1、4.4.角平分线（角平分线（1 1）性质定理与逆定理性质定理与逆定理驶向胜利驶向胜利的彼岸的彼岸角平分线w你还能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点吗你还能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点吗?回顾 思考已知已知:如图如图,OC C是是AAOB B的平分线的平分线,P,P是是OC C上任意一点上任意一点,PD,PDOA,PEA,PEOB,B,垂足分别是垂足分别是D,E.D,E.求证求证:PD=PE.:PD=PE.而而OPDOPDOPEOPE的条件由已的条件由已知易知它满足公理知易知它满足公理(AAS).(AAS).故结论可证故结论可证.老师期望老师期望:你能写出规范的证明过程你能
2、写出规范的证明过程.分析分析:要证明要证明PD=PE,PD=PE,只要证明只要证明它们所在的它们所在的OPDOPDOPEOPE，w你还记得角平分线上的点有什么性质吗你还记得角平分线上的点有什么性质吗?w角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等.w你能证明这一结论吗你能证明这一结论吗?OCB1A2PDE驶向胜利的彼岸几何的几何的三种语言三种语言w定理定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等.老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.开启 智慧w如图如图,wOC C是是AAOB B的平分线的平分线,P,P是是OC
3、C上任意一点上任意一点,PD,PDOA,PEA,PEoB,B,垂足分别是垂足分别是D,E(D,E(已知已知)PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这角平分线上的点到这个角的两边距离相等个角的两边距离相等).).OCB1A2PDE进步的标志进步的标志驶向胜利的彼岸思考分析w你能写出你能写出“定理定理 角平分线上的点到角平分线上的点到这个角的两边距离相等这个角的两边距离相等”的逆命题吗的逆命题吗?w逆命题逆命题 在一个角的内部在一个角的内部,且到角的两边距离相等的且到角的两边距离相等的点点,在这个角的平分线上在这个角的平分线上.w它是真命题吗它是真命题吗?如果是如果是.请你证明它请你证明它.已知
4、已知:如图如图,PD=PE,PD=PE,PDPDOA,PEA,PEOB,B,垂足分别是垂足分别是D,E.D,E.求证求证:点点P P在在AAOB B的平分线上的平分线上.分析分析:要证明点要证明点P P在在AAOB B的的平分平分线上线上,可以先作出过点可以先作出过点P P的射线的射线OC,C,然后证明然后证明1=2.1=2.老师期望老师期望:你能写出规范的证明过程你能写出规范的证明过程.OCB1A2PDE驶向胜利的彼岸逆定理逆定理 我能行我能行w逆定理逆定理 在一个角的内部在一个角的内部,且到角的两边距离相等且到角的两边距离相等的点的点,在这个角的平分线上在这个角的平分线上.w如图如图,wP
5、A=PB,PDPA=PB,PDOA,PEA,PEOB,B,垂足垂足分别是分别是D,E(D,E(已知已知),),w点点P P在在AAOB B的平分线上的平分线上.(.(在一在一个角的内部个角的内部,且到角的两边距离相且到角的两边距离相等的点等的点,在这个角的平分线上在这个角的平分线上).).老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.从这个结果出发,你还能联想到什么?OBAC12PDE尺规作图尺规作图 做一做做一做l已知已知:A:AOB,B,如图如图.l求作求作:射线射线OC,C,使使AAOC=BC=BOC.C.l作法作法:l用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线.
6、l1.1.在在OATAT和和OB B上分别截取上分别截取OD,D,OE,E,使使OD=D=OE.E.l2.2.分别以点分别以点D D和和E E为圆心为圆心,以大于以大于DE/2DE/2长长为半径作弧为半径作弧,两弧在两弧在 AOBAOB内交于点内交于点C.C.l3.3.作射线作射线OC.C.请你说明请你说明OC C为什么是为什么是AAOB B的平分线的平分线,并与同伴进行交流并与同伴进行交流.老师提示老师提示:作角平分线是最基本的尺规作图作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法这种方法要确实掌握要确实掌握.ABOCl则射线则射线OC C就是就是AAOB B的平分线的平分线.DE挑战自我挑战自我
7、随堂练习随堂练习驶向胜利驶向胜利的彼岸的彼岸l如图如图,AD,AE,AD,AE分别是分别是ABCABC中中AA的内角平分线外角平的内角平分线外角平分线分线,它们有什么关系它们有什么关系?老师期望老师期望:你能说出结论并能证明它你能说出结论并能证明它.EDABCF梦想成真梦想成真 随堂练习随堂练习2.如图如图,一目标在一目标在A区区,到公路到公路,铁路距离相等铁路距离相等,离公路离公路与铁路的交叉处与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置在图上标出它的位置(比例比例尺尺 1:20 000).A区 回味无穷w定理定理 角平分线上的点到这个角的两边角平分线上的点到这个角的两边距离相等距离相等.wO
8、C C是是AAOB B的平分线的平分线,P,P是是OC C上任意上任意一点一点,PD,PDOA,PEA,PEOB,B,垂足分别是垂足分别是D,E(D,E(已知已知)PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边角平分线上的点到这个角的两边距离相等距离相等).).w逆定理逆定理 在一个角的内部在一个角的内部,且到角的两且到角的两边距离相等的点边距离相等的点,在这个角的平分线上在这个角的平分线上.wPA=PB,PDPA=PB,PDOA,PEA,PEOB,B,垂足分别垂足分别是是D,E(D,E(已知已知),),w点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上.(.(在一个角在一个角的内部的内部
9、,且到角的两边距离相等的点且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上在这个角的平分线上).).w用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线.w邻补角的角平分线之间的关系邻补角的角平分线之间的关系.小结 拓展OCB1A2PDE知识的升华独立独立作业作业习题1.9祝你成功！习题1.8 独立作业独立作业驶向胜利的彼岸w1.1.利用尺规作出三角形三个内角的平分线利用尺规作出三角形三个内角的平分线.w老师期望老师期望:w先分别作出不同形状的三角形先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图再按要求去作图.w你发现了什么？你发现了什么？习题1.8 独立作业独立作业驶向胜利驶向胜利的彼岸的彼岸w2.2.如图如图,
10、求作一点求作一点P,P,使使PC=PD,PC=PD,并且点并且点P P到到AOBAOB的两边的距离相等的两边的距离相等.老师期望老师期望:养成用数学解释生活的习惯养成用数学解释生活的习惯.CDABO习题习题1.8 独立作业独立作业驶向胜利驶向胜利的彼岸的彼岸w3.3.已知已知:如图如图,在在ABCABC中中,AD,AD是它的角平分线是它的角平分线,且且BD=CD,DEAB,DFAC,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.E,F.w求证求证:EB=FC.:EB=FC.老师期望老师期望:做完题目后做完题目后,一定要一定要“悟悟”到点东到点东西西,纳入到自己的认知结构中去纳入到自己的认知结构中去.BAEDCF结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.下课了!
