1、二次函数复习知识点一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如yax2+bx+c（a,b,c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数yax2+bx+c的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次多项式。（含自变量的代数式是整式，自变量的最高次数是2， 二次项系数不为0.） 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项二、二次函数的基本形式1. yax2的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）向上（0，0）轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下（0，0）轴时
2、，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值2. yax2k的性质： （k上加下减）的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）向上（0，k）y轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值k向下（0，k）轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值k3. ya（x-h）2的性质： （h左加右减）的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）向上（h，0）直线x=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下（h，0）直线x=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值4. ya (xh)2k的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）向上（h，k
3、）直线x=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下（h，k）直线x=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值5. yax2+bx+c的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）向上直线时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下直线时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值三、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a. (决定了抛物线开口的大小和方向)二次函数中，a作为二次项系数，显然a0 当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下；的绝对值越大，开口越小，反之的绝对值越小，开口越大。总结起来，决定了抛物线开口的大小和方
4、向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小2. 一次项系数b （a和b共同决定抛物线对称轴的位置） .抛物线的对称轴是直线，故：时，对称轴为轴； （即、同号）时，对称轴在轴左侧； （即、异号）时，对称轴在轴右侧. ab的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异” 3. 常数项c (决定了抛物线与轴交点的位置) 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置 总之，只要都确定，那么这条抛物线
5、就是唯一确定的四、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二：沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）五、二次函数与的比较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中六、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图
6、.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.七、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 2. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 3. 关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是； 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变
7、化，因此永远不变八、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 一般式：（，为常数，），适用条件：已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 顶点式：（，为常数，），适用条件：已知图像上点两坐标，且其中一点为抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 交点式（两根式）：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）， 适用条件：已知图像上三点坐标，其中两点为抛物线与轴的两个交点（，0），（，0），一般选用交点式；九、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全
8、体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，当时，。十、 掌握二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系(以a0为例，a0对称轴：交点式：当x为全体实数时，y0二次函数a0一元二次方程 两根为（有两个不相等的实数根）（有两个相等的实数根）无实根抛物线上两点，则抛物线对称轴为直线十一、函数的应用二次函数应用十二、二次函数常用解题方法总结： 求二次函数
9、的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值利用顶点坐标公式，即当时，；或先配方利用顶点式求最值。 根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.二次函数考查重点与常见题型1、 已知以为自变量的二次函数的图像经过原点， 则的值是 2写出一个开口向上，顶点坐标是（2，-3）的函数解析式 。3. 将二次函数配成的形式是_.4抛物线与x轴交点的坐标是_ .5. 已知函数，当x1时，y5,则x1时，y的值是
10、_。6王翔同学在一次跳高训练中采用了背跃式，跳跃路线正好和抛物线相吻合，那么他能跳过的最大高度为 _m7.将抛物线的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（）。A B C D8下列描述抛物线的开口方向及其最值情况正确的是（C）。A开口向上，y有最大值 B开口向上，y有最小值 ABDC C开口向下，y有最大值 D开口向下，y有最小值 9如图，一边靠墙（墙有足够长），其他三边用12米长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（ ）平方米。10、如图，如果函数的图像在第一、二、三象限内，那么函数的图像大致是（ ） y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x
11、0 -1 x A B C D11、二次函数的图像如图1，则点在（） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限12、已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图2所示，则下列结论：a、b同号；当x=1和x=3时，函数值相等；4a+b=0；当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D4个 图（1） 图（2） 13、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1x12，与y轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方下列结论：abO；4a+cO，其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D4个14、已知：关
12、于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( )A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2) 15、你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、25 m处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是15 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)( )A15 m B1625 m C166 m D167 m 16、已知一条抛物线经过(0,3
13、)，(4,6)两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。17、已知抛物线（a0）与x轴的两个交点的横坐标是1、3，与y轴交点的纵坐标是（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.18、已知抛物线y=x2+x-（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长19、如图，二次函数的图象经过A 、B、C三点.（1）观察图象，写出A 、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式;（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴;-14yxAB5O（3）观察图象，当x取何值时，y0？y0？y0?20、已知抛物线y=x2+（2k+1）x-k2+k(1
14、) 求证：此抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设A（x1，0）和B（x2，0）是此抛物线与x轴的两个交点，且满足x12+x22= -2k2+2k+1，求抛物线的解析式此抛物线上是否存在一点P，使PAB的面积等于3，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。【解析】(1)=(2k+1)-4*1*（-k+k)=8k+10 恒成立此抛物线线与x轴总有两个不同的交点（2）x1+x2=-2k+2k+1 x1+x2=-b/a=2k+1 x1*x2=c/a=-k+kx1+x2=（x1+x2）-2x1x2=（2k+1）-2（-k+k）=6K+2k+1=-2k+2k+1解得 k=0 抛物线的解析式是y
15、=x+x点A和点B是抛物线y=x+x与x轴的两个交点由x+x=0 ，得 x1=-1，x2=0则AB=1又PAB的面积等于3 设P（x，y）S=（1/2）*1*y=3 则y=6由x+x=6，得x1=2，x2=-3即P1（2，6） 或P2（-3，6）21、如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2（1）写出y与x的关系式；（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.22、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x
16、（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x（元）152030y（件）252010 若日销售量y是销售价x的一次函数 （1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b则 解得k=-1，b=40，即一次函数表达式为y=-x+40 （2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元 w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元23. 如图，抛物线经过点A(1,0)，与y轴交于点B。（1）求抛物线的解析式；（2）P是y轴上一点，且PAB是以AB为腰的等腰三角形，请写出P点坐标。解：（1）A（1，0）在抛物线上，可把A点坐标代入方程得-12+51+n=0，解得n=-4，抛物线的解析式为y=-x2+5x-4；（2）把x=0代入抛物线方程得y=-4，B点坐标为（0，-4），PAB是以AB为腰的等腰三角形，可分两种情况：PA=AB；PB=AB，若PA=AB，则P点和B点关于原点对称，P点坐标为（0，4）；若PB=AB，且，P点坐标为。
