1、初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCO求证：CDGF（初二）.如下图做GHAB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以GFHOEG,即GHFOGE,可得=,又CO=EO，所以CD=GF得证。AFGCEBOD2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，PADPDA150 求证：PBC是正三角形（初二）APCDB.3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点D2C2B2A2D1C1B1CBDAA1求证：四边形A2B2C2D2是正方形（初二）ANFECDMB4、
2、已知：如图，在四边形ABCD中，ADBC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F求证：DENF经典题（二）1、已知：ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OMBC于MADHEMCBO（1）求证：AH2OM；（2）若BAC600，求证：AHAO（初二）GAODBECQPNM2、设MN是圆O外一直线，过O作OAMN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q求证：APAQ（初二）3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：OQPBDECNMA设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交
3、MN于P、Q求证：APAQ（初二）4、如图，分别以ABC的AC和BC为一边，在ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点PCGFBQADE求证：点P到边AB的距离等于AB的一半（初二）经典题（三）1、如图，四边形ABCD为正方形，DEAC，AEAC，AE与CD相交于FAFDECB求证：CECF（初二）2、如图，四边形ABCD为正方形，DEAC，且CECA，直线EC交DA延长线于FEDACBF求证：AEAF（初二）3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PFAP，CF平分DCEDFEPCBA求证：PAPF（初二） ODBFAECP4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，
4、PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D求证：ABDC，BCAD（初三）经典题（四）APCB1、已知：ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA3，PB4，PC5求：APB的度数（初二）2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且PBAPDA求证：PABPCB（初二）PADCB3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：ABCDADBCACBD（初三）CBDA4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AECF求证：DPADPC（初二）FPDECBAAPCB经典难题（五）1、 设P是边长为1的正ABC内任一点，LPAPBPC，求证：L2ACBPD2、已知：
5、P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PAPBPC的最小值ACBPD3、P为正方形ABCD内的一点，并且PAa，PB2a，PC3a，求正方形的边长EDCBA4、如图，ABC中，ABCACB800，D、E分别是AB、AC上的点，DCA300，EBA200，求BED的度数经典题（一）1.如下图做GHAB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以GFHOEG,即GHFOGE,可得=,又CO=EO，所以CD=GF得证。3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点，连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，由A2E=A1B1=B1C1= FB2
6、，EB2=AB=BC=FC1 ，又GFQ+Q=900和GEB2+Q=900,所以GEB2=GFQ又B2FC2=A2EB2 ，可得B2FC2A2EB2 ，所以A2B2=B2C2 ， 又GFQ+HB2F=900和GFQ=EB2A2 ,从而可得A2B2 C2=900 ，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得QMF=F，QNM=DEN和QMN=QNM，从而得出DENF。经典题（二）1.(1)延长AD到F连BF，做OGAF,又F=ACB=BHD，可得BH=BF,从而可得HD=DF，又AH=GF+HG=GH+HD+DF+H
7、G=2(GH+HD)=2OM(2)连接OB，OC,既得BOC=1200， 从而可得BOM=600, 所以可得OB=2OM=AH=AO,得证。3.作OFCD，OGBE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。 由于， 由此可得ADFABG，从而可得AFC=AGE。 又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得AFC=AOP和AGE=AOQ， AOP=AOQ，从而可得AP=AQ。4.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG，CI，FH。可得PQ=。 由EGAAIC，可得EG=AI，由BFHCBI，可得FH=BI。 从而可得PQ= = ，从而得证。经典题（三）1.顺时针旋转ADE，到ABG，连接CG
8、. 由于ABG=ADE=900+450=1350 从而可得B，G，D在一条直线上，可得AGBCGB。 推出AE=AG=AC=GC，可得AGC为等边三角形。 AGB=300，既得EAC=300，从而可得A EC=750。 又EFC=DFA=450+300=750. 可证：CE=CF。2.连接BD作CHDE，可得四边形CGDH是正方形。由AC=CE=2GC=2CH， 可得CEH=300，所以CAE=CEA=AED=150，又FAE=900+450+150=1500，从而可知道F=150，从而得出AE=AF。3.作FGCD，FEBE，可以得出GFEC为正方形。 令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,
9、可得PC=Y-X 。 tanBAP=tanEPF=，可得YZ=XY-X2+XZ， 即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出ABPPEF ， 得到PAPF ，得证 。经典难题（四）1. 顺时针旋转ABP 600 ，连接PQ ，则PBQ是正三角形。可得PQC是直角三角形。所以APB=1500 。2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AEDC，BEPC.可以得出ABP=ADP=AEP，可得：AEBP共圆（一边所对两角相等）。可得BAP=BEP=BCP，得证。3.在BD取一点E，使BCE=ACD，既得BECADC，可得： =，即ADBC=BEAC， 又ACB=DCE，可得ABCDEC，
10、既得 =，即ABCD=DEAC， 由+可得: ABCD+ADBC=AC(BE+DE)= ACBD ，得证。4.过D作AQAE ，AGCF ，由=，可得： =，由AE=FC。 可得DQ=DG，可得DPADPC（角平分线逆定理）。经典题（五）1.（1）顺时针旋转BPC 600 ，可得PBE为等边三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小L= ； （2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D，F。 由于APDATP=ADP，推出ADAP 又BP+DPBP 和PF+FCPC 又DF=AF 由可得：最大L 2 ； 由（1）和（2）既得：L2
11、 。 2.顺时针旋转BPC 600 ，可得PBE为等边三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。既得AF= = = = = = 。3.顺时针旋转ABP 900 ，可得如下图： 既得正方形边长L = = 。4.在AB上找一点F，使BCF=600 ， 连接EF，DG，既得BGC为等边三角形， 可得DCF=100 , FCE=200 ,推出ABEACF ， 得到BE=CF ， FG=GE 。 推出 ： FGE为等边三角形 ，可得AFE=800 ， 既得：DFG=400 又BD=BC=BG ，既得BGD=800 ，
12、既得DGF=400 推得：DF=DG ,得到：DFEDGE ， 从而推得：FED=BED=300 。学海迷津：数学学习十大方法1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三
13、角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R,a0)根的判别，=b2-4ac,不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有
14、非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。6、构造法在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、
15、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。7、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设;(2)归谬;(3)结论。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式
16、是有必要的，例如：是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n一1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。8、面积法平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面
17、积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。、几何变换法在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一
18、方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。几何变换包括：(1)平移;(2)旋转;(3)对称。10、客观性题的解题方法选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识复盖面广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。要想迅速、正确地解选择题、填空题，除
19、了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。(1)直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。(2)验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法(也称代入法)。当遇到定量命题时，常用此法。(3)特殊元素法：用合适的特殊元素(如数或图形)代入题设条件或结论中去，从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。(4)排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。(5)图解法：借助于符合题设条件的图形或图像的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。(6)分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正确的结果，称为分析法。
