1、一元二次方程本章内容“一元二次方程”是课程标准“数与代数”的重要内容，也是方程中重点内容，是学习二次函数等内容的基础，本节是本章的起始内容，主要学习下列三个内容：建立一元二次方程此内容是本节课的难点之一，在后续的内容中将继续学习，为此设计较易的拓展应用的例4及其变式题， 课时作业的第6、7题。 一元二次方程的概念此内容是本节课的重点，是学习一元二次方程的基础，为此设计拓展应用的例1、例3，当堂检测的第1、2、4题，课时作业的第15题。2.一元二次方程的解的含义利用方程解的含义，可求方程中的待定系数，也可由此把二次三项式变形求值，为此设计拓展应用的例2，当堂检测的第3题，选做题和备选题目的问题。
2、点击一：一元二次方程的定义一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程针对练习1: 下列方程是一元二次方程的有_。（1）x2+5=0（2）x23xy+7=0（3）x+=4（4）m32m+3=0（5）x25=0（6）ax2bx=4答案： （5）针对练习2: 已知（m+3）x23mx1=0是一元二方程，则m的取值范围是 。答案：一元二次方程二次项的系数不等于零。故m3点击二：一元二次方程的一般形式元二次方程的一般形式是ax2+bx+c0（a0），其中ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数.任何一个一
3、元二次方程都可以通过整理转化成一般形式.由此，对于一个方程从形式上，应先将这个方程进行整理，看是否符合ax2+bx+c0（a0）的一般形式.其中，尤其注意a0的条件，有了a0的条件，就能说明ax2+bx+c0是一元二次方程.若不能确定a0，并且b0，则需分类讨论：当a0时，它是一元二次方程；当a0时，它是一元一次方程.针对练习3: 把方程(13x)(x+3)=2x2+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项,二次项系数,一次项,一次项系数及常数项.答案：原方程化为一般形式是:5x2+8x2=0(若写成5x28x+2=0,则不符合人们的习惯),其中二次项是5x2,二次项系数是5,一次项是8x,
4、一次项系数是8,常数项是2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和,所以不能漏写单项式系数的负号).点击三：一元二次方程的根的定义的意义一元二次方程的根的定义可以当作性质定理使用，即若有实数m是一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根，则m必然满足该方程，将m代入该方程，便有am2+bm+c0（a0）；定义也可以当作判定定理使用，即若有数m能使am2+bm+c0（a0）成立，则m一定是ax2+bx+c0的根.我们经常用定义法来解一些常规方法难以解决的问题，能收到事半功倍的效果.针对练习3: 若m是方程x2+x10的一个根，试求代数式m3+2m2+2009的值.答案： m3+2m2+200
5、9m3+ m2+m2+2009m（m2+ m）+ m2+2009m+ m2+20091+20092010.类型之一：一元二次方程的定义 例1.关于x的方程是一元二次方程，m应满足什么条件？【解析】先把这个方程变为一般形式，只要二次项的系数不为0即可.【解答】由mx23x=x2mx+2得到（m1）x2+（m3）x2=0,所以m10，即m1.所以关于x的方程是一元二次方程，m应满足m1.【点评】要特别注意二次项系数a0这一条件，当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了.当b=0或c=0时，上面的方程在a0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程.类型之二：考查一元二次方程一般形式
6、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，a0），其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数c叫做常数项只有将方程化为一般形式之后，才能确定它的二次项系数、一次项系数和常数项这里特别要注意各项系数的符号。例2一元二次方程（x+1）2x=3（x22）化成一般形式是 .【解析】一元二次方程一般形式是ax2+bx+c=0（a0），对照一般形式可先去括号，再移项，合并同类项，得2x2x7=0。【解答】2x2x7=0 类型之三：考查一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解。例3已知关于x的一元二次方程（m2）x2+3x+（m24）=0有一个解是0，求
7、m的值。【解析】；因为0是方程的解，所以m24=0，m=2。又因为方程是关于x的一元二次方程，所以二次项系数m20、m2，所以m的值是2。【解答】m=2【点拨】本题逆用一元二次方程解的定义易得出m的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件m20，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析。类型之四：综合应用例4. 已知一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是（只需写出一个方程）【解析】这是一道结论开放题，答案不唯一，解这类题的一般思路有两种：一种思路是根据根的定义，写一个含有1的等式，例如，再把1换成x：；也可根据等式性质，由x=1，可得x+2=1+2，两边再平方得即可。【解答】答案不唯一。例如：等
8、。1.下列方程中的一元二次方程是( )A.3(x+1)2=2(x1) B.+2=0C.ax2+bx+c=0 D.x2+2x=(x+1)(x1)【解析】A 注意一元二次方程中二次项系数不能为0,并且最高为二次.2.把方程5x2+6x+3=0的二次项系数化为1,方程可变为( )A.x2+x+=0 B.x26x3=0 C.x2x=0 D.x2x+=0【解析】C 注意方程两边除以5,另两项的符号同时发生变化.3. 已知关于x的方程(m3)x=5是一元二次方程，求m的值.【解析】利用一元二次方程的定义，要注意二次项系数不为0的条件.【解答】由题意,得m27=2且m30，所以只能取m=3，即当m=3时，方
9、程(m3)x=5是一元二次方程.1.将方程3x22x1化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项系数可以是( ) A. 3,2,1 B. 3,2,1 C. 3,2,1 D. 3,2,1【解析】C 将方程3x22x1化成一元二次方程的一般形式，可化为3x22x10.2.下列方程中，是关于x的一元二次方程的有_.x22xy1 5x20 x21=3x（m21）xm26 3x3x0 x2+1=0【解析】判断一个方程是否是一元二次方程,必须具备以下三个条件：方程中只含有一个未知数；方程中未知数的最高次数是2；方程两边都是关于未知数的整式方程.【答案】3.已知方程(m+2)x2+(m+1
10、)xm=0，当m满足_时，它是一元一次方程；当m满足_时，它是二元一次方程. 【解析】当m20，m2时，方程是一元一次方程；当m20，m2时，方程是二元一次方程.【答案】m2 m24.把方程x(x+1)=4(x1)+2化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数、常数项.【解析】题中方程不是一般形式，应先去括号、移项、合并同类项，将方程化为一般形式.在化的时候，移项要变号，合并同类项要准确.【解答】一般形式为x23x+2=0，它的二次项系数为1，一次项系数为3，常数项为2. 1. a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且满足+(b2)2+|a+b+c|=0，求满足条件的一元二次方程.【
11、解析】此题关键是理解算术根、完全平方数和绝对值的意义，即0，(b2)20，|a+b+c|0，只有使各项为0时，其和才为0.本题考查了对已学知识的掌握情况，同时与新学的一元二次方程知识密切联系.【解答】由+(b2)2+|a+b+c|=0，得解得a=1,b=2,c=3.a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，所求的方程为x2+2x3=0.课时作业：A等级1下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） （A）x2=1 （B）x2+y=2 （C）x2=2 （D）x+5=（7）22方程3x2=4x的一次项系数是（ ） （A）3 （B）4 （C）0 （D）43把一元二次方程（x+2）（x3）=4化成一般形式
12、，得（ ） （A）x2+x10=0 （B）x2x6=4 （C）x2x10=0 （D）x2x6=04一元二次方程3x2x2=0的一次项系数是_，常数项是_5x=a是方程x26x+5=0的一个根，那么a26a=_6根据题意列出方程：（1）已知两个数的和为8，积为12，求这两个数如果设一个数为x，那么另一个数为_，根据题意可得方程为_（2）一个等腰直角三角形的斜边为1，求腰长如果设腰长为x，根据题意可得方程为_7填表：方程x21=2xxx2=063y2=0（x2）（2x+3）=6一般形式二次项系数一次项系数常数项8判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的解：（1）x2+5x+4=0 （x1=1，x2
13、=1，x3=4）；（2）（3x1）2=3（x+2）2=76x （x1=3，x2=2，x3=1，x4=1）9根据题意，列出方程：有一面积为60m2的长方形，将它的一边剪去5m，另一边剪去2m，恰好变成正方形，试求正方形的边长10当m满足什么条件时，方程m（x2+x）=x2（x+1）是关于x的一元二次方程？当m 取何值时，方程m（x2+x）=x2（x+1）是一元一次方程？B等级11把方程化成一般形式是 12一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数之和为 13已知是方程的一个根，则 14关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 15已知的值为，则代数式的值为 16下列关于的方程：；中，一元二次方程
14、的个数是（ ）A1个B2个C3个D4个17若是关于的一元二次方程，则不等式的解集是（ ）ABC且D18关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）ABC或D19已知是关于的方程的一个解，则的值是（ ）ABCD20如下图所示，相框长为10cm，宽为6cm，内有宽度相同的边缘木板，里面用来夹相片的面积为32cm2，则相框的边缘宽为多少厘米？我们可以这样来解：（1）若设相框的边缘宽为，可得方程 （一般形式）；（2）分析并确定的取值范围；（3）完成表格：0123（1）中（4）根据上表判断相框的边框宽是多少厘米？C等级21. 关于x2=2的说法，正确的是 （ ）A.由于x20，故x2不可能等于2，因此这
15、不是一个方程B.x2=2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程C.x2=2是一个一元二次方程D.x2=2是一个一元二次方程，但不能解22. 若是方程的一个根，则的值为（ ）ABCD23无论a为何实数，下列关于的方程是一元二次方程的是（ ） A(a21)x2+bx+c=0 B.ax2+bx+c=0 C a2x2+bx+c=0 D.(a2+1)x2+bx+c=024. 方程x2+xx+1=0的一次项系数是（ ） A B.1 C.1 D.xx25. 把方程整理为的形式，并指出各项的系数.26. 某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的元降到了元，设平均每次降价的百分率为，则列出方程为_.
16、27. 如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边 如图17，地毯图案长8米、宽6米，整个中央的矩形地毯的面积是40平方米求花边的宽28. 若，求的值。课前预习1利用平方根的定义，将方程直接开平方，所得方程的解为（ ） A B。 C D。2.用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）ABCD答案：课时作业：1C 2D 3C 4；2 556（1）8x；x（8x）=12 （2）x2+x2=17 方程 x21=2x xx2=0 63y2=0 （x2）（2x+3）=6 一般形式 x22x1=0 x2+x=0 3y2+6=0 2x2x12=0 二次项系数 1 3 2 一次项系数 2 1 0 1 常数项 1
17、 0 6 128（1）x1=1，x3=4是原方程的解，x2=1不是原方程的解 （2）x1=3，x4=1是原方程的解，x2=2，x3=1不是原方程的解9设正方形的边长为xm，（x+5）（x+2）=6010当m时，原方程是关于x的一元二次方程；当m=时，原方程是一元一次方程1112131415716A17C18B19C20（1）；（2）；（3），；（4）1cm21.D22. C23. D24. C25. (2k3) x2+（3k6）x+ k+2=0,二次项系数2k3，一次项系数3k6，常数项k+2。26. 27. (82x)(62x)=4028. （提示：在利用方程解有关代数式求值问题时,可用整体代入的方法求解,把变为x2 x=2代入代数式中求值.）课前预习1. C2. D
