1、2019届安徽省安庆市市示范中学髙三联考数学（文）试题一、单选题1设集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】求出A，B，由此利用并集的定义能求出AB【详解】由题可知，则.故选B.【点睛】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集性质的合理运用2已知复数为纯虚数，则实数（ ）ABCD【答案】D【解析】根据复数的除法运算得到结果即可.【详解】 为纯虚数，故故答案为：D.【点睛】这个题目考查了复数的运算，题目比较基础.3已知向量，若，则（ ）ABCD【答案】B【解析】利用垂直的两个向量的数量积为零，可得实数m的值，得到再根据向量模的公式计算即可【详解】由，得，则，即.故选B.【点睛】本
2、题考查了两个向量互相垂直的坐标表示，考查了向量数量积的坐标公式和向量模的求解公式，属于基础题4若函数的最大值为，则（ ）ABCD【答案】A【解析】先化简，求得最大值，令其为0，求解m即可.【详解】 ，.故选A.【点睛】本题考查了两角和与差的正弦公式的逆用，考查了正弦函数的最值问题，属于基础题.5已知角的顶点与原点重合,始边与轴正半轴重合，若是角终边上一点，且,则（ ）ABCD【答案】D【解析】根据三角函数定义可得，从而构建方程，解方程得到结果.【详解】因为，及是角终边上一点 由三角函数的定义，得解得：本题正确选项：【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题.6若是函数的极值点,则曲线在点处的切
3、线的斜率为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据求得，则.【详解】由题意可知：则，解得所以本题正确选项：【点睛】本题考查极值点与导数的关系、导数的几何意义，是导数知识的简单应用，属于基础题.7执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（ ）ABCD【答案】C【解析】根据框图流程，依次计算运行的结果，直到不满足条件，输出j值【详解】由程序框图知：n=4，第一次运行， i1，j1,j=2i-j=1,满足i4，第二次运行i2，j=2i-j3；满足i4，第三次运行i3，j=2i-j3；满足i4，第四次运行i4，j=2i-j5；不满足i4，程序运行终止，输出j5故选：C【点睛】本题考查了循环结构的程序框图
4、，根据框图流程依次计算运行结果是解答此类问题的常用方法8已知某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据三视图画出几何体的直观图，结合图中数据求出几何体的表面积【详解】由题意可知，该几何体的直观图如图所示，为一个三棱柱与一个三棱锥组合而成，其中与全等，均为等腰三角形，取AB中点E，BC中点F，连接DF，则DFAB，且=，则所求 .故选B.【点睛】本题考查了三视图与空间想象能力的应用问题，考查了组合体表面积的求法，是基础题9过焦点为的抛物线上一点向其准线作垂线，垂足为，若，则ABCD【答案】B【解析】由题意结合勾股定理可求
5、得AN，即M的纵坐标，代入抛物线方程求得M的横坐标，利用焦半径公式可求得结果.【详解】记准线与轴的交点为，因为，所以，即M的纵坐标为8或-8，则，故 .故选B.【点睛】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）ABCD【答案】D【解析】将右下角黑色三角形进行移动，可得黑色部分面积等于一个等腰直角三角形加一个直角梯形的面积之和，求解出
6、面积再根据几何概型公式求得结果.【详解】设正方形的边长为则处面积和右下角黑色区域面积相同故黑色部分可拆分成一个等腰直角三角形和一个直角梯形等腰直角三角形面积为：直角梯形面积为：黑色部分面积为：则所求概率为：本题正确选项：【点睛】本题考查几何概型中的面积类问题，属于基础题.11已知函数，若 ，则的最小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据，采用倒序相加的方法可得，从而得到，根据基本不等式求得最小值.【详解】由题可知：令又于是有 因此所以当且仅当时取等号本题正确选项：【点睛】本题考查倒序相加法求和、利用基本不等式求解和的最小值问题.关键是能够通过函数的规律求得与的和，从而能够构造出基本不等式的形
7、式.12在正方体中，为棱上一点，且，为棱的中点，且平面与交于点，则与平面所成角的正切值为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据平面平面，可知所求角为；假设正方体棱长为，求解出和，从而得到结果.【详解】因为平面平面所以与平面所成角即为与平面所成角可知与平面所成角为.设，则，平面面且面，可知则，即 ，在中，故与平面所成角的正切值为本题正确选项：【点睛】本题考查立体几何中的直线与平面所成角问题，关键是能够通过位置关系确定所成角，再利用直角三角形求得结果.二、填空题13已知函数.若，则_【答案】【解析】通过求出，代入解析式求得结果.【详解】因为所以本题正确结果：【点睛】本题考查利用分段函数解析式求解函数
8、值的问题，属于基础题.14若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为_.【答案】【解析】渐近线与直线垂直，得a、b关系，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率【详解】依题意可得，则，所以.故答案为.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程的应用，考查了双曲线的离心率与渐近线斜率的关系，属于基础题15在中,内角的对边分别为,若的周长为,面积为，则_【答案】3【解析】【详解】分析：由题可知，中已知，面积公式选用，得，又利用余弦定理，即可求出的值.详解：， ， 由余弦定理，得又，解得.故答案为3.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的
9、关系，从而达到解决问题的目的其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果.16某农户计划种植莴笋和西红柿，种植面积不超过亩，投入资金不超过万元，假设种植莴笋和西红柿的产量、成本和售价如下表：年产量亩年种植成本亩每吨售价莴笋吨万元万元西红柿吨万元万元那么，该农户一年种植总利润（总利润总销售收入总种植成本）的最大值为_.【答案】【解析】设莴笋和西红柿的种植面积分别为，亩，种植总利润为z万元，然后根据题意建立关于x与y的约束条件，得到目标函数，利用线性规划的知识求出
10、最值时的x和y的值即可【详解】设莴笋和西红柿的种植面积分别为，亩，一年的种植总利润为万元.由题意可得， ，作出不等式组表示的可行域，如图所示，当直线经过点时，取得最大值，又解得x=20，y=10,即代入可得z=43，故答案为.【点睛】本题主要考查了线性规划，解题的关键是得到约束条件和目标函数，同时考查了作图的能力，属于基础题三、解答题17已知等差数列的前项和为，.数列为等比数列，且 ，.（1）求数列和的通项公式；（2）记，其前项和为，证明：.【答案】（1），；（2）见解析【解析】（1）根据和求得和，从而得到；再利用，求得和，从而求得；（2）整理出的通项公式，利用裂项相消求得，进而证得结论.【详
11、解】（1）解：设的公差为则由，得，解得所以设的公比因为，且所以，所以（2）证明：因为，所以【点睛】本题考查等差、等比数列通项公式的求解和数列求和问题，关键是能够通过通项公式确定采用裂项相消的方式进行求和运算，属于常考题型.18某中学为了组建一支业余足球队，在高一年级随机选取50名男生测量身高，发现被测男生的身高全部在到之间，将测量结果按如下方式分成六组：第1组，第2组，第6组，如图是按上述分组得到的频率分布直方图，以频率近似概率.（1）若学校要从中选1名男生担任足球队长，求被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率；（2）试估计该校高一年级全体男生身高的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表
12、）与中位数；（3）现在从第5与第6组男生中选取两名同学担任守门员，求选取的两人中最多有1名男生来自第5组的概率.【答案】（1）0.12；（2）平均数为168.72，中位数为168.25；（3）.【解析】（1）由直方图可得，被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率；（2）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数；（3）利用列举法，从第5与第6组男生中选取两名同学担任守门员共有15种情况，其中选取的两人中最多有1名男生来自第5组的情况有9种，由古典概型概率公式可得结果.【详解】（1）被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率.（2）全体男生
13、身高的平均数为 .设全体男生身高的中位数为，因为第1组对应的频率为0.20，第2组对应的频率为0.28，所以，则，解得.（3）第5组有人，记为，同理第6组有2人记为，所有的情况为、，共15种，选取的两人中最多有1名男生来自第5组的有、共9种，所以所求概率为.【点睛】本题主要考查直方图的应用以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，. ，再，.依次 . 这样才能
14、避免多写、漏写现象的发生.19如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是边长为的等边三角形，.（1）若为中点，证明：平面.（2）求四棱锥的体积【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）连接交于点，则为的中点，利用中位线性质可证，由此能证明平面；（2）由题意可证平面，可得，又由勾股定理可得，可得平面，利用锥体体积公式计算即可.【详解】（1）连接交于点，因为底面为平行四边形，所以为的中点，又为的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）在中，由余弦定理可得，故，所以，且为等腰直角三角形.取的中点，连接，由，得，连接，因为，所以平面，所以.又，所以，即.又，所以平面， .【点睛】本题考查线面垂直、线面平
15、行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20已知椭圆的短轴长为，且椭圆的一个焦点在圆 上.（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆的焦距小于，过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交于，两点，若，求.【答案】（1）或.（2）【解析】（1）由题意可知：b1，由焦点在圆上，可求得c，进而求得a，即可求得椭圆方程；（2设出直线l的方程，代入椭圆，得到A、B的纵坐标的关系，利用向量转化的纵坐标的关系，求得直线方程，利用弦长公式可得所求【详解】（1）因为椭圆的短轴长为，所以，则.圆与轴的交点为，故或，从而或，故椭圆的方程为或.（2）设，由，得.因为椭圆的焦距小于，所以椭圆的方
16、程为，当直线的斜率为0时，AF=,BF=,不满足题意，所以将的方程设为，代入椭圆方程，消去，得，所以，将代入，得.故 .【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查计算能力，属于中档题21已知函数.（1）求函数的单调区间和零点；（2）若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）单调递减区间：；单调递增区间：；零点为：（2）【解析】（1）求导根据导函数正负得到单调区间；令，再结合单调性可知唯一零点为；（2）将不等式转化为图像恒在上方，利用临界状态，即直线与相切的情况，求得相切时；从而可构造出，利用导数求得，由此可得取值范围.【详解】（1
17、）令，解得：所以函数在上单调递减，在上单调递增单调递减区间为，单调递增区间为令，解得：所以函数的零点是（2）画出的大致图像，如图所示设，则的图像恒过点设函数的图像在点处的切线过点所以，的图像在处的切线方程为将代入切线方程，得整理得：设 令，得或所以在，上单调递增，在上单调递减又，所以是方程的唯一解所以过点且与的图像相切的直线方程为令，则当时，；当时， 又，即在上恒成立即函数的图像恒在其切线的上方数形结合可知，的取值范围【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值的问题，重点是对恒成立问题进行考查.解决此题的关键是能够将问题转变为函数与直线位置关系的问题，通过相切确定临界值，从而得到所求
18、结果.22在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）过作曲线的切线，切点为，过作曲线的切线，切点为，求.【答案】（1）（2）2【解析】（1）曲线C的参数方程消去参数，能求出曲线C的普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程（2）由圆的切线长公式，先求，再利用勾股定理求得，作比即可.【详解】（1）由，得，即，故曲线的极坐标方程为.（2）由（1）知，曲线表示圆心为，半径为的圆.因为A（0，3），所以，所以.因为，所以.故.【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、切线长的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题23已知函数，.（1）当时，解不等式；（2）若的解集包含，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）分别在、和三个范围去绝对值得到不等式，解不等式求得解集；（2）将问题转化为在上恒成立，从而得到在上恒成立，从而得到的范围.【详解】（1）当时，不等式为等价于或或解得：或或综上所述：所以原不等式的解集是（2）由题可知，在上恒成立则，即在上恒成立所以在上恒成立即在上恒成立，即则【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、恒成立问题的求解.解决本题的关键是能够将问题转化为含绝对值的不等式恒成立的问题.
