1、重庆市主城区高重庆市主城区高 2023 届学业质量调研抽测（第二次）高三数学试卷届学业质量调研抽测（第二次）高三数学试卷一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合2,0,2M ，5,0,5N ，5,2,2,5T ，则（）AMN BMNTCMNTTDMNTT2已知复数 z 满足345izz，i 是虚数单位，则2z（）A2iB2iC1 iD1 i3下图是根据某班学生在一次体能素质测试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得
2、到的 80%分位数为（）A75B77.5C78D78.54正多面体统称为柏拉图体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成（各面都是全等的正多边形，且每个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成的二面角都相等），正多面体共有 5 种，它们分别是正四面体、正六面体（即正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体连接正方体中相邻面的中心（如图 1），得到另一个柏拉图体，即正八面体PABCDQ（如图 2），设 E，F，H 分别为 PA，PB，BC 的中点，则下列说法正确的是（）AAP 与 CQ 为异面直线B经过 E，F，H 的平面截此正八面体所得的截面为正五边形C平面PAB 平面 PCDD平
3、面EFH 平面 PCD5已知拋物线 C：220ypx p与直线240 xy交于 A，B 两点，且3 5AB，设抛物线 C的焦点为 F，则AFBF（）A7 5B7C6D56 数术记遗是算经十书中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书记述了我国古代 14 种算法，分别是：积算（即筹算）、，太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数某学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组要收集九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、珠算 6 种算法的相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数有（）A1560 种B2160 种C2640
4、 种D4140 种7已知三棱锥PABC的顶点都在以 PC 为直径的球 M 的球面上，PABC若球 M 的表面积为48，4PA，则三棱雉PABC的体积的最大值为（）A163B323C643D32第1 页/共4 页8 已 知 偶 函 数 f x的 定 义 域 为,2 2，其 导 函 数 为 fx，当02x时，有 cossin0fxxf xx成立，则关于 x 的不等式 2cos3f xfx的解集为（）A,3 3B,3 2C,233 2D,0,33 2二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选
5、对的得分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。9 已知函数 sin06f xx图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为4，则下列说法正确的是（）A函数 f x的最小正周期为B将函数 f x的图象向左平移6个单位长度后所得图象关于原点对称C 6ff xD33fxfx10若 a，b，c 都是正数，且236abc则（）A112abcB111abcC4abcD24abc11已知 F 是双曲线 E：22221xyab（0a，0b）的右焦点，直线43yx与双曲线 E 交于 A，B 两点，M 为双曲
6、线 E 上异于 A，B 的一点，且 MA，MB 不与坐标轴垂直，O 为坐标原点，P，Q 分别为 AF，BF 的中点，且0OP OQ ，记双曲线 E 的离心率为 e，直线 MA 与 MB 的斜率分别为1k，2k则（）A2 5e B5e C124kkD124k k 12已知数列 na满足12a，112,2,nnnnanaa n为奇数为偶数，设2nnba，记数列 na的前 2n 项和为2nS，数列 nb的前 n 项和为nT，则下列结论正确的是（）A524a B2nnbnC12nnTnD1221 22nnSn三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20
7、 分。分。13已知平面向量2,3a，6,by，若ab，则ab_14写出一个使等式3tan10cos1成立的角的值为_15 已 知 f x是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 且 02f，1g xf x是 奇 函 数，则 1232023ffff_16已知直线 l：80 xy与 x 轴相交于点 A，过直线 l 上的动点 P 作圆2216xy的两条切线，切点分别为C，D两点，则直线CD恒过定点坐标为_；记M是CD的中点，则AM的最小值为_四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17
8、（10 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知22 coscbaB（1）求角 A；（2）若22230bacc，ABC 的面积为15 34，求边 BC 的中线 AD 的长第2 页/共4 页18（12 分）已知等差数列 na满足214nnannk，kR数列 nb的前 n 项和nT满足233nnTb（1）求数列 na和 nb的通项公式；（2）对于集合 A，B，定义集合ABx xAxB且设数列 na和 nb中的所有项分别构成集合A，B，将集合AB的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列 nc，求数列 nc的前 50 项和50S19（12 分）某制药厂研制了一种新药，为了解这
9、种新药治疗某种病毒感染的效果，对一批病人进行试验，在一个治疗周期之后，从使用新药和未使用新药的病人中各随机抽取 100 人，把他们的治愈记录进行比较，结果如下表所示：治愈未治愈合计使用新药60未使用新药50合计（1）请完成2 2列联表，是否有 90%的把握认为该种新药对该病毒感染有治愈效果？（2）把表中使用新药治愈该病毒感染的频率视作概率，从这一批使用新药的病人中随机抽取 3 人，其中被治愈的人数为 X，求随机变量 X 的分布列和期望（3）该药厂宣称使用这种新药对治愈该病毒感染的有效率为 90%，随机选择了 10 个病人，经过使用该药治疗后，治愈的人数不超过 6 人，你是否怀疑该药厂的宣传？请
10、说明理由（参考数据：1919100.90.19 10C，2827100.90.13.65 10C，3736100.90.18.75 10C，4644100.90.11.38 10C，5553100.90.11.49 10C，646100.90.10.011C，10101070.90.10.987iiiiC）附：22n adbcKabcdacbd，2P Kk0.100.0100.001k2.7066.63510.82820（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，四边形 ABCD 是矩形，E 为 AD 的中点，AD 平面 PABPAPB，M为 PB 的中点（1）求证：直线EM 平面 PCD；（2）
11、若APAD，2ABAD，求直线 EM 与平面 PCE 所成角的正弦值第3 页/共4 页21（12 分）已知椭圆 C：222210 xyabab的离心率为12，左、右焦点分别为1F，2F，过1F的直线1yt x交椭圆于 M，N 两点，交 y 轴于 P 点，1PMMF ，1PNNF，记OMN，2OMF，2ONF的面积分别为1S，2S，3S（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若123SmSS，433 ，求 m 的取值范围22（12 分）已知函数 lnaf xxaxx，函数 2ln2e2 e12xxxag xaxx（1）当0a 时，求 f x的单调区间；（2）已知12a，12xex，求证：0g x；（
12、3）已知 n 为正整数，求证：11111ln212212nnnnn第4 页/共4 页高三语文参考答案及评分意见 第 4 页（共 4 页）高 2023 届学业质量调研抽测（第二次）高三数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。14CBDD；58BABC.二、选择题：本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9AD；10BCD；11BC；12ACD.三、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5
13、 分,共 20 分。1365；1450o（答案不唯一）；152；16(2,2)，4 2四、解答题：17解：（1）（法一）由余弦定理可得222222acbcbaac，即22222cbcacb，整理可得222bcabc，3 分所以2221cos222bcabcAbcbc，0AQ，23A.5 分（法二）由正弦定理可得2sinsin2sincosCBAB，sinsin()sin()sincoscossinCABABABAB，2cossinsin0ABB，3 分sin0B Q，1cos2A，0AQ，23A5 分（2）在ABCV中,22222cos3bcbca,即2220bcabc,22230bacc,与
14、上式结合可得3b,6 分1315 3sin244bcAbc,故15bc,所以5c,7 分（法一）在ABC中,2222cos49BCABACAB ACA,7,a易得11cos14C，在ACD中,222497 11192cos92 342 144ADACCDAC CDC,故192AD.10 分高三语文参考答案及评分意见 第 5 页（共 4 页）（法二）2ADABAC，2229+25-15=19ADAB AC +=，19.2AD10 分18解：（1）（法一）由214nnannk，令1,2,3n，得到12351839,234kkkaaa,1 分 na是等差数列，则2132aaa，即362539324k
15、kk3k ,3 分由于2(1)43(1)(43)nnannnn10n，43nan.4 分（法二）na是等差数列，公差为d，设111naad ndnad211111nnandnaddna nad22114dna nadnnk对于*nN 均成立则1141daadk，解得3k ，43nan.4 分233nnTb，当2n 时，11233nnTb，两式相减得12332nnnbbbn，即132nnbbn，又11233bb13b 数列 nb是首项为3，公比为3的等比数列，3nnb.7 分（2）由（）知:3nnb，则481b，5243b，524 523205a，4525bab数列na的前52项中有数列 nb中
16、的项29b 和481b，9 分数列 nc的前50项和为：25015252(1 205)(981)9052662(SaaaL.12 分19解：治愈未治愈合计高三语文参考答案及评分意见 第 6 页（共 4 页）（1）2 分由上表数据可知：222()200(60505040)()()()()100 100 11090n adbcKab cdac bd2002.0202.70699，所以没有 90%的把握认为该种新药对治愈该病毒感染有作用5 分（2）X的可能取值为 0，1，2，3,由题意可知，X服从二项分布，则33()(0.6)(0.4)0,1,2,3)iiiP XiCi（，X的分布列为：X0123P
17、8125361255412527125X的期望为：()1.8E Xnp.9 分(3)假设 新药 的有效 率确 实达 到 90%，设 10 个感 染者 使用该 药治 愈的 人数为X，则(10,0.9)XB，6101010101007(6)(0.9)(0.1)1(0.9)(0.1)0.013iiiiiiiiP XCC，0.013是 一 个 小 概 率，小 概 率 事 件 竟 然 发 生 了，与 小 概 率 原 理 矛 盾，所 以 有 理 由 怀 疑 药 厂 的 宣传.12 分20（1）证明：取PC的中点为F,连接MF，则/MFBCDE,且12MFBCDE,四边形DEMF是平行四边形，/DFEM，3
18、 分DF Q平面PCD,EM 平面PCD,直线/EM平面PCD.5 分（2）解：因为AD 平面 PAB，则ADPA，ADPB，以A为原点，以垂直AB所在直线为 x 轴，AB为 y 轴，AD为 z 轴，建立空间直角坐标系Axyz，如图所示6 分使用新药6040100未使用新药5050100合计11090200高三语文参考答案及评分意见 第 7 页（共 4 页）设2AD，则2AP，2 2AB PAPB，则45PAB2,2,0P，0,0,2D，0,2 2,0B，0,0,1E，0,2 2,2C，2 3 2,022M,0,2 2,1EC ，(2,2,2)PC uuu r，2 3 2(,1)22EM uu
19、ur.8 分设平面 PCE 的一个法向量为,nx y z，则，0,0n PCn ECr uuu rr uuu r即2220,2 20,xyzyz不妨令1y ，得2 2z，3x，所以3,1,2 2n，10 分设直线EM与平面PCE所成的角为，则9s62 26incos,3 2nnEM nEMEMuuur ruuur ruuur r，所以直线EM与平面PCE所成的角的正弦值为6912 分21解：（1）由题意得，左焦点1(1,0)1Fc，122caa，2223bac，所以椭圆 C 的标准方程为：22143xy.4 分（2）设1122(,),(,)M x yN xy，令0 x，yt，则0,Pt，则11
20、(,)PMx ytuuur，1111,MFxy ，由1PMMFuuuruuur得1111,1,x ytxy，解得11ty，同理21ty.6 分由221431yyt xx，得2236490yytt，则1226,43tyyt2122943ty yt，高三语文参考答案及评分意见 第 8 页（共 4 页）1212128223t yyttyyy y.8 分不妨设120yy，1121211122Syyyy（），21111122Syy，32211122Syy ，由11ty，21ty.得11ty，21ty，2111513yy.代入123SmSS，有2121121122yyymy，则1212myyyy，解得22
21、221114(1)15911(1)1()553333yyymyyy ,10 分43,3 Q511,233 设53u，则1,23u，则 4193h uuu，则 2419h uu，令 0h u，解得223u，令 0h u，解得1233u，故 h u在1 2,3 3上单调递减，在2,23上单调递增，则 min213h uh，且 1417,2339hh，则 171,9h u，则171,9m.12 分22.（1）解：2221()ln,()aaaxxaf xxaxfxaxxxx，当12a 时，()f x的减区间为0,，当102a时，()f x的减区间为2211 411 40,22aaaa ()f x的增区
22、间为22114114,22aaaa4 分（2）证明：欲证2ln2e()2 e10,2xxxag xaxx 需证ln22e02 exxaxxaxx，高三语文参考答案及评分意见 第 9 页（共 4 页）即需证ln 2 e2e02 exxxaxaxx，令2 extx，即需证ln0atatt，设()lnah ttatt，2 e1xtx，由（）知当12a 时，(t)h的减区间为0,所以()(1)0,h th故()0.g x 8 分(3)证明：由（）知，当11,2ta时，11ln2ttt，令*21Ntnn，则2121122ln 11122222(21)1nnnnnn nnnn即2ln(2)lnnnn，9 分所以2ln(3)ln(1)1nnn2ln(4)ln(2)2nnn2ln(5)ln(3)3nnn.ln(21)ln(21)212nnnln(22)l)22n(2nnn上各式相加得：11111ln(22)ln(21)lnln(1)212212nnnnnnnnn21 2211111112lnln 4ln212212212nnnnnnnn nn12 分
