1、2019届高考文科数学知识点总结考点分类复习第九章 直线和圆考点1 直线与方程1. (2016北京，7)已知A(2，5)，B(4，1)，若点P(x，y)在线段AB上，则2xy的最大值为() A.1 B.3 C.7 D.81.解析 线段AB的方程为y1(x4)，2x4.即2xy90，2x4，因为P(x，y)在线段AB上，所以2xy2x(2x9)4x9.又2x4，则14x97，故2xy最大值为7.答案C2.(2015安徽，8)直线3x4yb与圆x2y22x2y10相切，则b的值是() A.2或12 B.2或12 C.2或12 D.2或122.解析 圆方程可化为(x1)2(y1)21，该圆是以(1，
2、1)为圆心，以1为半径的圆，直线3x4yb与该圆相切，1.解得b2或b12，故选D.答案 D3.(2014福建，6)已知直线l过圆x2(y3)24的圆心，且与直线xy10垂直，则l的方程是() A.xy20 B.xy20 C.xy30 D.xy303.解析 依题意,得直线l过点(0,3),斜率为1,所以直线l的方程为y3x0,即xy30.故选D.答案 D4. (2014四川，9)设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的取值范围是() A.，2 B.，2 C.，4 D.2，44.解析 易知直线xmy0过定点A(0，0)，直线mxym30
3、过定点B(1，3)，且两条直线相互垂直，故点P在以AB为直径的圆上运动，故|PA|PB|AB|cosPAB|AB|sinPABsin，2，故选B.答案 B5. (2015江苏，12)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点.若点P到直线xy10的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_.5.解析 双曲线x2y21的渐近线为xy0，直线xy10与渐近线xy0平行，故两平行线的距离d.由点P到直线xy10的距离大于c恒成立，得c，故c的最大值为.答案 考点2 圆的方程及直线与圆的位置关系1.(2016新课标全国，6)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a
4、() A. B. C. D.21.解析 由圆的方程x2y22x8y130得圆心坐标为(1，4)，由点到直线的距离公式得d1，解之得a.答案 A2.(2016北京，5)圆(x1)2y22的圆心到直线yx3的距离为() A.1 B.2 C. D.22.解析 圆(x1)2y22的圆心坐标为(1，0)，由yx3得xy30，则圆心到直线的距离d.答案 C3.(2016山东，7)已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是() A.内切 B.相交 C.外切 D.相离3.解析 圆M：x2(ya)2a2，圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a
5、，圆心M到直线xy0的距离d，由几何知识得()2a2，解得a2.M(0，2)，r12.又圆N的圆心坐标N(1，1)，半径r21，|MN|，r1r23，r1r21.r1r2|MN|r1r2，两圆相交，故选B.答案B4.(2015新课标全国，7)已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为() A. B. C. D.4.解析 由点B(0，)，C(2，)，得线段BC的垂直平分线方程为x1，由点A(1，0)，B(0，)，得线段AB的垂直平分线方程为y，联立，解得ABC外接圆的圆心坐标为，其到原点的距离为.故选B.答案 B5.(2015北京，2)圆心为(1,1)且过原
6、点的圆的方程是() A.(x1)2(y1)21B.(x1)2(y1)21 C.(x1)2(y1)22 D.(x1)2(y1)225.解析 圆的半径r，圆的方程为(x1)2(y1)22.答案 D6.(2014湖南，6)若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m() A.21 B.19 C.9 D.116.解析 圆C1的圆心C1(0，0)，半径r11，圆C2的方程可化为(x3)2(y4)225m，所以圆心C2(3，4)，半径r2.从而|C1C2|5.由两圆外切得|C1C2|r1r2，即15，解得m9，故选C.答案 C7.(2014浙江，5)已知圆x2y22x2ya0截直线xy20
7、所得弦的长度为4，则实数a的值是() A.2 B.4 C.6 D.87.解析 将圆的方程化为标准方程为(x1)2(y1)22a,所以圆心为(-1,1),半径r,圆心到直线xy20的距离d,故r2d24,即2a24,所以a-4，故选B.答案 B8.(2014北京，7)已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m,0)，B(m,0)(m0).若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为() A.7 B.6 C.5 D.48. 解析 若APB90，则点P的轨迹是以AB为直径的圆，其方程为x2y2m2.由题意知圆C：(x3)2(y4)21与圆O：x2y2m2有公共点，所以|m1|OC|m1，易知|
8、OC|5，所以4m6，故m的最大值为6.故选B.答案 B9.(2014安徽，6)过点P(，1)的直线l与圆x2y21有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是() A. B. C. D.9.答案 过P点作圆的切线PA、PB，连接OP，如图所示.显然，直线PA的倾斜角为0，又OP2，PA，OA1，因此OPA，由对称性知，直线PB的倾斜角为.若直线l与圆有公共点，由图形知其倾斜角的取值范围是.故选D.答案 D10.(2014新课标全国，12)设点M(x0,1)，若在圆O：x2y21上存在点N，使得OMN45，则x0的取值范围是() A.1,1 B. C.， D.10.解析 过M作圆O的两条切线MA、M
9、B，切点分别为A、B，若在圆O上存在点N，使OMN45，则OMBOMN45，所以AMB90，所以1x01，故选A.答案 A11.(2017江苏，13)在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是 .11.解析 设，由，易得，由，可得或，由得P点在圆左边弧上,结合限制条件 ，可得点P横坐标的取值范围为.答案 12.(2016新课标全国，15)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若|AB|2，则圆C的面积为_.12.解析 圆C：x2y22ay20，即C：x2(ya)2a22，圆心为C(0，a)，C到直线yx2a的距离为d.又由|AB|2，得a22，解得a22，所以
10、圆的面积为(a22)4.答案 413 (2016新课标全国，15)已知直线l：xy60与圆x2y212交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴交于C、D两点，则|CD|_.13.解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y23y60，则y1y23，又y22，y1，A(3，)，B(0，2).过A，B作l的垂线方程分别为y-(x3)，y2-x，令y0，则xC-2，xD2，|CD|2-(-2)4.答案414 (2016浙江，10)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_.半径是_.14.解析 由已知方程表示圆，则a2a2，解得a2或a1.当a2时，方程不满足表示
11、圆的条件，故舍去.当a1时，原方程为x2y24x8y50，化为标准方程为(x2)2(y4)225，表示以(2，4)为圆心，半径为5的圆.答案(-2，-4)515 (2015湖南，13)若直线3x4y50与圆x2y2r2(r0)相交于A，B两点，且AOB120(O为坐标原点)，则r_.15.解析 如图，过O点作ODAB于D点，在RtDOB中，DOB60，DBO30，又|OD|1，r2|OD|2.答案 216 (2015江苏，10)在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_.16.解析 直线mxy2m10恒过定点(2，1)
12、，由题意，得半径最大的圆的半径r.故所求圆的标准方程为(x1)2y22.答案 (x1)2y2217.(2015湖北，16)如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|2. (1)圆C的标准方程为_. (2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_.17.解析 (1)由题意，设圆心C(1，r)(r为圆C的半径)，则r2122，解得r.所以圆C的方程为(x1)2(y)22.(2)方法一令x0，得y1，所以点B(0, 1).又点C(1，)，所以直线BC的斜率为kBC1，所以过点B的切线方程为y(1)x0，即yx(1).令y0，得切线在x轴上的截距为1.
13、方法二令x0，得y1，所以点B(0，1).又点C(1，)，设过点B的切线方程为y(1)kx，即kxy(1)0.由题意，圆心C(1，)到直线kxy(1)0的距离dr，解得k1.故切线方程为xy(1)0.令y0，得切线在x轴上的截距为1.答案 (1)(x1)2(y)22(2)118 (2014湖北，17)已知圆O：x2y21和点A(2,0)，若定点B(b,0)(b2)和常数满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|MA|，则(1)b_；(2)_.18.解析 设M(x，y)，则x2y21，y21x2，2.为常数，b2b10，解得b或b2(舍去).2，解得或(舍去).答案 (1)(2)19.(2014重庆
14、，14)已知直线xya0与圆心为C的圆x2y22x4y40相交于A，B两点，且ACBC，则实数a的值为_.19. 解析 圆C：x2y22x4y40的标准方程为(x+1)2+(y-2)29，所以圆心为C(1，2)，半径为3.因为ACBC，所以圆心C到直线xya0的距离为，即，所以a0或6.答案 0或620.(2017课标3，20)在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现ACBC的情况？说明理由；（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.20 答案（1）不会；（2）详见解析解析 试题分析：（1）设，由ACBC得；由韦达定理
15、得，矛盾，所以不存在（2）可设圆方程为,因为过，所以 ，令 得，即弦长为3.(1)不能出现ACBC的情况,理由如下:设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2.又C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为-1X1-1X2=-12,所以不能出现ACBC的情况.(2)设过A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D，由可知原点O在圆内，由相交弦定理可得，又，所以，所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为，为定值.21.(2015新课标全国，20)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点. (1)求k的
16、取值范围； (2)若12，其中O为坐标原点，求|MN|.21.解(1)由题设，可知直线l的方程为ykx1，因为l与C交于两点，所以1.解得k.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由题设可得812，解得k1，所以l的方程为yx1.故圆心C在l上，所以|MN|2.22.(2015广东，20)已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B. (1)求圆C1的圆心坐标； (2)求线段AB的中点M的
17、轨迹C的方程； (3)是否存在实数k，使得直线L：yk(x4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.22.解(1)圆C1：x2y26x50化为(x3)2y24，所以圆C1的圆心坐标为(3，0).(2)设线段AB的中点M(x0，y0)，由圆的性质可得C1M垂直于直线l，设直线l的方程为ymx，易知直线l的斜率存在，所以kC1Mm1，y0mx0，所以1，所以x3x0y0，即y，因为动直线l与圆C1相交，所以2，所以m2，所以ym2xx，所以3x0x或x00，又因为0x03，所以x03.所以M(x0，y0)满足y，即M的轨迹C的方程为y2.(3)由题意知直线L表示过定点
18、T(4，0)，斜率为k的直线.结合图形，y2表示的是一段关于x轴对称，起点为按逆时针方向运动到的圆弧.根据对称性，只需讨论在x轴对称下方的圆弧，设P，则kPT，而当直线L与轨迹C相切时，解得k在这里暂取k，因为，所以kPTk.结合图形，可得对于x轴对称下方的圆弧，当k0或k时，直线L与x轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知k或k，综上所述：当k或k时，直线L：yk(x4)与曲线C只有一交点.23.(2014新课标全国，20)已知点P(2,2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点. (1)求M的轨迹方程； (2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积.23.解 (1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x,y),则(x,y-4)，(2-x,2-y).由题设知0，故x(2x)(y4)(2-y)0，即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆.由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为，故l的方程为yx.又|OM|OP|2，O到l的距离为，|PM|，所以POM的面积为.
