1、第四章 矩阵习题参考答案一、 判断题1. 对于任意阶矩阵，有.错.2. 如果则.错.如.3. 如果，则为可逆矩阵.正确.，因此可逆，且.4. 设都是阶非零矩阵，且，则的秩一个等于，一个小于.错.由可得.若一个秩等于，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于.5为阶方阵，若 则错.如，有但.6为矩阵，若则存在阶可逆矩阵及阶可逆矩阵，使正确.右边为矩阵的等价标准形，矩阵等价于其标准形.7阶矩阵可逆，则也可逆.正确.由可逆可得，又.因此也可逆，且.8设为阶可逆矩阵，则正确.又.因此.由为阶可逆矩阵可得可逆，两边同时左乘式的逆可得二、 选择题1设是阶对称矩阵，是阶反对称矩
2、阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（B ）.(A) (B) (C) (D) (A)(D)为对称矩阵，（B）为反对称矩阵，（C）当可交换时为对称矩阵.2. 设是任意一个阶矩阵，那么（ A）是对称矩阵.(A) (B) (C) (D) 3以下结论不正确的是（ C ）.(A) 如果是上三角矩阵，则也是上三角矩阵；(B) 如果是对称矩阵，则 也是对称矩阵；(C) 如果是反对称矩阵，则也是反对称矩阵；(D) 如果是对角阵，则也是对角阵.4是矩阵, 是矩阵, 若的第列元素全为零，则下列结论正确的是（B ）(A) 的第行元素全等于零； (B)的第列元素全等于零； (C) 的第行元素全等于零； (D) 的第列元素
3、全等于零； 5设为阶方阵，为阶单位阵，则以下命题中正确的是（D ） (A) (B) (C) (D) 6下列命题正确的是（B ）. (A) 若，则 (B) 若，且，则 (C) 若，且，则 (D) 若，且，则7. 是矩阵，是矩阵，则（ B）.(A) 当时，必有行列式；(B) 当时，必有行列式(C) 当时，必有行列式；(D) 当时，必有行列式.为阶方阵，当时，因此，所以.8以下结论正确的是（ C ）(A) 如果矩阵的行列式,则；(B) 如果矩阵满足，则；(C) 阶数量阵与任何一个阶矩阵都是可交换的；(D) 对任意方阵，有9设是非零的四维列向量，为的伴随矩阵，已知的基础解系为，则方程组的基础解系为（
4、C ）.（A）. （B）.（C）. （D）. 由的基础解系为可得.因此（A），（B）中向量组均为线性相关的，而（D）显然为线性相关的，因此答案为（C）.由可得均为的解. 10.设是阶矩阵，适合下列条件（ C ）时，必是可逆矩阵(A) (B) 是可逆矩阵 (C) (B) 主对角线上的元素全为零 11阶矩阵是可逆矩阵的充分必要条件是（ D ）(A) (B) (C) (D) 12均是阶矩阵，下列命题正确的是（ A ）(A) 若是可逆矩阵，则从可推出(B) 若是可逆矩阵，则必有(C) 若，则从可推出(D) 若，则必有13均是阶矩阵，为阶单位矩阵，若，则有（C ）(A) （B） （C） (D) 14是阶
5、方阵，是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ D ）(A) 若是可逆矩阵，则也是可逆矩阵；(B) 若是不可逆矩阵，则也是不可逆矩阵；(C) 若，则是可逆矩阵； （）15设是5阶方阵，且，则（ ）(A) (B) (C) (D) 16设是的伴随阵，则中位于的元素为（ ）(A) (B) (C) (D) 应为的第列元素的代数余子式与的第列元素对应乘积和.17.设, ,其中是的代数余子式，则（C ）(A) 是的伴随 (B)是的伴随 (C)是的伴随(D)以上结论都不对18设为方阵，分块对角阵,则 ( )(A) (B)(C) (D) 利用验证.19已知，下列运算可行的是（C ）(A) (B) (C) (D)20
6、设是两个矩阵，是阶矩阵，那么（ D ）(A)(B)(C)(D)21对任意一个阶矩阵，若阶矩阵能满足，那么是一个（ ）(A) 对称阵 (B)对角阵 (C)数量矩阵 (D)的逆矩阵与任意一个阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵.22设是一个上三角阵，且，那么的主对角线上的元素（ ）(A) 全为零 （B）只有一个为零（C） 至少有一个为零 （D）可能有零，也可能没有零23设，则（D ）(A) （B） （C） （D）24 设，若，则（ B）(A) （B） （C） （D）25设阶矩阵，若矩阵的秩为1，则必为（A ）(A) 1 （B）-1 （C） （D）矩阵的任意两行成比例.26. 设为两个阶矩阵,现有四个命题
7、:若为等价矩阵,则的行向量组等价;若的行列式相等,即则为等价矩阵;若与均只有零解,则为等价矩阵;若为相似矩阵,则与解空间的维数相同.以上命题中正确的是( D )(A) , . (B) , . (C) ,. (D),.当时，为相似矩阵。相似矩阵的秩相等。齐次线性方程组基础解系所含解的个数即为其解空间的维数。三、填空题1设为三阶方阵，为的伴随矩阵，有，则 ，因此.2设为4阶方阵，且，则 1/27 , 9 。3设是一个矩阵，是一个矩阵，那么是一个阶矩阵，它的第行第列元素为.4.阶矩阵A可逆非退化 A与单位矩阵等价 A可以表示为一系列初等矩阵的乘积 .4.三阶对角矩阵，则的伴随矩阵= .5设，则.6设
8、，矩阵的逆矩阵为.7设都是可逆矩阵，矩阵的逆矩阵为.8设，则（ ）9既是对称矩阵，又是反对称矩阵，则为 零 矩阵.10设方阵，且则行列式 4 . 11设为阶方阵，为阶方阵，已知，则行列式.将A的各列依次与B的各列交换，共需要交换mn 次，化为12设为阶方阵，且，则 在等价关系下的标准形为 阶 单位矩阵 .13. 设（为某常数），B为的非零矩阵，且，则矩阵的秩为 1 .由可得的各列为齐次线性方程组的解，A的前两列线性无关，因此的基础解系至少有两个解，因此.又为非零矩阵，因此.即四、解答下列各题1求解矩阵方程 (1) ; (2) ;(3) ;(4) 解：（1）（2）2设, ,求解：.，因此可逆.3.设,其中, ,求.解：4设3级方阵满足，证明：可逆，并求其逆.证明：两边同左乘以得到.因此有.由可逆可得，且5设是一个级方阵，且，证明：存在一个级可逆矩阵使的后行全为零. 证明：，因此矩阵可以经过一系列行初等变换化为后行全为零.也即存在初等矩阵，使得后行全为零. ,则的后行全为零.由矩阵乘法运算可得的后行全为零.6设矩阵，且，证明：的行向量组线性无关.证明：由可得，因此.因此的行向量组线性无关.7如果称为幂等矩阵.设为阶幂等矩阵，证明：是幂等矩阵的充要条件是证明：当时幂等阵时，因此 反之，当时有 是幂等矩阵.
