1、函数奇偶性复习函数奇偶性复习高一数学组高一数学组 1.偶函数偶函数一般地，如果对于函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的定义域内 一个一个x，都，都有有 ，那么函数，那么函数f(x)就叫做偶函数就叫做偶函数.2.奇函数奇函数一般地，如果对于函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的定义域内 一个一个x,都都有有 ,那么函数那么函数f(x)就叫做奇函数就叫做奇函数.3.奇偶性奇偶性：那么，就说函那么，就说函数数f(x)具有奇偶性具有奇偶性.4.奇函数的图象关于奇函数的图象关于 对称对称,反过来，如果一个函数的反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是图象关于原点对称，那么这个
2、函数是 ；偶函数；偶函数的图象关于的图象关于 对称，反过来，如果一个函数的图象关于对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是轴对称，那么这个函数是 .f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)如果函数如果函数f(x)是奇函数或偶函数是奇函数或偶函数原点原点任意任意任意任意奇函数奇函数y轴轴偶函数偶函数知识回顾：知识回顾：5.若奇函数若奇函数f(x)在在a,b上是增函数，且有最大值上是增函数，且有最大值M，则，则f(x)在在-b,-a上是上是 函数，且有函数，且有 .6.若奇函数若奇函数f(x)在在x=0处有定义，则处有定义，则f(0)=.7.若若y=f(x)是偶函数，则是偶函
3、数，则f(x)与与f(|x|)的大小关系是的大小关系是 ._.8.若若f(x)是奇函数或偶函数，则其定义域关于是奇函数或偶函数，则其定义域关于 对称对称.9.9.函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的性是函数的_._.10.10.由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个条件是，对于定义域内的任意一个x，则，则x也一定是定义域也一定是定义域内的一个自变量（即内的一个自变量（即 ）增增最小值最小值-M0f(x)=f(|x|)原点原点同时注意同
4、时注意 f(x)=f(|x|)=f(-x)=f(-|x|)整体性质整体性质定义域关于原点对称定义域关于原点对称学点一学点一 奇偶性的判定奇偶性的判定判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性:（1）f(x)=(x-1);（2）f(x)=.x1x13|x3|x12【分析分析】先观察定义域是否关于原点对称，再看先观察定义域是否关于原点对称，再看f(-x)与与f(x)之间的关系之间的关系.若若f(x)本身能化简，应先化简，再进行判断，本身能化简，应先化简，再进行判断，可避免失误可避免失误.突破热点题型：突破热点题型：【解析】（1）先确定函数的定义域，）先确定函数的定义域，由由 0得得-1x0，关于原点
5、不对称，关于原点不对称，函数函数f(x)=为非奇非偶函数为非奇非偶函数.x1x 判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=x+;（2）f(x)=x2+;（3）f(x)=x+;（4）f(x)=.x12x1x1x 2x11x2学点二学点二 由奇偶性求函数解析式由奇偶性求函数解析式设设f(x)是定义在是定义在R上的奇函数，当上的奇函数，当x0时，时，f(x)=x2+x+1,求求函数解析式函数解析式.【分析分析】由奇函数的图象关于原点对称，找由奇函数的图象关于原点对称，找x0和和x0时解析时解析式间的联系式间的联系.【解析解析】当当x0，由已知得，由已知得f(-x)=x2-x+1,f
6、(x)为为R上上 的奇函数，的奇函数，f(-x)=-f(x)=x2-x+1,f(x)=-x2+x-1,又又f(0)=-f(0),f(0)=0.x2+x+1，x0，0，x=0，-x2+x-1，x0,0 x=0，-x2+x-1，x0时，时，f(x)=x|x-2|，求当，求当x0时，时，f(x)的表达式的表达式.解：设解：设x0，且满足表达式，且满足表达式f(x)=x|x-2|,f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.又又f(x)是奇函数，是奇函数，f(-x)=-f(x),-f(x)=-x|x+2|,f(x)=x|x+2|.故当故当x0时，时，f(x)的表达式为的表达式为f(x)=x|x+2|
7、.2.(13年湖南）已知年湖南）已知f(x)是奇函数，是奇函数，g(x)是偶函数，且是偶函数，且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,求求g(1)=_.3学点三学点三 奇偶性在求变量范围中的应用奇偶性在求变量范围中的应用设设f(x)在在R上是偶函数，在区间上是偶函数，在区间(-,0)上递增，且有上递增，且有f(2a2+a+1)0,2a2-2a+3=2（a-）2+0,且且f(2a2+a+1)2a2-2a+3,即即3a-20,解之得解之得a .a的取值范围是的取值范围是a .418721323225【评析评析】奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；奇函数在关于原点对称的区间上的单
8、调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.定义在定义在(-1,1)上的奇函数上的奇函数f(x)为减函数，且为减函数，且f(1-a)+f(1-a2)0，求实数求实数a的取值范围；的取值范围；解：解：f(1-a)+f(1-a2)0,f(1-a)-f(1-a2),f(x)为奇函数为奇函数,f(1-a)a2-1 -11-a1 -1a2-11解得解得0a1.1.1.在函数的奇偶性中应注意什么问题？在函数的奇偶性中应注意什么问题？（1）对于函数奇偶性的理解）对于函数奇偶性的理解函数的奇偶性与单调性的差异函数的奇偶性与单调性的差异:函数的奇偶性是相对于函数函
9、数的奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同.从这个意从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的义上来讲，函数的单调性是函数的“局部局部”性质，而奇偶性是性质，而奇偶性是函数的函数的“整体整体”性质，只有对函数定义域内的每一个值性质，只有对函数定义域内的每一个值x，都，都有有f(-x)=-f(x)（或（或f(-x)=f(x)）,才能说才能说f(x)是奇（或偶）函数是奇（或偶）函数.奇（或偶）函数的定义域必须是关于原点对称的，如果函数奇（或偶）函数的定义域必须是关于原点对称的，如果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数，也不
10、是偶的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数，也不是偶函数函数.难点突破：难点突破：2.2.奇偶函数的图象有什么几何性质？奇偶函数的图象有什么几何性质？（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数数是奇函数.如果一个函数是偶函数，则它的图象是以如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴轴为对称轴的轴对称图形；反之如果一
11、个函数的图象关于对称图形；反之如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个轴对称，则这个函数是偶函数函数是偶函数.（2）若奇函数）若奇函数y=f(x)在在x=0时有定义，则由奇函数定义知时有定义，则由奇函数定义知f(-0)=-f(0)，即，即f(0)=-f(0),所以所以f(0)=0.（3）奇函数在对称于原点的两个区间上的单调性一致，偶）奇函数在对称于原点的两个区间上的单调性一致，偶函数则相反函数则相反.1.1.如果已知函数具有奇偶性，只要画出它在如果已知函数具有奇偶性，只要画出它在y y轴一侧的图象，轴一侧的图象，则另一侧的图象可对称画出则另一侧的图象可对称画出.2.2.奇函数在关于原点对称的区间
12、上的单调性相同；偶函数在奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反关于原点对称的区间上的单调性相反.3.3.判断函数的奇偶性时，我们可以根据判断函数的奇偶性时，我们可以根据f(-x)=f(-x)=f(x)f(x)，或是，或是根据根据f(-x)f(-x)f(x)=0f(x)=0，或是根据，或是根据f(-x)f(-x)/f(x)=/f(x)=1 1等途径来判等途径来判断断.4.4.利用定义判断函数的奇偶性时，既要判断利用定义判断函数的奇偶性时，既要判断f(x)f(x)与与f(-x)f(-x)的的关系，又不能忽略与定义域有关的问题，如关于原点对称、关系，又不能
13、忽略与定义域有关的问题，如关于原点对称、x x的任意性等的任意性等.因此，在解题中先确定函数的定义域不仅是解题程序的需要，因此，在解题中先确定函数的定义域不仅是解题程序的需要，可以避免许多错误，而且有时还可以避开讨论，简化解题的可以避免许多错误，而且有时还可以避开讨论，简化解题的过程过程.课堂归纳小结：课堂归纳小结：课后练习：课后练习：3,1,)()6(1)()5(0)()4(5)()3(1)()2(1)()1(22xxxfxxfxfxfxxfxxxf2.判断奇偶性判断奇偶性1.(),()()(),()f xRx yf xyf xf yf x设是定义在 上的函数,且对任意的都有试判断的奇偶性.3.定义在定义在-2,2上的偶函数上的偶函数g(x)，当，当x0时，时，g(x)为减函数，为减函数，若若g(1-m)g(m)成立，求成立，求m的取值范围的取值范围.解：因为函数解：因为函数g(x)在在-2,2上是偶函数，则由上是偶函数，则由g(1-m)g(m)，可得，可得g(|1-m|)|m|,解之得解之得-1m21
