1、2020届浙江省高三高考模拟数学试题一、单选题1已知UR，集合，集合By|y1，则U（AB）（）ABCD【答案】B【解析】根据交集和补集的定义，先求解,继而得到U（AB）【详解】UR，By|y1，故选：B【点睛】本题考查了集合的交集和补集运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.2已知i是虚数单位，若，则z的共轭复数等于（）ABCD【答案】C【解析】先利用复数的除法运算化简z，从而得到【详解】，故选：C【点睛】本题考查了复数的除法运算以及共轭复数的概念，考查了学生概念理解、数学运算的能力，属于基础题.3若双曲线的焦距为4，则其渐近线方程为（）ABCD【答案】A【解析】利用题设的焦距
2、求解m, 由题设，双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为：即得解.【详解】双曲线的焦距为4，可得m+14，所以m3，由题设，双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为： 所以双曲线的渐近线方程为：yx故选：A【点睛】本题考查了双曲线的方程及性质，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.4已知，是两个相交平面，其中l，则（）A内一定能找到与l平行的直线B内一定能找到与l垂直的直线C若内有一条直线与l平行，则该直线与平行D若内有无数条直线与l垂直，则与垂直【答案】B【解析】当l与，的交线相交时，内不能找到与l平行的直线；由直线与平面的位置关系知内一定能找到与l垂直的直线；内有一条直线与l平行，则该
3、直线与平行或该直线在内；内有无数条直线与l垂直，则与不一定垂直.【详解】由，是两个相交平面，其中l，知：在A中，当l与，的交线相交时，内不能找到与l平行的直线，故A错误；在B中，由直线与平面的位置关系知内一定能找到与l垂直的直线，故B正确；在C中，内有一条直线与l平行，则该直线与平行或该直线在内，故C错误；在D中，内有无数条直线与l垂直，则与不一定垂直，故D错误故选：B【点睛】本题考查了直线和平面的位置关系概念辨析，考查了学生概念理解，逻辑推理，空间想象的能力，属于中档题.5等差数列an的公差为d，a10，Sn为数列an的前n项和，则“d0”是“Z”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分
4、必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若d0，则an为常数列，可证得充分性成立；当Z时，可构造反例，必要性不成立.【详解】等差数列an的公差为d，a10，Sn为数列an的前n项和，若d0，则an为常数列，故an=，即“Z”，当Z时，d不一定为0，例如，数列1，3，5，7，9，11中，4，d2，故d0是Z的充分不必要条件故选：A【点睛】本题考查了充分必要条件和等差数列的性质，考查了学生概念理解，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.6随机变量的分布列如表：1012P abc其中a，b，c成等差数列，若，则D（）（）ABCD【答案】D【解析】根据a，b，c成等差数列，分布列的概率和为1，
5、构造等量关系，求解a，b，c，利用方差的公式即得解.【详解】a，b，c成等差数列，E（），由变量的分布列，知：，解得a，b，c，D（）（1）2（0）2（1）2（2）2故选：D【点睛】本题考查了利用随机变量的分布列研究随机变量的期望和方差，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，7若存在正实数y，使得，则实数x的最大值为（）ABC1D4【答案】A【解析】转化为4xy2+（5x21）y+x0，以y为自变量的方程有正根，根据根与系数关系确定实数x的范围即可.【详解】，4xy2+（5x21）y+x0，y1y20，y1+y20，或，0x或x，（5x21）216x20，5x214x或5x214x，解
6、得：1x，综上x的取值范围是：0x；x的最大值是，故选：A【点睛】本题考查了一元二次方程根的分布问题，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算的能力，属于中档题.8从集合A，B，C，D，E，F和1，2，3，4，5，6，7，8，9中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）则每排中字母C和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（）A85B95C2040D2280【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析：先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，再将选出的4个元素全排列，即得解.【详解】根据题意，分2步进行分析：，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现
7、两个，若字母C和数字4，7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，若字母C和数字4出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5735种选法，若字母C和数字7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5735种选法，若数字4、7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出2个字母，有C5210种选法，则有5+35+35+1085种选法，将选出的4个元素全排列，有A4424种情况，则一共有85242040种不同排法；故选：C【点睛】本题考查了排列组合综合，考查了学生综合分
8、析，转化化归，分类讨论的能力，属于中档题.9已知三棱锥PABC的所有棱长为1M是底面ABC内部一个动点（包括边界），且M到三个侧面PAB，PBC，PAC的距离h1，h2，h3成单调递增的等差数列，记PM与AB，BC，AC所成的角分别为，则下列正确的是（）ABCD【答案】D【解析】PM与AB，BC，AC所成的角分别为，即比较OM与AB，BC，AC夹角的大小，然后在ABC中解决问题, 由于d1d2d3，可知M在如图阴影区域（不包括边界）从图中可以看出，OM与BC所成角小于OM与AC所成角,即得解.【详解】依题意知正四面体PABC的顶点P在底面ABC的射影是正三角形ABC的中心O，由余弦定理可知，c
9、oscosPMOcosMO，AB，其中MO，AB表示直线MO与AB的夹角，同理可以将，转化，coscosPMOcosMO，BC，其中MO，BC表示直线MO与BC的夹角，coscosPMOcosMO，AC，其中MO，AC表示直线MO与AC的夹角，由于PMO是公共的，因此题意即比较OM与AB，BC，AC夹角的大小，设M到AB，BC，AC的距离为d1，d2，d3 则d1sin，其中是正四面体相邻两个面所成角，sin，所以d1，d2，d3成单调递增的等差数列，然后在ABC中解决问题由于d1d2d3，可知M在如图阴影区域（不包括边界）从图中可以看出，OM与BC所成角小于OM与AC所成角，所以，故选：D【
10、点睛】本题考查了空间中角度问题综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算能力，属于较难题.10已知，则的取值范围是（）A0，1BC1，2D0，2【答案】D【解析】设，可得，构造（）22，结合，可得，根据向量减法的模长不等式可得解.【详解】设，则，（）22|224，所以可得：，配方可得，所以，又 则0，2故选：D【点睛】本题考查了向量的运算综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.二、填空题11若，则cos_，tan2_【答案】 2 【解析】根据cos，可得解cos，由tan，再利用二倍角公式解得tan2.【详解】，cos，tan，tan22故答案为：，2【点睛】本题考查
11、了同角三角函数变换，二倍角公式，考查了学生概念理解，转化化归，数学运算的能力，属于基础题.12一个长方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体与原长方体的体积之比是_，剩余部分表面积是_【答案】 9 【解析】根据几何体的三视图可知该几何体为长方体切去一个角，计算对应体积比和表面积即可.【详解】根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：该几何体为长方体切去一个角故：V所以：S2（12+12+11）9故答案为：【点睛】本题考查了由三视图还原几何体及相关的体积、表面积计算，考查了学生空间想象，转化化归，数学运算的能力，属于中档题.13若实数x，y满足，若z=3x+y的最大值为
12、7，则m_【答案】2【解析】作出不等式组对应的平面区域，转化z3x+y得y3x+z，当直线的截距最大时，z最大，数形结合得到过B点时，直线截距最大，联立求得B点坐标，代入即得解.【详解】作出不等式组 对应的平面区域如图：（阴影部分）令z3x+y得y3x+z，平移直线y3x+z，由图象可知当3x+y7由 ，解得 ，即B（1，4），同时B也在2xy+m0上，解得m2x+y21+42故答案为：2【点睛】本题考查的是含参的线性规划问题，考查了学生转化化归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.14在二项式的展开式中x5的系数与常数项相等，则a的值是_【答案】【解析】写出二项式的展开式的通项公式，求出x
13、5的系数与常数项，令其相等，即得解.【详解】二项式的展开式的通项公式为 Tr+1，令5，求得r3，故展开式中x5的系数为；令0，求得r1，故展开式中的常数项为 ，由为5，可得a，故答案为：【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.15设数列an的前n项和为Sn若S26，an+13Sn+2，nN，则a2_，S5_【答案】5 426 【解析】代入n=1，与S26联立求解得到a1，a2，依次代入n=3,4,5计算即得解.【详解】数列an的前n项和为SnS26，an+13Sn+2，nN，a23a1+2，且a1+a26，解得a11，a25，a33S2+
14、23（1+5）+220，a43S3+23（1+5+20）+280，a53（1+5+20+80）+2320，S51+5+20+80+320426故答案为：5，426【点睛】本题考查了项和关系，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.16在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知acosBbcosA，边BC上的中线长为4则c_；_【答案】 【解析】由正弦定理得sinAcosBsinBcosA，计算可得BA，由正弦定理可得ca，再结合余弦定理，可求解c,a,从而可求解【详解】由acosBbcosA，及正弦定理得sinAcosBsinBcosA，所以sin（AB）0，故BA，所以由
15、正弦定理可得ca，由余弦定理得16c2+（）22ccos，解得c；可得a，可得accosB故答案为：，【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算的能力，属于中档题.17如图，过椭圆的左、右焦点F1，F2分别作斜率为的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记AOF1，BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S27：5，则椭圆C离心率为_【答案】【解析】作点B关于原点的对称点B1，可得S，则有，即，将直线AB1方程与椭圆联立，得到韦达定理，三式联立，可解得离心率.【详解】作点B关于原点的对称点B1，可得S，则有，所以将直线AB1方程，代入椭圆方程后，整理可得：（
16、b2+8a2）y24b2cy+8b40，由韦达定理解得，三式联立，可解得离心率故答案为：【点睛】本题考查了圆锥曲线的性质综合，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题18已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值【答案】（1）最小正周期为，； （2）最大值为，最小值为0【解析】（1）利用正弦、余弦的和差角公式以及辅助角公式化简得到f（x），利用正弦型函数的周期和单调性公式即得解.（2）可计算得到，结合正弦函数的图像和单调性，可得解.【详解】（1） sin2x+cos2x+1所以最小正周期为因为当时，f（x）单
17、调递减解得：所以单调递减区间是， （2）当时，利用正弦函数的图像和单调性，当2x函数取得最大值为，当2x或时，函数取得最小值，最小值为10【点睛】本题考查了三角函数的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA1（1）求证：AB1平面A1BC1；（2）若D在B1C1上，满足B1D2DC1，求AD与平面A1BC1所成的角的正弦值【答案】（1）见解析； （2）.【解析】（1）先证明AB1A1B，AB1A1C1，进而得证结论；（2）以A1B1，A1C1，A1A为x，y，z轴如图建立空间直角坐标系，求解平面A1B
18、C1的法向量为,利用线面角的向量公式，即得解.【详解】（1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA1，根据已知条件易得AB1A1B，由A1C1面ABB1A1，得AB1A1C1，A1BA1C1A1，故AB1平面A1BC1；（2）以A1B1，A1C1，A1A为x，y，z轴如图建立空间直角坐标系，设ABa，则A（0，0，a），B（a，0，a），所以，设平面A1BC1的法向量为 ，令则，可计算得到 所以AD与平面A1BC1所成的角的正弦值为【点睛】本题考查了立体几何和空间向量综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.20已知等比数列an（其中nN），前n项和记为
19、Sn，满足：，log2an+11+log2an（1）求数列an的通项公式；（2）求数列anlog2an（nN）的前n项和Tn【答案】（1）； （2）.【解析】（1）由log2an+11+log2an得到，再结合得到，即得解；（2）代入可得，乘公比错位相减法求和，即得解.【详解】（1）由题意，设等比数列an的公比为q，log2an+11+log2an，由，得，解得数列an的通项公式为（2）由题意，设bnanlog2an，则Tnb1+b2+bn故，两式相减，可得【点睛】本题考查了数列综合，考查了等比数列的通项公式，乘公比错位相减法求和，考查了学生转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.21
20、已知抛物线与直线l：ykx1无交点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点（1）证明：直线AB恒过定点Q；（2）试求PAB面积的最小值【答案】（1）见解析； （2）.【解析】（1）借助导数，可求得在A，B两点的切线方程PA，PB，由于P点在两条切线上，结合方程，可得直线AB：kx01+yxx0，可得定点.（2）将直线AB与抛物线联立，利用弦长公式，点到直线距离公式表示三角形的底和高，继而表示面积，配方，求解最小值，即可.【详解】（1）由求导得yx，设A（x1，y1），B（x2，y2），其中则kPAx1，PA：yy1x1（xx1），设P（x0，kx01），代入PA直线方程
21、得kx01+y1x1x0，PB直线方程同理，代入可得kx01+y2x2x0，所以直线AB：kx01+yxx0，即x0（kx）1+y0，所以过定点（k，1）；（2）直线l方程与抛物线方程联立，得到x22kx+20，由于0,k22将AB：yxx0kx0+1代入，得，所以，设点P到直线AB的距离是d，则，所以，所以面积最小值为【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.22已知a为常数，函数f（x）x（lnxax）有两个极值点x1，x2（x1x2）（1）求a的取值范围；（2）证明：【答案】（1）； （2）见解析.【解析】（1）对f（x）求导，对a0，
22、a0两种情况分析函数的单调性，研究有两个极值点限制条件;（2）根据（1）中单调性的分析，可得，又g（1）12a0，所以，结合单调性，以及范围边界点的函数值，可得的范围，从而可得证.【详解】（1）求导得f（x）lnx+12ax（x0），由题意可得函数g（x）lnx+12ax有且只有两个零点当a0时，g（x）0，f（x）单调递增，因此g（x）f（x）至多有一个零点，不符合题意，舍去；当a0时，令g（x）0，解得，所以单调递增，单调递减所以是g（x）的极大值点，则，解得；（2）g（x）0有两个根x1，x2，且，又g（1）12a0，所以，从而可知f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+）上递减所以，所以【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于较难题.
