1、导数【考点透视】1了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念2熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数3理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值【例题解析】考点1 导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1 是的导函数，则的值是 解答过程 例2.设函数,集合M
2、=,P=,若MP,则实数a的取值范围是 ( ) A.(-,1) B.(0,1) C.(1,+) D. 1,+) 解答过程由综上可得MP时, 例3.若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）A B C D 解答过程与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为.故选A.例4.已知两抛物线, 取何值时，有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.解答过程：函数的导数为，曲线在点P()处的切线方程为，即 曲线在点Q的切线方程是即 若直线是过点P点和Q点的公切线，则式和式都是的方程，故得，消去得方程， 若=，即时，解得，此时点P、Q重合.当时，和有且只有一条公切
3、线，由式得公切线方程为 .考点3 导数的应用1. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值（最值）;5.构造函数证明不等式.典型例题例5函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A1个 B2个 C3个D 4个 解答过程由图象可见,在区间（a,b）内的图象上有2个极小值点.故选B.例6 .设函数在及时取得极值（）求a、b的值；（）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围思路启迪：利用函数在及时取得极值构造方程组求a、b的值解答过程：（），因为函数在及取得极值，则有，即解得，（）由（）可知，当时，；当时，；当时，所以，当时，取
4、得极大值，又，则当时，的最大值为因为对于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范围为例7设函数f(x)=ax(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间.考查目的本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力解答过程由已知得函数的定义域为，且（1）当时，函数在上单调递减，（2）当时，由解得、随的变化情况如下表0+极小值从上表可知当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递增.综上所述：当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.典型例题例8.用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽
5、之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？考查目的本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.解答过程设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为.故长方体的体积为从而令V（x）0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.当0x1时，V（x）0；当1x时，V（x）0，故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。从而最大体积VV（x）912-613（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。一、选择题1
6、. y=esinxcos(sinx)，则y(0)等于( )A.0B.1C.1D.22.经过原点且与曲线y=相切的方程是( )A.x+y=0或+y=0B.xy=0或+y=0C.x+y=0或y=0D.xy=0或y=03.设f(x)可导，且f(0)=0,又=1,则f(0)( )A.可能不是f(x)的极值B.一定是f(x)的极值C.一定是f(x)的极小值D.等于04.设函数fn(x)=n2x2(1x)n(n为正整数)，则fn(x)在0,1上的最大值为( )A.0B.1C. D.5、函数y=(x2-1)3+1在x=-1处( )A、 有极大值 B、无极值 C、有极小值 D、无法确定极值情况6.f(x)=a
7、x3+3x2+2，f(-1)=4，则a=( )A、 B、 C、 D、7.过抛物线y=x2上的点M（）的切线的倾斜角是( )A、300 B、450 C、600 D、9008.函数f(x)=x3-6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是( )A、（0，1） B、（-，1） C、（0，+） D、（0，）9.函数y=x3-3x+3在上的最小值是( )A、 B、1 C、 D、510、若f(x)=x3+ax2+bx+c，且f(0)=0为函数的极值，则( )A、c0 B、当a0时，f(0)为极大值C、b=0 D、当a0时，f(0)为极小值11、已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2
8、处有极值，则该函数的一个递增区间是( )A、（2，3） B、（3，+）C、（2，+）D、（-，3）12、方程6x5-15x4+10x3+1=0的实数解的集合中( )A、至少有2个元素 B、至少有3个元素 C、至多有1个元素 D、恰好有5个元素二、填空题13.若f(x0)=2, =_.14.设f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n),则f(0)=_.15.函数f(x)=loga(3x2+5x2)(a0且a1)的单调区间_.16.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_时它的面积最大.三、解答题17.已知曲线C：y=x33x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0
9、0)，求直线l的方程及切点坐标.18.求函数f(x)=p2x2(1-x)p(pN+)，在0，1内的最大值.19.证明双曲线xy=a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数.20.求函数的导数(1)y=(x22x+3)e2x;(2)y=.21.有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度.22.求和Sn=12+22x+32x2+n2xn1,(x0,nN*).23.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.24.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx
10、2+x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.25.已知a、b为实数，且bae,其中e为自然对数的底，求证：abba.26.设关于x的方程2x2ax2=0的两根为、(),函数f(x)=.(1)求f()f()的值；(2)证明f(x)是，上的增函数；(3)当a为何值时，f(x)在区间，上的最大值与最小值之差最小？【参考答案】一、1.解析：y=esinxcosxcos(sinx)cosxsin(sinx),y(0)=e0(10)=1.答案：B2.解析：设切点为(x0,y0),则切线的斜率为k=,另一方面，y=()=,故y(x0
11、)=k,即或x02+18x0+45=0得x0(1)=3,y0(2)=15,对应有y0(1)=3,y0(2)=,因此得两个切点A(3，3)或B(15,),从而得y(A)= =1及y(B)= ,由于切线过原点，故得切线：lA:y=x或lB:y=.答案：A3.解析：由=1,故存在含有0的区间(a,b)使当x(a,b),x0时0,于是当x(a,0)时f(0)0,当x(0,b)时，f(0)0,这样f(x)在(a,0)上单增，在(0,b)上单减.答案：B4.解析：fn(x)=2xn2(1x)nn3x2(1x)n-1=n2x(1x)n-12(1x)nx,令fn(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=,易知f
12、n(x)在x=时取得最大值，最大值fn()=n2()2(1)n=4()n+1.答案：D5、B 6、A 7、B 8、D 9、B 10、C 11、B 12、C二、13.解析：根据导数的定义：f(x0)=(这时)答案：114.解析：设g(x)=(x+1)(x+2)(x+n),则f(x)=xg(x),于是f(x)=g(x)+xg(x),f(0)=g(0)+0g(0)=g(0)=12n=n！答案：n!15.解析：函数的定义域是x或x2,f(x)=.(3x2+5x2)=,若a1,则当x时，logae0,6x+50,(3x1)(x+2)0,f(x)0,函数f(x)在(,+)上是增函数，x2时，f(x)0.函
13、数f(x)在(,2)上是减函数.若0a1,则当x时，f(x)0,f(x)在(,+)上是减函数，当x2时，f(x)0,f(x)在(,2)上是增函数.答案：(,2)16.解析：设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h，那么h=AO+BO=R+,解得x2=h(2Rh),于是内接三角形的面积为S=xh=从而.令S=0,解得h=R,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R)上列表如下：h(0, R)R(,2R)S+0S增函数最大值减函数由此表可知，当x=R时，等腰三角形面积最大.答案：R三、17. 解：由l过原点，知k=(x00),点(x0,y0)在曲线C上，y0=x033x02+2x0,=x023x
14、0+2,y=3x26x+2,k=3x026x0+2又k=,3x026x0+2=x023x0+2,2x023x0=0,x0=0或x0=.由x0,知x0=,y0=()33()2+2=.k=.l方程y=x 切点(，).18. ,令f(x)=0得，x=0，x=1，x= ,在0，1上，f(0)=0，f(1)=0， . .19.设双曲线上任一点P（x0，y0）, , 切线方程 ,令y=0，则x=2x0 令x=0，则 . .20.解：(1)注意到y0,两端取对数，得lny=ln(x22x+3)+lne2x=ln(x22x+3)+2x, (2)两端取对数，得ln|y|=(ln|x|ln|1x|),两边解x求导
15、，得21.解：设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5,当下端移开1.4 m时，t0=,又s= (259t2)(92t)=9t,所以s(t0)=9=0.875(m/s).22.解：(1)当x=1时，Sn=12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1),当x1时，1+2x+3x2+nxn-1=,两边同乘以x,得x+2x2+3x2+nxn=两边对x求导，得Sn=12+22x2+32x2+n2xn-1=.23.解：f(x)=3ax2+1.若a0,f(x)0对x(,+)恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾.若a=0,f(x)=10,x(,+),f(x)也只有一个单调区间，矛盾.若a0,f(x)=
16、3a(x+)(x),此时f(x)恰有三个单调区间.a0且单调减区间为(,)和(,+)，单调增区间为(, ).24.解：f(x)=+2bx+1,(1) 由极值点的必要条件可知：f(1)=f(2)=0,即a+2b+1=0,且+4b+1=0,解方程组可得a=,b=,f(x)=lnxx2+x,(2)f(x)=x-1x+1,当x(0,1)时，f(x)0,当x(1,2)时，f(x)0,当x(2,+)时，f(x)0,故在x=1处函数f(x)取得极小值,在x=2处函数取得极大值ln2.25.证法一：bae,要证abba,只要证blnaalnb,设f(b)=blnaalnb(be),则f(b)=lna.bae,
17、lna1,且1,f(b)0.函数f(b)=blnaalnb在(e,+)上是增函数，f(b)f(a)=alnaalna=0,即blnaalnb0,blnaalnb,abba.证法二：要证abba,只要证blnaalnb(eab,即证,设f(x)=(xe)，则f(x)=0,函数f(x)在(e,+)上是减函数，又eab,f(a)f(b),即,abba.26.解：(1)f()=,f()= ,f()=f()=4,(2)设(x)=2x2ax2,则当x时，(x)0,.函数f(x)在(，)上是增函数.(3)函数f(x)在，上最大值f()0,最小值f()0,|f()f()|=4,当且仅当f()=f()=2时，f()f()=|f()|+|f()|取最小值4，此时a=0,f()=2.
