一次函数全章知识点总结及强化练习.doc

1、一次函数全章知识点总结及强化练习知识点一：通过实例体会变量、常量、函数的概念【情景与问题】 问题一：一辆汽车以60千米小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时 请同学们根据题意填写下表：t/时12345ts/千米 在以上这个过程中，变化的量是_不变化的量是_ 试用含t的式子表示s _t的取值范围是 这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程_随行驶时间_的变化过程问题二：每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，午场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元怎样用含x的式子表示y ? 请同学们根据题意填写下表：售出票数（张）

2、早场150午场206晚场310x收入y (元)2在以上这个过程中，变化的量是_不变化的量是_试用含x的式子表示y_y=_x的取值范围是 这个问题反映了票房收入_随售票张数_的变化过程问题三： 圆的面积和它的半径之间的关系是什么？要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？30 cm2呢?怎样用含有圆面积的式子表示圆半径r？ 关系式：_请同学们根据题意填写下表：面积s（cm2）102030s半径r(cm)在以上这个过程中，变化的量是_不变化的量是_试用含s的式子表示r_r=_s的取值范围是 这个问题反映了_ _ 随_ _的变化过程【探究总结】 以上这些问题都反映了不同

3、事物的变化过程，其实现实生活中还有好多类似的问题，在这些变化过程中，有些量的值是按照某种规律变化的（如），有些量的数值是始终不变的（如）。得出结论： 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为_； 在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为_【典型例题】 【例1】常量和变量在研究“某一变化过程中”时是确定的，以svt为例（t为时间，v为速度，s为路程）：若速度v固定，则常量是_，变量是_；若时间t固定，则常量是_，变量是_. 举一反三：1、骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化，在这一问题中，自变量是（ ）A、沙漠 B、体温 C、时间 D、骆驼2.圆的面积S（cm）与圆的半径r(c

4、m)之间的函数关系式是S=,，此关系式中的变量是（ ）A，r B，r C,S, , r D,S和r3、下列说法不正确的是( )A公式V =r3中，是常量，r是变量，V是r的函数 B公式V =3中，V是的函数C公式v =中，v可以是变量，也可以是常量 D圆的面积S是半径r的函数知识点二：函数的定义【问题引申，探索概念】 （一）观察探究：1、在前面研究的每个问题中，都出现了_个变量，它们之间是相互影响，相互制约的2、同一个问题中的变量之间有什么联系？ 归纳：上面每个问题中的两个变量相互联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有_确定的值与其对应。3、其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看

5、到两个变量间有上述这样的关系我们来看下面两个问题，通过观察、思考、讨论后回答：（1）下图是体检时的心电图其中图上点的横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？中国人口数统计表年份人口数亿19841034198911061994117619991252（2）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y，对于表中每一个确定的年份（x），都对应着一个确定的人口数（y）吗？ （二）归纳概念： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我

6、们就说x是_，y是x的_如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的_注意：两个变量x与y对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化【典型例题】 【例2】下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高.(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是 cm(2)该市男学生的平均身高从 岁开始迅速增加。(3)上表反映了变量 之间的关系，其中 是自变量， 是因变量。举一反三：1、写出下列各问题中的关系式,并指出其中的自变量与函数:（1）圆的周长C与半径r的关系式： （ 是自变量， 是因变量，_是_的函数）（2）火车以60千米/时

7、的速度行驶,它驶过的路程s(千米)和所用时间t(时)的关系式： （ 是自变量， 是因变量，_是_的函数）（3）n边形的内角和S与边数n的关系式： （ 是自变量， 是因变量，_是_的函数）（4）直角三角形中的一个锐角度数为a，则另一个锐角度数b与a 间的关系式： （ 是自变量， 是因变量，_是_的函数）【例3】已知变量x与y的四种关系：yx，yx，2x2y0，2xy20其中y是x的函数的有_个. 举一反三：判断下列关系式中，其中y是否是x的函数?(1)(2) 【例4】判断下列关系式和图象中，其中y是否是x的函数（1） （2）举一反三：1.下列函数中，不是函数关系的是（ ）A,y=（x0）; B，

8、y=（x0）; D, y=（x0）;Oyx2、下列各图象中，y不是x函数的是 （ ）OxyOxyyO x知识点三：自变量的取值范围【知识要点】 自变量的取值范围的确定1. 自变量的取值必须使含自变量的代数式（数学式子）有意义（1） 使函数关系式有意义.： 当函数关系式是一个只含有一个自变量的整式时，自变量的取值范围是全体实数例如：y=2x-1中，自变量x的取值范围是全体实数 当函数关系式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义例如：S=R2中，若R表示圆的半径，则R0 当函数关系式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数 当函数关系式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小

9、于零的实数 自变量的取值范围可以是有限或无限的，也可以是几个数或单独的一个数例如：y=中，自变量x的取值范围是x=0；y=中，自变量x的取值范围是x=3 在一个函数关系式中，当自变量x同时含在分式和二次根式中时，函数自变量的取值范围是它们的公共解2.当函数解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义3.注意: 自变量的取值范围可以是有限也可以是无限，可以是一个或几个数4.有的要列不等式或不等式组来求【典型例题】 【例5】1、求下列函数中自变量x的取值范围。 （1）； （2）； （3）。2、求下列函数中自变量的取值范围：举一反三：1、在函数y=中,自变量的取值范围是( )A、x-2且x

10、0； B、x2且x0； C、x0； D、x-2；2.、函数的自变量x的取值范围是（ ）A、 x-2； B、x-2且x2； C、x0且x2； D、x-2且x2。3. 下列函数中，自变量x的取值范围错误的是（ ）A.y=x中,x取全体实数 B.y=+中,x1且x2；C.y=中x2 D.y=中x-1且4、下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（ ）A、y=2x2中，x取全体实数 B、y=中，x取x-1的实数C、y=中，x取x2的实数 D、y=中，x取x-3的实数5、求下列函数中自变量的取值范围: 6、求下列函数中，自变量x的取值范围；7、求下列函数自变量的取值范围（1） ； （2） （3） ； （

11、4） .知识点四：函数值【知识要点】 对于自变量在取值范围内的一个确定的值，比如当时，函数有唯一确定的对应值，这个对应值叫做的函数值，简称函数值。注意：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个。比如：中，当函数值为4时，自变量的值为。 （1）求函数值，实质上就是求代数式的值，就是将自变量的值代入自变量所在的代数式得到的值，如在y中，求当x1时的函数值？（2）当函数值确定，求相应的自变量的值时，实际上就是解关于自变量的方程. 如在y2x3中，当x为何值时，函数值是5？【典型例题】 【例6】设函数，已知当时，求当时x的值。思路点拨：利用时可以

12、先求出a值，再把a值代入时的函数中，便可求出x的值。总结升华：了解常量、变量、函数的意义，会分辨常量与变理量，自变量与函数值之间的联系。 举一反三：1、求当时，函数的函数值。2、已知函数，当x为何值时，函数值是正数、0、负数？3、当x= 时，函数y=3x-2与函数y=5x+1有相同的函数值。4、已知函数y=中，当x=a时的函数值为1，则a的值是（ ）A、-1 B、1 C、-3 D、35、已知函数 中，当x=m时的函数值为1，则m的值为（ ）A.1 ; B.3 C. -3 D. -1;6、已知函数 ，当 时函数值为1，则m值为（）（A）1（B）3（C）-3（D）-17、若函数 ，与函数值 对应的

13、x的值是（）（A） 或（B） 或 （C） 且（D） 或 知识点五：函数的表示方法【函数的表示方法1】 1、解析式法（关系式法）用来表示函数关系的等式叫函数解析式法（关系式法）用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称为函数解析式. 从以下几个方面来理解函数关系式的概念：函数关系式是等式例如：y=2x+3就是一个函数关系式，我们可以说代数式2x+3是x的函数，但不能说2x+3是函数关系式函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的一个变量表示函数例如：y=2x2+3中，y是x的函数，x是自变量书写函数关系式是有顺序的例如：y=x-3表示y是x的函数；

14、若x=y+3，则表示x是y的函数也就是说，求y关于x的函数关系式，必须用自变量x的代数式表示y，即得到的等式的左边是一个变量y，右边是一个含x的代数式 2、实际问题中函数关系式的列法及自变量取值范围的限制(1)函数式的列法：关键是建立等式，其次是要表示出等式中的各个量。(2)实际问题的自变量取值范围：不但要使得出的函数式有意义，还必须考虑到使实际问题有意义。非负数；（甚至于是非负整数或正整数）最大与最小的限制。【典型例题】 【例7】下列变量之间的关系不是函数关系的是（ ）A长方形的宽一定，其长与面积B正方形的周长与面积C等腰三角形的底边与面积D球的体积与球的半径【例8】汽车由北京驶往相距850

15、千米的沈阳，它的平均速度为80千米/小时，求汽车距沈阳的路程S（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系式，写出自变量的取值范围【例9】按要求写出函数关系式：（1）正方形的面积S与边长x的函数关系； （2）面积为的长方形的长与宽之间的函数关系； （3）一本500页的书，每天看15页，x天后尚未看的页数与天数之间的函数关系； （4）一年期的存款利率为a，到期后的本息和与存入的金额之间的函数关系 【例10】工人李某下岗后到一家个体小吃部当服务员，该部每天的各项费用平均为85元，如果每来一名顾客小吃部获利3.5元，那么小吃部平均每天的纯收入y（元）与顾客人数x的关系为_【例11】高速公路上某收费站对过往

16、车辆都要收费，规定大车每辆收10元，小车每辆收5元，若某一天过往3000辆车，那么所收费用y（元）与小车x（辆）的关系为_【例12】如图，长方形ABCD当点P在边AD上从A向D移动时，（1）试指出，哪些三角形的面积始终保持不变，哪些发生了变化？（2）假设长方形的长AD为10cm，宽AB为4cm，线段AP的长度为x cm，写出x的取值范围；写出线段PD的长度y（cm）与x之间的函数关系式；写出的面积与x之间的函数关系式。举一反三：1、一个梯形的上底长为5，下底长为x，高为6，则梯形的面积y与下底长x之间的函数关系式是_，当下底x7时，梯形面积y_. 2、某工人要完成24个零件的生产任务；（1）写

17、出该工人完成任务的时间t（小时）与每小时定额a（件）之间函数关系式；（2）求出这个函数的自变量的取值范围；3、写出下列函数关系式：(1)等腰三角形的底角y的度数与顶角度数x之间的关系为_；(2)某礼堂共有25排座位，第一排有20个座位，后面每排比前一排多1个座位，则每排座位数y与这排的排数x的关系为_4、已知等腰三角形周长为12cm，若底边长为y cm，一腰长为x cm。（1）确定y与x的函数关系式；（2）确定x的取值范围；5、如果每盒圆珠笔有12支，售价18元，那么圆珠笔的售价y（元）与圆珠笔的支数x之间的函数关系式是（ ）ABCD 6、已知A、B两地相距20千米，某同学步行由A地到B地，速

18、度为每小时4千米，设该同学与B地的距离为y千米，步行的时间为X小时，则y与x之间的函数解析式为 ，自变量x的取值范围是 7、拖拉机开始工作时，油箱中有油30升，每小时耗油5升. （1）写出油箱中的余油量Q（升）与工作时间t（时）之间的函数表达式； （2）求出自变量t的取值范围；【函数的表示方法2】 列表法：用表格列出自变量与函数的对应值，表示函数两个变量之间的关系，这种表示函数的方法叫做列表法它的优点是能明显地显示出自变量的值和与之对应的函数值但它只能把部分自变量的值和与之对应的函数值列出，不能反映出函数变化的全貌例如：市场上猪肉的价格为每千克12元，那么重量与金额的函数关系列表如下：重量/千

19、克0.20.40.50.60.70.80.911.522.53金额/元2.44.867.28.49.610.81218243036【函数的表示方法3】 图象法：函数图象定义：一般来说，对于一个函数,如果把自变量和函数的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,那么在坐标平面内由这些点组成的图形，叫做这个函数的图象。函数图象的画法：.列表.描点连线（用平滑曲线从小到大依次连接这些点）（注意自变量的取值范围）有时为了画图的需要横纵坐标可以取不同的单位长度注意：图象可能是点，直线，射线，线段，曲线，完全决定于函数自变量的取值范围。函数图象上的任意点满足函数解析式，满足函数解析式的一对（x，y）一定在函

20、数的图象上【典型例题】 【例13】 画出函数的图象 分析：要画出一个函数的图象，关键是要画出图象上的一些点，为此，首先要取一些自变量的值，并求出对应的函数值（x的取值一定要在它的取值范围内）解：（1）列表 取x的自变量一些值，例如x=-3，-2，-1，0，1，2，3，。，并且计算出对应的函数值x。321 0 123y。 （2）描点由列表，我们得到一系列的有序实数对：（ ），（ ），（ ），（ ），（ ），（ ），（ ），在直角坐标系中描出这些有序实数对的对应点（3）连线描完点之后，用光滑的曲线依次把这些点连起来，便可得到这个函数的图象。 （例一图） （例二图）x。0.511.5 2 2.533

21、.5。y。 【例14】 画出函数（2）的图象 解：（1）列表 （2）描点 在直角坐标系中描出这些有序实数对的对应点（ ），（ ），（ ），（ ），（ ），（ ），（ ）（3）连线总结：1、这里画函数图象的方法我们称为描点法，步骤为：列表、描点、连线。描点法画函数图象的一般步骤:第一步： （表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）第二步： （在直角坐标系中，以 的值为横坐标，相应的函数值为 ，描出表格中数值对应的点）第三步： （按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用 的曲线或线段连接2、点在图像上，图象经过点。【例15】已知点A(2，2），B(-1，-6)，C(0，-4)，其中在函数y = 3

22、x-4的图象上的点的个数是( )A0个 B1个 C2个 D3个【例16】下列函数中，其图象经过原点的是( )Ay = 2x=3 By = Cy = x2=1 Dy =举一反三：1、在所给的直角坐标系中画出函数y=2x-1的图象（先填写下表，再描点、连线）解：. （1）列表x-3-2-10123y（2）描点（3）连线2、矩形的周长是8cm，设一边长为x cm，另一边长为y cm. （1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）在给出的坐标系中，作出函数图像。知识点六：函数图象及其运用1【图象与实际问题1】 正确理解函数图象与实际问题间的内在联系函数的图象是由一系列的点组成，图象上

23、每一点的坐标（x,y）代表了该函数关系的一对对应值。1、读懂横、纵坐标分别所代表的实际意义；2、读懂两个量在变化过程中的相互关系及其变化规律。【典例分析】 【例17】（常州市，2000）小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10 分钟报纸后，用15分钟返回家里图中表示小明的父亲离家的时间与距离之间的关系是（ ）【例18】某运动员将高尔夫球击出，描绘高尔夫球击出后离原处的距离与时间的函数关系的图像可能为（ ） 【例19】飞机起飞后所到达的高度与时间有关，描绘这一关系的图像可能为（ ） 【例20】打篮球时，一运动员跳起将球投出，入篮得分，描绘篮球出手后的高度与时间的关系

24、的图像可能为（ ） 【例21】一根蜡烛点燃2分钟长为19厘米，点燃12分钟时长为14厘米，那么蜡烛剩余全长度y（厘米）与点燃时间x（分）的关系是图中的（ ）举一反三：1、一枝蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧掉5厘米，则下列3幅图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度h（厘米）与点燃时间t之间的函数关系的是（）.2 某厂今年前五个月生产某种产品的月产量Q（件）关于时间t (月)的函数图象如图所示，则对这种产品来说，下列说法正确的是（）.A 1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月每月产量逐月减少B 1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月每月产量与3月持平C 1月至3月每月产量逐月增加，4、5两个

25、月停止生产D 1月至3月每月产量不变，4、5两月停止生产3 在空中，自地面算起，每升高1km，气温下降若干度。某市空中气温t（）与高度h（km）之间的函数如图所示。观察图象可知，该市地面气温为_当高度为_km时，气温降到0以下。综合练习：1如图，分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图像，图中s和t分别表示运动路程和时间，根据图像判断快者的速度比慢者的速度每秒快（ ）A25m B2m C15m D1m2甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示，填空：（1）这是一次 米赛跑；（2） 先到达终点；（3）乙在这次赛跑中的速度是 。3一块边长为10米的正方形草地，现准备将它的一边增加x米，而

26、另一相邻的边减少2米，改成长方形，改变后草地的周长与x的关系为： ，当x为 时，周长与原来的一样；面积与x的关系为： ，当x为 时，面积与原来的一样.1.M(1,2),N(3, ),P(1,-1),Q(-2,-4)在函数y=图像上的是（ ）A.M点； B.N点； C.P点； D.Q点；2、小明一出校门先加速行驶，然后匀速行驶一段后，在距家门不远的地方开始减速，而最后停下，下面哪一副图可以近似地刻画出以上情况：( )()st()mS64o812AB 速度 速度 速度 速度 时间 时间 时间 时间A B C D 3.如图（1）是甲，乙两家商店销售同一种产品的销售价y(元)与销售量x的(件)之间的函

27、数图像，有下列说法：（1）售2件时，甲，乙两家售价一样；（2）买1件时买乙家合算；（3）买3件时买甲家合算；（4）买乙家的1件时售价为3元；其中正确的说法有（ ）A,(1) （2） B（2）（3）（4）， C（2）（3） D，(1)（2）（3）4、将一盛有部分水的圆柱形小水杯,放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水（如图所示），则小水杯内水面高度h(cm)与注水时间t(min)的函数图像大致为（ ）A、；B、；C、D、；5、如图（2）是韩老师早晨出门散步时离家的距离y与时间x的函数图像，若用黑点表示韩老师的位置，则韩老师散步时行走的路线是（ ）A、； B、； C、；

28、D、；6、如图（3）反映的过程是：小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一阵后走到新华书店去买书，然后散步回家，其中t表示时间，s表示小明离家的距离，那么小明在体育馆锻炼和在新华书店买书共用去的时间是（ ）A、35分钟； B、45分钟； C、50分钟； D、60分钟；7、甲、乙两个工程队完成某项工程，首先是甲队单独做10天，然后是乙队加入合作，完成剩下的全部工程，设工程总量是1，工程进度满足如图（4）所示函数图案，那么实际完成这项工程比甲单独完成这项工程的时间少（ ）A、12天； B、13天； C、14天； D、15天；8、如图（5）所示，边长为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿

29、该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内除去小正方形部分的面积为s，那么s与t大致图像应是（ ）A、； B、； C、； D、；9、“龟兔赛跑”讲述了这样一个故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点用S1,S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图像中，与故事情节相吻合的是（ ）A、； B、； C、； D、知识点六：综合练习综合练习1.如右图，已知正方形ABCD的边长是1，E是CD边上的中点，P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P从A点出发，沿ABCE的方向运动，到达E，若

30、点P经过的路线为自变量x, APE的面积为函数y,试求出该函数关系式，并指出当y=时，x的值是多少？2.已知池中有600 的水，每小时抽50 （）写出剩余水的体积（）与时间（）之间的函数关系式；（）写出自变量的取值范围；（）几小时后，池中有水；3.、某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同种零件，它们一天生产零件个数y（个）与生产时间t（时）的函数关系如图所示。（1）根据图像填空：甲、乙中 先完成一天的任务，在生产过程中， 因机器故障停止生产 小时。当t= 时，甲、乙生产的零件个数相等。（2）谁在哪一段时间内的生产速度是最快的？求该段时间内他每小时生产零件的个数?4.（1）等腰三角形的周长是20c

31、m，底边长ycm，腰长xcm，写出底边长y与腰长x的函数关系式并求出x的取值范围。（2）如图所示，已知在RTABC中，C=90,AC=6,BC=8,设P为BC边上任一点（不与B,C重合）且CP=x，若y=SAPB，试写出y与x之间函数关系式。5、已知有两人分别骑自行车和摩托车沿着相同路线从甲地到乙地去，图中反映的是这两人行驶过程中时间与路程的关系，根据图像回答下列问题：（1） 甲地和乙地相距多少千米？两个人分别用了几小时才到达乙地？谁先到达了乙地？早到多长时间？（2） 分别描述在这个过程中自行车和摩托车的行驶状态。（3） 求摩托车行驶的平均速度。13、弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（

32、cm）与所挂物体的质量x（kg）有如下关系：x/kg0123456y/cm1212.51313.51414.515 （1）请写出弹簧总长y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式（2）当挂重10千克时弹簧的总长是多少？15、如图，反映了小明从家到超市的时间与距离之间关系的一幅图.（1）图中反映了哪两个变量之间的关系？超市离家多远？（2）小明到达超市用了多少时间？小明往返花了多少时间？（3）小明离家出发后20分钟到30分钟内可能在哪里？ （4）小明从家到超市时的平均速度是多少？返回时的平均速度是多少？ 12、某机动车出发前油箱内有油42L，行驶若干小时后，途中在加油站若干升，油箱中余油量 Q（L)与行驶时间t（h)之间的函数关系如图4，根据下图回答问题： (1）机动车行驶 小时后加油？（2）加油前油箱中余油量Q与行驶时间t的函数关系式是 ，此函数自变量 T的取值范围是 ；（3） 中途加油 L；（4） 如果加油站距目的地还有230km，车速为40km/h，要到达目的地，油箱中的油是否够 用？请说明理由。