1、二次函数图像及性质知识总结二次函数概 念一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。定义域是全体实数，图像是抛物线解析式bc为0时b为0时 bc不为0时图像的性质开口向上向上向上开口向下向下向下对称轴轴轴顶点坐标时有最小值X=0.时 y最小值等于0X=0, 时Y最小值等于c当时。有最小值时有最大值X=0. 时y最大值等于0 X=0, 时Y最大值等于c当时，有最大值时开口向上时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大时开口向下时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小图像画法利用配方法将二次
2、函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.解析式的表示及图像平移1. 一般式： 2. 顶点式： 3. 两根式： 2.平移 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 二次函数yax
3、2及其图象一、填空题1形如_的函数叫做二次函数，其中_是目变量，a，b，c是_且_02函数yx2的图象叫做_，对称轴是_，顶点是_3抛物线yax2的顶点是_，对称轴是_当a0时，抛物线的开口向_；当a0时，抛物线的开口向_4当a0时，在抛物线yax2的对称轴的左侧，y随x的增大而_，而在对称轴的右侧，y随x的增大而_；函数y当x_时的值最_5当a0时，在抛物线yax2的对称轴的左侧，y随x的增大而_，而在对称轴的右侧，y随x的增大而_；函数y当x_时的值最_6写出下列二次函数的a，b，c(1)a_，b_，c_(2)ypx2a_，b_，c_(3)a_，b_，c_(4)a_，b_，c_7抛物线ya
4、x2，a越大则抛物线的开口就_，a越小则抛物线的开口就_8二次函数yax2的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内(1)y2x2如图( )；(2)如图( )；(3)yx2如图( )；(4)如图( )；(5)如图( )；(6)如图( )9已知函数不画图象，回答下列各题(1)开口方向_；(2)对称轴_；(3)顶点坐标_；(4)当x0时，y随x的增大而_；(5)当x_时，y0；(6)当x_时，函数y的最_值是_10画出y2x2的图象，并回答出抛物线的顶点坐标、对称轴、增减性和最值11在下列函数中y2x2；y2x1；yx；yx2，回答：(1)_的图象是直线，_的图象是抛物线(2)函数_y随着
5、x的增大而增大函数_y随着x的增大而减小(3)函数_的图象关于y轴对称函数_的图象关于原点对称(4)函数_有最大值为_函数_有最小值为_12已知函数yax2bxc(a，b，c是常数)(1)若它是二次函数，则系数应满足条件_(2)若它是一次函数，则系数应满足条件_(3)若它是正比例函数，则系数应满足条件_13已知函数y(m23m)的图象是抛物线，则函数的解析式为_，抛物线的顶点坐标为_，对称轴方程为_，开口_14已知函数ym(m2)x(1)若它是二次函数，则m_，函数的解析式是_，其图象是一条_，位于第_象限(2)若它是一次函数，则m_，函数的解析式是_，其图象是一条_，位于第_象限15已知函数
6、ym，则当m_时它的图象是抛物线；当m_时，抛物线的开口向上；当m_时抛物线的开口向下二、选择题16下列函数中属于一次函数的是( )，属于反比例函数的是( )，属于二次函数的是( )Ayx(x1)Bxy1Cy2x22(x1)2D17在二次函数y3x2；中，图象在同一水平线上的开口大小顺序用题号表示应该为( )ABCD18对于抛物线yax2，下列说法中正确的是( )Aa越大，抛物线开口越大Ba越小，抛物线开口越大Ca越大，抛物线开口越大Da越小，抛物线开口越大19下列说法中错误的是( )A在函数yx2中，当x0时y有最大值0B在函数y2x2中，当x0时y随x的增大而增大C抛物线y2x2，yx2，
7、中，抛物线y2x2的开口最小，抛物线yx2的开口最大D不论a是正数还是负数，抛物线yax2的顶点都是坐标原点三、解答题20函数y(m3)为二次函数(1)若其图象开口向上，求函数关系式；(2)若当x0时，y随x的增大而减小，求函数的关系式，并画出函数的图象21抛物线yax2与直线y2x3交于点A(1，b)(1)求a，b的值；(2)求抛物线yax2与直线y2的两个交点B，C的坐标(B点在C点右侧)；(3)求OBC的面积22已知抛物线yax2经过点A(2，1)(1)求这个函数的解析式；(2)写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标；(3)求OAB的面积；(4)抛物线上是否存在点C，使ABC的面积等于
8、OAB面积的一半，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由1yax2bxc(a0)，x，常数，a 2抛物线，y轴，(0，0)3(0，0)，y轴，上，下 4减小，增大，x0，小5增大，减小，x0，大6(1)(2)p，0，0，(3)(4)7越小，越大8(1)D，(2)C，(3)A，(4)B，(5)F，(6)E9(1)向下，(2)y轴(3)(0，0)(4)减小(5)0(6)0，大，010略11(1)、；、(2)；(3)、；(4)，0；，012(1)a0，(2)a0且b0，(3)ac0且b013y4x2；(0，0)；x0；向上14(1)2；y2x2；抛物线；一、二，(2)0；y2x；直线；二、四1
9、52或1；1；216C、B、A 17C 18D 19C20(1)m4，yx2；(2)m1，y4x221(1)a1，b1；(2)(3)SOBC22(1)； (2)B(2，1)；(3)SOAB2；(4)设C点的坐标为则则得或C点的坐标为 二次函数ya(xh)2k及其图象一、填空题1已知a0，(1)抛物线yax2的顶点坐标为_，对称轴为_(2)抛物线yax2c的顶点坐标为_，对称轴为_(3)抛物线ya(xm)2的顶点坐标为_，对称轴为_2若函数是二次函数，则m_3抛物线y2x2的顶点，坐标为_，对称轴是_当x_时，y随x增大而减小；当x_时，y随x增大而增大；当x_时，y有最_值是_4抛物线y2x2
10、的开口方向是_，它的形状与y2x2的形状_，它的顶点坐标是_，对称轴是_5抛物线y2x23的顶点坐标为_，对称轴为_当x_时，y随x的增大而减小；当x_时，y有最_值是_，它可以由抛物线y2x2向_平移_个单位得到6抛物线y3(x2)2的开口方向是_，顶点坐标为_，对称轴是_当x_时，y随x的增大而增大；当x_时，y有最_值是_，它可以由抛物线y3x2向_平移_个单位得到二、选择题7要得到抛物线，可将抛物线( )A向上平移4个单位B向下平移4个单位C向右平移4个单位D向左平移4个单位8下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是( )Ay2x2与y3x2B与Cy2x2与yx22Dyx2与yx
11、229顶点为(5，0)，且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是( )ABCD三、解答题10在同一坐标系中画出函数和的图象，并说明y1，y2的图象与函数的图象的关系11在同一坐标系中，画出函数y12x2，y22(x2)2与y32(x2)2的图象，并说明y2，y3的图象与y12x2的图象的关系填空题12二次函数ya(xh)2k(a0)的顶点坐标是_，对称轴是_，当x_时，y有最值_；当a0时，若x_时，y随x增大而减小13填表解析式开口方向顶点坐标对称轴y(x2)23y(x3)22y3(x2)2y3x2214抛物线有最_点，其坐标是_当x_时，y的最_值是_；当x_时，y随x增大而增大15将抛
12、物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式为_选择题16一抛物线和抛物线y2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(1，3)，则该抛物线的解析式为( )Ay2(x1)23By2(x1)23Cy(2x1)23Dy(2x1)2317要得到y2(x2)23的图象，需将抛物线y2x2作如下平移( )A向右平移2个单位，再向上平移3个单位B向右平移2个单位，再向下平移3个单位C向左平移2个单位，再向上平移3个单位D向左平移2个单位，再向下平移3个单位解答题18将下列函数配成ya(xh)2k的形式，并求顶点坐标、对称轴及最值(1)yx26x10(2)y2x25x7(3)y3x22x(
13、4)y3x26x2(5)y1005x2(6)y(x2)(2x1)19把二次函数ya(xh)2k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象(1)试确定a，h，k的值；(2)指出二次函数ya(xh)2k的开口方向、对称轴和顶点坐标1(1)(0，0)，y轴；(2)(0，c)，y轴；(3)(m，0)，直线xm2m13(0，0)，y轴，x0，x0，0，小，04向下，相同，(0，0)，y轴5(0，3)，y轴，x0，0，小，3，上，36向上，(2，0)，直线x2，x2，2，小，0，右，27C 8D 9C10图略，y1，y2的图象是的图象分别向上和向下平移3个单位11图略，y2，y3的图
14、象是把y1的图象分别向右和向左平移2个单位12(h，k)，直线xh；h，k，xh13开口方向顶点坐标对称轴y(x2)23向上(2，3)直线x2y(x3)22向下(3，2)直线x3向下(5，5)直线x5向上(，1)直线xy3(x2)2向上(2，0)直线x2y3x22向下(0，2)直线x014高(3，1)，3，大，1，31516B 17D18(1)y(x3)21，顶点(3，1)，直线x3，最小值为1(2)顶点直线最大值为(3)顶点直线最小值为(4)y3(x1)21，顶点(1，1)，直线x1，最大值为1(5)y5x2100，顶点(0，100)，直线x0，最大值为100(6)顶点直线最小值为19(1)
15、(2)开口向上，直线x1，顶点坐标(1，5) 二次函数yax2bxc及其图象一、填空题1把二次函数yax2bxc(a0)配方成ya(xh)2k形式为_，顶点坐标是_，对称轴是直线_当x_时，y最值_；当a0时，x_时，y随x增大而减小；x_时，y随x增大而增大2抛物线y2x23x5的顶点坐标为_当x_时，y有最_值是_，与x轴的交点是_，与y轴的交点是_，当x_时，y随x增大而减小，当x_时，y随x增大而增大3抛物线y32xx2的顶点坐标是_，它与x轴的交点坐标是_，与y轴的交点坐标是_4把二次函数yx24x5配方成ya(xh)2k的形式，得_，这个函数的图象有最_点，这个点的坐标为_5已知二
16、次函数yx24x3，当x_时，函数y有最值_，当x_时，函数y随x的增大而增大，当x_时，y06抛物线yax2bxc与y32x2的形状完全相同，只是位置不同，则a_7抛物线y2x2先向_平移_个单位就得到抛物线y2(x3)2，再向_平移_个单位就得到抛物线y2(x3)24二、选择题8下列函数中y3x1；y4x23x；y52x2，是二次函数的有( )ABCD9抛物线y3x24的开口方向和顶点坐标分别是( )A向下，(0，4)B向下，(0，4)C向上，(0，4)D向上，(0，4)10抛物线的顶点坐标是( )ABCD(1，0)11二次函数yax2x1的图象必过点( )A(0，a)B(1，a)C(1，
17、a)D(0，a)三、解答题12已知二次函数y2x24x6(1)将其化成ya(xh)2k的形式；(2)写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标；(3)求图象与两坐标轴的交点坐标；(4)画出函数图象；(5)说明其图象与抛物线yx2的关系；(6)当x取何值时，y随x增大而减小；(7)当x取何值时，y0，y0，y0；(8)当x取何值时，函数y有最值?其最值是多少?(9)当y取何值时，4x0；(10)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积填空题13已知抛物线yax2bxc(a0)(1)若抛物线的顶点是原点，则_；(2)若抛物线经过原点，则_；(3)若抛物线的顶点在y轴上，则_；(4)若抛物线的顶点在x轴上
18、，则_14抛物线yax2bx必过_点15若二次函数ymx23x2mm2的图象经过原点，则m_，这个函数的解析式是_16若抛物线yx24xc的顶点在x轴上，则c的值是_17若二次函数yax24xa的最大值是3，则a_18函数yx24x3的图象的顶点及它和x轴的两个交点为顶点所构成的三角形面积为_平方单位19抛物线yax2bx(a0，b0)的图象经过第_象限选择题20函数yx2mx2(m0)的图象是( )21抛物线yax2bxc(a0)的图象如下图所示，那么( )Aa0，b0，c0Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0Da0，b0，c022已知二次函数yax2bxc的图象如右图所示，则( )Aa0，
19、c0，b24ac0Ba0，c0，b24ac0Ca0，c0，b24ac0Da0，c0，b24ac023已知二次函数yax2bxc的图象如下图所示，则( )Ab0，c0，D0Bb0，c0，D0Cb0，c0，D0Db0，c0，D024二次函数ymx22mx(3m)的图象如下图所示，那么m的取值范围是( )Am0Bm3Cm0D0m325在同一坐标系内，函数ykx2和ykx2(k0)的图象大致如图( )26函数(ab0)的图象在下列四个示意图中，可能正确的是( )解答题27已知抛物线yx23kx2k4(1)k为何值时，抛物线关于y轴对称；(2)k为何值时，抛物线经过原点28画出的图象，并求：(1)顶点坐
20、标与对称轴方程；(2)x取何值时，y随x增大而减小?x取何值时，y随x增大而增大?(3)当x为何值时，函数有最大值或最小值，其值是多少?(4)x取何值时，y0，y0，y0?(5)当y取何值时，2x2?29已知函数y1ax2bxc(a0)和y2mxn的图象交于(2，5)点和(1，4)点，并且y1ax2bxc的图象与y轴交于点(0，3)(1)求函数y1和y2的解析式，并画出函数示意图；(2)x为何值时，y1y2；y1y2；y1y230如图是二次函数yax2bxc的图象的一部分；图象过点A(3，0)，对称轴为x1，给出四个结论：b24ac；2ab0；abc0；5ab其中正确的是_(填序号)12小，3
21、(1，4)，(3，0)、(1，0)，(0，3)4y(x2)21，低，(2，1)52，7，x2，62 7右，3，上，48D 9B. 10B 11C12(1)y2(x1)28；(2)开口向上，直线x1，顶点(1，8)；(3)与x轴交点(3，0)(1，0)，与y轴交点(0，6)；(4)图略；(5)将抛物线yx2向左平移1个单位，向下平移8个单位；得到y2x24x6的图象；(6)x1；(7)当x3或x1时，y0；当x3或x1时，y0；当3x1时，y0；(8)x1时，y最小值8；(9)8y10；(10)S1213(1)bc0；(2)c0；(3)b0；(4)b24ac014原 152，y2x23x 164
22、171 181 19一、二、三20C. 21B 22D 23B 24C 25B 26C27(1)k0；(2)k228顶点(1，2)，直线x1；x1，x1； x1，y最大2；1x3时，y0；x1或x3时y0；x1或x3时，y0；29(1)y1x22x3，y23x1(2)当2x1时，y1y2当x2或x1时，y1y2当x2或x1时y1y230，二次函数的图像和性质 习题精选1二次函数的图像开口向，对称轴是，顶点坐标是，图像有最点，x时，y随x的增大而增大，x时，y随x的增大而减小。2关于，的图像，下列说法中不正确的是（ ）A顶点相同 B对称轴相同 C图像形状相同 D最低点相同3两条抛物线与在同一坐标
23、系内，下列说法中不正确的是（ ）A顶点相同 B对称轴相同 C开口方向相反 D都有最小值4在抛物线上，当y0时，x的取值范围应为（ ）Ax0 Bx0 Cx0 Dx05对于抛物线与下列命题中错误的是（ ）A两条抛物线关于轴对称 B两条抛物线关于原点对称C两条抛物线各自关于轴对称 D两条抛物线没有公共点6抛物线y=b3的对称轴是，顶点是。7抛物线y=4的开口向，顶点坐标，对称轴，x时，y随x的增大而增大，x时，y随x的增大而减小。8抛物线的顶点坐标是（ ）A（1，3） B（1，3） C（1，3） D（1，3）9已知抛物线的顶点为（1，2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（ ）Ay=32
24、By=32 Cy=32 Dy=3210二次函数的图像向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得新函数表达式为（ ）Ay=a3 By=a3Cy=a3 Dy=a311抛物线的顶点坐标是（ ）A（2，0） B（2，-2） C（2，-8） D（-2，-8）12对抛物线y=3与y=4的说法不正确的是（ ）A抛物线的形状相同 B抛物线的顶点相同C抛物线对称轴相同 D抛物线的开口方向相反13函数y=ac与y=axc(a0)在同一坐标系内的图像是图中的（ ）14化为y=为a的形式是，图像的开口向，顶点是，对称轴是。15抛物线y=1的顶点是，对称轴是。16函数y=2x5的图像的对称轴是（ ）A直线x=2 B直线a
25、=2 C直线y=2 D直线x=417二次函数y=图像的顶点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限18如果抛物线y=的顶点在x轴上，那么c的值为（ ）A0 B6 C3 D919抛物线y=的顶点在第三象限，试确定m的取值范围是（ ）Am1或m2 Bm0或m1 C1m0 Dm120已知二次函数，如果a0,b0,c0，那么这个函数图像的顶点必在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限21如图所示，满足a0,b0的函数y=的图像是（ ）22画出的图像，由图像你能发现这个函数具有什么性质？23通过配方变形，说出函数的图像的开口方向，对称轴，顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？
26、这个值是多少？ 24根据下列条件，分别求出对应的二次函数关系式。已知抛物线的顶点是（1，2），且过点（1，10）。25已知一个二次函数的图像过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式。参考答案1上 y轴 （0，0） 低 0 0 2C 3D 4C 5D6y轴 (0,3) 7下 （2，4） x=2 2 28D 9C 10D 11C 12B 13B14y=1 上 (2,1) x=2 15.(2,5) x=216A 17B 18D 19D 20D 21C22图像略，性质： （1）图像开口向上，对称轴是直线x=4，顶点（4，2）。（2）x4时，y随x增大而增大，x4时，y随x增大而减小。（3）x=4时，=2.23.y=,开口向下，对称轴x=2，顶点（2，0），x=2时，=024设抛物线是y=2，将x=1,y=10代入上式得a=3,函数关系式是y=32=36x1.25.解法1：设y=a9，将x=0,y=1代入上式得a=,y=9=解法2：设y=,由题意得解之y=
