1、科目：数学（理科）（试题卷）注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。2. 选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。3. 本试题卷共5页。如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。4. 考试结束后，将本试题卷和答题一并交回。姓 名 准考证号 绝密启用前高考湘军2019年长沙市高考模拟试卷（一）数 学（理科）长沙市教科院组织名优教师联合命制满分：150分 时量：120分钟说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卷指定位置上.一、
2、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知是复数，i是虚数单位， 在复平面中对应的点为P，若P对应的复数是模等于2的负实数，那么ABCD 2已知不等式的解集为，是二项式的展开式的常数项，那么ABCD3以双曲线的离心率为首项，以函数的零点为公比的等比数列的前项的和AB CD正视图侧视图俯视图4已知几何体M的正视图是一个面积为2的半圆，俯视图是正三角形，那么这个几何体的表面积和体积为A6和B6+4和 输出s开始 i=i+1i=1a=100- (i MOD 100) s=s+aS=0 i 200?结束是否C6+4和D4(+)和5执行下列的
3、程序框图，输出的A9900B10100C5050D49506与抛物线相切倾斜角为的直线L与x轴和y轴的交点分别是A和B，那么过A、B两点的最小圆截抛物线的准线所得的弦长为A4B2C2D 7已知直线与平面平行，P是直线上的一点，平面内的动点B满足：PB与直线 成。那么B点轨迹是 A.双曲线B椭圆C抛物线D两直线8使得函数的值域为的实数对有( )对A1B2C3D无数二填空题：(每大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上)选做题（从13题、14题和15题中选两题作答，全做则按前两题记分）9表示函数的导数，在区间上，随机取值,的概率为 ；10已知向量，设集合，当时，的
4、取值范围是 ；11计算：_；12从正方体的各表面对角线中随机取两条，这两条表面对角线成的角的度数的数学期望为 ；ABCDPMEO1O213（极坐标和参数方程4-4）极坐标系中，质点P自极点出发作直线运动到达圆：的圆心位置后顺时针方向旋转60o后直线方向到达圆周上，此时P点的极坐标为 ；14（几何证明4-1）已知O1和O2交于点C和D，O1上的点P处的切线交O2于A、B点，交直线CD于点E，M是O2上的一点，若PE=2，EA=1，AMB=30o，那么O2的半径为 ；15(不等式4-5)已知，那么 的最小值为 ；16方程+=1(1，2，3，4，2019)的曲线中，所有圆面积的和等于 ，离心率最小的
5、椭圆方程为 .三、解答题：（前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17函数在一个周期内的图像如图所示,A为图像的最高点,B.C为图像与轴的交点,且为正三角形.(1)若,求函数的值域; (2)若,且,求的值.18如图一，ABC是正三角形，ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2。将ABD沿边AB折起， 使得ABD与ABC成30o的二面角,如图二，在二面角中.(1) 求D、C之间的距离； (2) 求CD与面ABC所成的角的大小;(3) 求证：对于AD上任意点H，CH不与面ABD垂直。BCDABDC图一图二A 19某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲
6、将这种食品价格控制在适当范围内，决定对这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为元/千克，政府补贴为元/千克，根据市场调查，当时，这种食品市场日供应量万千克与市场日需量万千克近似地满足关系:，。当市场价格称为市场平衡价格。（1）将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；（2）为使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为每千克多少元？20设命题p:函数在上是增函数；命题q:方程有两个不相等的负实数根。求使得pq是真命题的实数对为坐标的点的轨迹图形及其面积。21已知，点B是轴上的动点，过B作AB的垂线交轴于点Q，若,.(1)求点P的轨迹方程；xOyABQ(2)是否存在定
7、直线，以PM为直径的圆与直线的相交弦长为定值，若存在,求出定直线方程;若不存在,请说明理由。22(1)已知,求证：;(2)已知，0(i=1,2,3,3n)，求证：+2019年长沙市高考数学模拟试卷 （一）数学（理科）参考答案及评分标准一选择题：(本大题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)题号12345678答案ADBCBCAB二填空题：(每大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上)9. 10. (-8，1 11. 12. 13. (2，) 14. 3 15. 16. ； +=1和+=1，三、解答题：（前三题各12
8、分，后三道题各13分，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.解(1)由已知得:又为正三角形,且高为,则BC=4.所以函数的最小正周期为8,即,.因为,所以. 函数的值域为6分(2)因为,有 由x0所以，故 12分18. 解: 依题意，ABD=90o ，建立如图的坐标系使得ABC在yoz平面上，ABD与ABC成30o的二面角, DBY=30o，又AB=BD=2， A(0，0，2)，B(0，0，0)，C(0，1)，D(1，0)，ABDC x y z (1)|CD|= 5分 (2)x轴与面ABC垂直，故(1，0，0)是面ABC的一个法向量。 设CD与面ABC成的角为，而= (1，
9、0，-1)， sin= 0，=；8分 (3) 设=t= t(1，-2)= (t，t，-2 t)，=+=(0，-,1) +(t，t，-2 t) = (t，t-，-2 t+1)，若，则 (t，t-，-2 t+1)(0，0，2)=0 得t=， 10分此时=(，-，0)， 而=(1，0)，=-=-10, 和不垂直，即CH不可能同时垂直BD和BA，即CH不与面ABD垂直。12分19. 解：（1）由P=Q得2(x + 4t -14 )= 24+8ln（16x24 ，t0）。 t=-x+ ln（16x24）。 3分t=-0对于x(0，+)成立a-b+50。 abo q真方程x2-ax+b-2=0有两个不相等
10、的负实数根4分 B P A pq是真命题p真且q真 实数对(a，b)为坐标的点的轨迹图形如图(阴影部分, 不包括边界。) 8分 解：得a1= -2，a2= 6， 解得a= -3; (a，b)为坐标的点的轨迹图形的面积： S=+=+ 11分xOyABQ =(a2+3a)|+ a3|=13分21. 解: (1)设B(0，t)，设Q(m，0)，t2=|m|， m0，m=-4t2， Q(-4t2，0)，设P(x，y)，则=(x-，y)，=(-4t2-，0)，2=(-，2 t)， +=2。(x-，y)+ (-4t2-，0)= (-，2 t)， x=4t2，y=2 t， y2=x，此即点P的轨迹方程；6分
11、。 (2)由(1)，点P的轨迹方程是y2=x；设P(y2，y)，M (4，0) ，则以PM为直径的圆的圆心即PM的中点T(，), 以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长: L=2 =2=2 10分若a为常数，则对于任意实数y，L为定值的条件是a-=0, 即a=时，L=存在定直线x=，以PM为直径的圆与直线x=的相交弦长为定值。13分22. 解： (1)证明： a+b+c=1，a、b、c(0，+)， alog3a+blog3b+clog3c= alog3a+blog3b+(1-a-b) log3(1-a-b)=f(a) 那么f (a)= log3a-log3(1-a-b)，当a(0，)时f (a
12、)0， f(a)在(0，上递减，在，1) 上递增； f(a)f()=(1-b) log3+ blog3b，记g(b)= (1-b) log3+ blog3b，3分得：g(b)= log3b-log3，当b(0，)时g(b) 0， g(b)在(0，)递减，在(，1)上递增； g(b)g()=-1。 alog3a+blog3b+clog3c-1当a=b=c=时等号成立。5分 (2)证明：n=1时，+=1，0(i=1,2,3)，由(1)知 +-1成立，即n=1时，结论成立。 设n=k时结论成立，即+=1，0(i=1,2,3,3k)时+-k. 那么，n=k+1时,若+=1，0(i=1,2,3,3k+1
13、)时， 令+=t，则+=1，由归纳假设： +-k. 8分 +-(1-t) (1-t) -k(1-t).+-k(1-t)+ (1-t) (1-t)(1) 设+=s，则+=t-s，+=1，由归纳假设：+-k. +-k(t-s)+ (t-s)(t-s) (2)10分 +=s，+=1；由归纳假设同理可得： + -ks+ ss (3) 将(1) 、(2)、(3)两边分别相加得： + -k(1-t)+(t-s)+s+ (1-t)(1-t)+ (t-s)(t-s) + ss 而(1-t)+(t-s)+s=1，(1-t)0，(t-s) 0，s 0。 (1-t)(1-t)+ (t-s) (t-s) + ss-1。 -k(1-t)+(t-s)+s+ (1-t)(1-t)+ (t-s)(t-s) + ss-k-1=-(k+1)。 +-(k+1)。 n=k+1时，题设结论成立。综上所述，题设结论得证。13分
