1、教学课件相似中的“射影定理”1. 射影定理直角三角形射影定理（又叫欧几里德（Euclid）定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。如图，RtABC中，BAC90，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（2）（3）ABCABDDAC注意：（1）在RtABC中，AD为斜边BC上的高，图中共有6条线段：AC、BC、CD、AD、DB、AB，已知任意两条，便可求出其余四条；（2）射影定理的每个乘积式中含三条线段，若已知两条线段，可求第三条；（3）平方项一定是两相似三角形的公共边。2. 定理推论在ABC中，D是BC边
2、上的一点，且满足，则有。ABDCBA例题1 已知CD是ABC的高，DECA，DFCB，求证：CEFCBA。解析：根据CDECAD和CDBCFD得和利用等量代换和变形，即可证明CEFCBA。答案：证明：在RtADC中，由射影定律得，在RtBCD中，CEFCBA点拨：本题主要考察了相似三角形的基本模型射影定理的应用。做题时要善于发现相似，找出等量关系，进行适当的变形。例题2 已知：如图，AB为O的直径，AC为弦，CDAB于D。若AEAC，BE交O于点F，连接CF、DE。求证：（1） （2）解析：（1）根据AEAC，可以把结论转化为证明，只需连接BC，证明ACDABC即可。（2）根据（1）中的结论，
3、即可证明三角形ADE相似于三角形AEB，得到AEDB，再根据同弧所对的圆周角相等即可证明。答案：（1）连接BC，AB为O的直径，ACB90CDAB，ACDABC，ACAE，（2），EADBAE，ADEAEB，AEDBACFB，ACFAED点拨：本题主要考查了对相似三角形的判定和性质的掌握和应用，注意转化思想的应用是解决本题的关键。【要点总结】射影定理是相似三角形中的特殊形式，经常结合圆、矩形、平面直角坐标系和函数考查，因此要善于在复杂的图形中发现满足射影定理的模型，并对其进行代数式的变形，以及等量代换，从而达到解题目的。例题 如图，在RtABC中，CD，CE分别是斜边AB上的高和中线，BCa，
4、ACb（ba），若，求的值。解析：在RtABC中，利用射影定理得到，进而得到BD的表达式，由面积法可求出CD的长，根据CE为中线，建立关系式DEBEBD，再根据正切函数的定义，建立关于a、b的关系式。答案：在RtABC中，ACB90，CDAB，即：。由等面积法知：，。又因为CE是中线，则。在RtCDE中， 得：，解得，于是有或（舍负值）。点拨：本题考查了射影定理、勾股定理、解直角三角形，综合性较强，要认真对待。（答题时间：30分钟）一、选择题1. 在RtABC中，C90，CDAB，垂足为点D，若AD：BD9：4，则AC：BC的值为（ ）A. 9：4 B. 3：2 C. 4：9 D. 2：3*2
5、. 在RtABC中，BAC90，ADBC于点D，若，则（ ）A. B. C. D. *3. 已知：在ABC中，BAC90，ADBC于D，M为BC中点。下列关系式中正确的是（ ）A. B. C. D. *4. 若正实数x，y，z满足， 。则下列关系式中正确的是（ ）A. B. C. D. 无法确定二、填空题*5. 如图，ABC中，点D在BC上，以为直径作O，恰过A点，若AC与O相切，则AB的长为 。*6. 如图，矩形ABCD中， ，点E在BC上，点F在CD上，且，FGAE于G，则AG：GE 。*7. 两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一个较大的正方形，如用两个边长分别为a，b的正方形拼成
6、一个大正方形。图中RtABC的斜边AB的长等于 （用a，b的代数式表示）。*8. RtABC中，BAC90，AD是斜边BC上的高，则 三者之间的等量关系式为 。三、解答题*9. 如图，AB为O的直径，C为O上一点，CDAB于点D，交AE于点G，弦CE交AB于点F，求证：。*10. （沈阳模拟）已知RtABC中，BAC90，ADBC，垂足为D，DFAC，垂足为F，DEAB，垂足为E。求证：（）（）*11. 已知：如图，BD、CE是ABC的高，DGBC与CE交于F，GD的延长线与BA的延长线交于点H。求证：。*12. （莆田）（1）如图1，在RtABC中，ABC90，BDAC于点D。求证：；（2）
7、如图2，在RtABC中，ABC90，点D为BC边上的点，BEAD于点E，延长BE交AC于点F。，求的值；（3）在RtABC中，ABC90，点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），直线BEAD于点E，交直线AC于点F。若，请探究并直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示），不必证明。1. B 解析：由射影定理得，又，故选B。2. C 解析：由勾股定理得： ，可得：ABCDBADAC，选C。3. A 解析：由BAC90，ADBC， ABCDBADAC，可得，。又M为BC中点，可得，。4. B 解析：如图，由条件可构造RtABC，由条件联想到射影定理，作斜边z上的高r，由三角形的面积可得：，即
8、。5. 解析：连接AD，作于H点，设， 由CADCBA得：由射影定理得：，故，又知H为BC中点，故，即由、解得：。6. 41 解析：矩形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，且，FGAE于G，又ECFFDA，CEFDFA，AFDFEC，AFDCFEFECCFE90，AFE90又FGAE，AFEAGF，AFGFEG，则AG2FG，2，AG4EG，AG：GE4：1。 7. 解析：RtABC的边BC在斜边AB上的射影为a，由BC2aAB可得。8. 解析：由射影定理可得：，；，化简可得。9. 证明：延长CG，交O于点M，ABCM，ACGE又CAGEAC CAGEAC 10. 证明：（）因为RtABC
9、中，BAC90，ADBC。显然ABDCBA，即（）由射影定理知又由三角形相似可知，且DFAE，结合射影定理 11. 证明：BDAC，DGBC，DGCDGB90，CDB90，由射影定理得：CGDDGB， ，CEAB，ECBCBE90，又HGBH90，ECBH，FGCHGB90，CGFHGB， 12. （1）证明：如图，BDAC，ABC90，ADBABC，又AA，ADBABC，。（2）解：方法一：如图，过点C作CGAD交AD的延长线于点G，BEAD，CGDBED90，CGBF。，ABBC2BD2DC，BDDC，又BDECDG，BDECDG，由（1）可得：，AE4DE，。CGBF，。方法二：如图，过点D作DGBF，交AC于点G，ABBC。DGBF，FC2FG。由（1）可得：，DGBF，。（3）解：点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），有三种情况：（I）当点D在线段BC上时，如图所示：过点D作DGBF，交AC边于点G。，DGBF，由（1）可得：，；DGBF，即，化简得：；（）当点D在线段BC的延长线上时，如图所示：过点D作DGBE，交AC边的延长线于点G。同理可求得：；（）当点D在线段CB的延长线上时，如图所示：过点D作DGBF，交CA边的延长线于点G。同理可求得：。
