5、抛物线的平移左加右减，上加下减左加右减，上加下减练习练习二次函数二次函数y=2x2的图象向的图象向 平移平移 个单位可得个单位可得到到y=2x2-3的图象；的图象；二次函数二次函数y=2x2的图象向的图象向 平移平移 个单位可得到个单位可得到y=2(x-3)2的图象。的图象。二次函数二次函数y=2x2的图象先向的图象先向 平移平移 个单位，个单位，再向再向 平移平移 个单位可得到函数个单位可得到函数y=2(x+1)2+
8、2的的图象。图象。下下3右右3左左1上上2引申：引申：y=2(x+3)2-4 y=2(x+1)2+2练习：练习：（3）由二次函数）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以的图象经过如何平移可以得到函数得到函数y=x2-5x+6的图象的图象.y=x2-5x+6 41)25(2 xy=x241)25(2 xy6二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程根的情况与一元二次方程根的情况与b-4ac的关系的关系 我们知道我们知道:代数式代数式b2-4ac对于方程的根起着关键对于方程的根起着关键的作用的作用.2422,1aacbbx有两个不相等的实数根方程时当00,0422acbxaxacb:00,0422
9、有两个相等的实数根方程时当acbxaxacb.22,1abx没有实数根方程时当00,0422acbxaxacbw二次函数二次函数y=axbxc的图象和的图象和x轴交点的横坐标，轴交点的横坐标，便是对应的一元二次方程便是对应的一元二次方程axbxc=0的解。w二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴交点有三种情况轴交点有三种情况:w(1)(1)有两个交点有两个交点w(2)(2)有一个交点有一个交点w(3)(3)没有交点没有交点二次函数与一元二次方程b2 4ac 0b2 4ac=0b2 4ac 0若抛物线若抛物线y=ax2+bx+c与与x轴有交点轴有交点,
10、则则b2 4ac0判别式：判别式：b b2 2-4ac-4ac二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）图象图象一元一元二次方程二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0（a0a0）的根）的根x xy yO O与与x x轴有两个不轴有两个不同的交点同的交点（x x1 1，0 0）（x x2 2，0 0）有两个不同的有两个不同的解解x=xx=x1 1，x=xx=x2 2b b2 2-4ac-4ac0 0 x xy yO O与与x x轴有唯一个轴有唯一个交点交点)0,2(ab有两个相等的有两个相等的解解x1=x2=ab2b b2 2-4ac=0-4ac=0 xy
11、O与与x x轴没有轴没有交点交点没有实数根没有实数根b b2 2-4ac-4ac0 0例例(1)(1)如果关于如果关于x x的一元二次方程的一元二次方程 x x2 2-2x+m-2x+m=0=0有两个有两个相等的实数根相等的实数根,则则m=m=,此时抛物线此时抛物线 y=xy=x2 2-2x+m2x+m与与x x轴有个交点轴有个交点.(2)(2)已知抛物线已知抛物线 y=xy=x2 2 8x+c 8x+c的顶点在的顶点在 x x轴上轴上,则则c=c=.1116 (3)(3)一元二次方程一元二次方程 3 x3 x2 2+x-10=0+x-10=0的两个根的两个根是是x x1 1=-2,x=-2,
12、x2 2=5/3,=5/3,那么二次函数那么二次函数y=3 y=3 x x2 2+x-10+x-10与与x x轴的交点坐标是轴的交点坐标是.（-2、0）（）（5/3、0）1.1.已知抛物线已知抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与抛物线与抛物线y=-xy=-x2 2-3x+7-3x+7的的 形状相同形状相同,顶点在直线顶点在直线x=1x=1上上,且顶点到且顶点到x x轴的距轴的距离离 为为5,5,请写出满足此条件的抛物线的解析式请写出满足此条件的抛物线的解析式.解解:抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与抛物线与抛物线y=-xy=-x2 2-3x+7-3x+7的形
13、状相同的形状相同 a=1a=1或或-1-1 又又顶点在直线顶点在直线x=1x=1上上,且顶点到且顶点到x x轴的距离为轴的距离为5,5,顶点为顶点为(1,5)(1,5)或或(1,-5)(1,-5)所以其解析式为所以其解析式为:(1)y=(x-1)(1)y=(x-1)2 2+5 (2)y=(x-1)+5 (2)y=(x-1)2 2-5-5 (3)y=-(x-1)(3)y=-(x-1)2 2+5 (4)y=-(x-1)+5 (4)y=-(x-1)2 2-5-5 展开成一般式即可展开成一般式即可.7二次函数的综合运用2.2.若若a+b+c=0,aa+b+c=0,a 0,0,把抛物线把抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c向下平移向下平移 4 4个单位个单位,再向左平移再向左平移5 5个单位所到的新抛物线的个单位所到的新抛物线的 顶点是顶点是(-2,0),(-2,0),求原抛物线的解析式求原抛物线的解析式.分析分析:(1)(1)由由a+b+c=0a+b+c=0可知可知,原抛物线的图象经过原抛物线的图象经过(1,0)(1,0)(2)(2)新抛物线向右平移新抛物线向右平移5 5个单位个单位,再向上平移再向上平移4 4个单位即得原抛物线个单位即得原抛物线答案答案:y=-x:y=-x2 2+6x-5+6x-5
