1、概率、统计1.（2020天津 4）从一批零件中抽取 80 个，测量其直径（单位： mm ），将所得数据分为 9 组：5.31, 5.33),5.33, 5.35),5.45, 5.47,5.47, 5.49，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间5.43, 5.47) 内的个数为（） A. 10B. 18C. 20D. 362.（2020全国卷文 3）设一组样本数据 x1，x2，xn 的方差为 0.01，则数据 10x1，10x2，10xn 的方差为（） A. 0.01B. 0.1C. 1D. 1043.（2020全国卷理 3）在一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频
2、率分别为 p1, p2, p3, p4 ，且 pi = 1 ，i =1则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（） A. p1 = p4 = 0.1, p2 = p3 = 0.4C. p1 = p4 = 0.2, p2 = p3 = 0.3B. p1 = p4 = 0.4, p2 = p3 = 0.1D. p1 = p4 = 0.3, p2 = p3 = 0.24.（2020全国卷理 5、文 5）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x（单位：C）的关系，在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi , yi )(i = 1, 2, 20) 得到下面
3、的散点图： 由此散点图，在 10C 至 40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的是（） A. y = a + bxB. y = a + bx2C. y = a + bexD. y = a + b ln x5.（2020山东 5、海南 5）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（） A. 62%B. 56%C. 46%D. 42%6.（2020全国卷文 4）设 O 为正方形 ABCD 的中心，在 O，A，B，C，D 中任取
4、 3 点，则取到的 3 点共线的概率为（） 12A. C. B. 5514 D. 257.（2020海南 9）（多选）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续 11 天复工复产指数折线图考察折线图（大致图形）A. 这 11 天复工指数和复产指数均逐日增加B. 这 11 天期间，复产指数增量大于复工指数的增量C. 第 3 天第 11 天复工复产指数均增大都超过 80%D. 第 9 天第 11 天至复产指数增量大于复工指数的增量8.（2020江苏 3）已知一组数据4, 2a, 3 - a, 5, 6 的平均数为 4，则a 的值是 .9.（2020江苏 4）将一颗质地均匀的正
5、方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的概率是 .110.（2020天津 13）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为21和假定两球是否落入盒子互不影响，3则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 11.（2020浙江 16）一个盒子里有 1 个红 1 个绿 2 个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为x ，则 P(x = 0) = ； E(x ) = 12.（2020全国卷文 17）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为 A，B，C， D 四个等级.加工业务约定：对于 A 级品、B 级品、C 级
6、品，厂家每件分别收取加工费 90 元，50 元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费 50 元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为 25 元/件，乙分厂加工成本费为 20 元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加等级 ABCD频数 40202020工了 100 件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 ABCD频数 28173421（1） 分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率； （2） 分别求甲、乙两分厂加工出来的 100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂
7、家应选哪个分厂承接加工业务?13.（2020山东 19、海南 19）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调2研，随机抽查了100 天空气中的PM2.5 和SO 浓度（单位： g/m3 ），得下表： SO2PM2.50, 50(50,150(150, 4750,3532184(35, 756812(75,1153710（1） 估计事件“该市一天空气中PM2.5 浓度不超过75 ，且SO2 浓度不超过150 ”的概率； （2） 根据所给数据，完成下面的2 2 列联表： SO2PM2.50,150(150, 4750, 75(75,115（3） 根据（2）中的列联表，判断是否
8、有99% 的把握认为该市一天空气中PM2.5 浓度与SO2 浓度有关？ 附： K 2n(ad - bc)2=， (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )P(K 2 k)0.0500.0100.001k3 8416.63510.82814.（2020全国卷理 18、文 18）某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次 空气质量等级 0，200(200，400(400，6001（优） 216252（良） 510123（轻度污染） 6784（中度污染） 720（1） 分别估计该市一天的空气质量等级
9、为 1，2，3，4 的概率； （2） 求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； 人次400人次400空气质量好 空气质量不好 （3） 若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3 或 4，则称这天“空气质量不好”根据所给数据，完成下面的 22 列联表，并根据列联表，判断是否有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 附： K 2n(ad - bc)2=， (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.
10、82815.（2020全国卷理 18、文 18）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，20)，其中 xi 和 yi 分别表示第 i 个样区的2020植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得 xi = 60 ， yi = 1200 ，i=1i=1202020（x - x )2 = 80 ， （y - y)2 = 9000 ， （x - x（)y - y) = 800 .ii=1ii=1ii
11、i=1（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）； （2）求样本(xi，yi)(i=1，2，20)的相关系数（精确到 0.01）； （3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数 r=n（xi - x（)i=1yi - y )，1.414.16.（2020全国卷理 19）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰； 比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进
12、行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获1胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 2 ， （1） 求甲连胜四场的概率； （2） 求需要进行第五场比赛的概率； （3） 求丙最终获胜的概率.17.（2020北京 18）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 200 人 400 人 300 人 100 人 方案二 350 人 250 人
13、150 人 250 人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立 （）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率； （）从该校全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 1 人，估计这 3 人中恰有 2 人支持方案一的概率； （）将该校学生支持方案的概率估计值记为 p0 ，假设该校年级有 500 名男生和 300 名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 p1 ，试比较 p0 与 p1 的大小（结论不要求证明） 18.（2020江苏 25）甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 n
14、次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 Xn，恰有 2 个黑球的概率为pn，恰有 1 个黑球的概率为 qn （1）求 p1q1 和 p2q2； （2） 求 2pn+qn 与 2pn-1+qn-1 的递推关系式和 Xn 的数学期望 E(Xn)(用 n 表示) 概率、统计参考答案1. 【答案】B【解析】根据直方图，直径落在区间5.43, 5.47) 之间的零件频率为： (6.25 + 5.00) 0.02 = 0.225 ， 则区间5.43, 5.47) 内零件的个数为： 80 0.225 = 18 .故选：B.2. 【答案】C【解析】因为数据axi + b，(i = 1, 2, n) 的方差是数据
15、xi，(i = 1, 2, n) 的方差的a2 倍， 所以所求数据方差为102 0.01=1 故选：C3. 【答案】B【解析】对于 A 选项，该组数据的平均数为 xA = (1+ 4) 0.1+ (2 + 3) 0.4 = 2.5 ， A方差为 s2 = (1- 2.5)2 0.1+ (2 - 2.5)2 0.4 + (3 - 2.5)2 0.4 + (4 - 2.5)2 0.1 = 0.65 ； 对于 B 选项，该组数据的平均数为 xB = (1+ 4) 0.4 + (2 + 3) 0.1 = 2.5 ， B方差为 s2 = (1- 2.5)2 0.4 + (2 - 2.5)2 0.1+ (
16、3 - 2.5)2 0.1+ (4 - 2.5)2 0.4 = 1.85 ； 对于 C 选项，该组数据的平均数为 xC = (1+ 4) 0.2 + (2 + 3) 0.3 = 2.5 ， C方差为 s2 = (1- 2.5)2 0.2 + (2 - 2.5)2 0.3 + (3 - 2.5)2 0.3 + (4 - 2.5)2 0.2 = 1.05 ； 对于 D 选项，该组数据的平均数为 xD = (1+ 4) 0.3 + (2 + 3) 0.2 = 2.5 ， D方差为 s2= (1- 2.5)2 0.3 + (2 - 2.5)2 0.2 + (3 - 2.5)2 0.2 + (4 - 2
17、.5)2 0.3 = 1.45 .因此，B 选项这一组 标准差最大. 故选：B.4. 【答案】D【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的是 y = a + b ln x . 故选：D.5. 【答案】C【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件 A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件 B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件 A + B ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 A B ， 则 P( A) = 0.6 ， P(B) = 0.82 ， P ( A + B) = 0.96 ， 所以 P( A B) = P(
18、A) + P(B) - P( A + B) = 0.6 + 0.82 - 0.96 = 0.46 所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46% .故选：C.6. 【答案】A【解析】如图，从O,A,B,C,D 5 个点中任取 3 个有 O, A, B,O, A,C,O, A, D,O, B, CO, B, D,O,C, D,A, B,C,A, B, DA,C, D,B,C, D 共10 种不同取法， 3 点共线只有A,O,C 与B,O, D共 2 种情况， 由古典概型的概率计算公式知， 21取到 3 点共线的概率为故选：A7. 【答案】CD=.1058. 【答案】2【解析】
19、数据4, 2a, 3 - a, 5, 6 的平均数为 4 4 + 2a + 3 - a + 5 + 6 = 20 ，即a = 2 .故答案为：2.19. 【答案】9【解析】根据题意可得基本事件数总为6 6 = 36 个.点数和为 5 的基本事件有(1, 4) ， (4,1) ， (2, 3) ， (3, 2) 共 4 个.41出现向上的点数和为 5 的概率为 P =.3691故答案为：.91210. 【答案】(1).6(2).31 1【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为,， 2 3且两球是否落入盒子互不影响， 所以甲、乙都落入盒子概率为=111，236111甲、乙两球都不落入盒子的概率为(1
20、 -) (1 - ) =，2332所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.312故答案为：；.63111.【答案】(1).(2). 131111【解析】因为x = 0 对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球， 所以 P(x = 0) =+=， 4433212111211随机变量x = 0,1, 2 ， P(x = 1) =+ +=， 111434324323P(x = 2) = 1-=， 111333所以 E(x ) = 0+1+ 2= 1 .333故答案为：1 ;1.34012. 【解析】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率为28100= 0.4 ，乙厂加工
21、出来的一件产品为 A 级品的概率为100= 0.28 ； （2）甲分厂加工100 件产品总利润为40(90 - 25) + 20(50 - 25) + 20(20 - 25) - 20(50 + 25) = 1500 元， 所以甲分厂加工100 件产品的平均利润为15 元每件； 乙分厂加工100 件产品的总利润为 28(90 - 20) +17 (50 - 20) + 34(20 - 20) - 21(50 + 20) = 1000 元， 所以乙分厂加工100 件产品的平均利润为10 元每件 故厂家选择甲分厂承接加工任务13. 【解析】（1）由表格可知，该市 100 天中，空气中的 PM 2.
22、5 浓度不超过 75，且SO2 浓度不超过 150 的天数有32 + 6 +18 + 8 = 64 天， 所以该市一天中，空气中的 PM 2.5 浓度不超过 75，且SO 浓度不超过 150 的概率为 64= 0.64 ； 2（2）由所给数据，可得2 2 列联表为： 100SO2PM 2.50,150(150, 475合计 0, 75641680(75,115101020合计 7426100（3） 根据2 2 列联表中的数据可得 K2 =n(ad - bc)2= 100(6410 -1610)23600=7.48446.635 ， (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )8
23、0 20 74 26481因为根据临界值表可知，有99% 的把握认为该市一天空气中 PM 2.5 浓度与SO2 浓度有关.14.【解析】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为2 +16 + 25100= 0.43 ，等级为2的概率为5 +10 +12100= 0.27 ，等级为3 的概率为6 + 7 + 8100= 0.21，等级为4 的概率为7 + 2 + 0100= 0.09 ； （2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100 20 + 300 35 + 500 45100= 350 （3） 2 2 列联表如下： 人次 400 人次 400 空气质量不
24、好 3337空气质量好 228()100 338 - 37 22 2K 2 = 5.820 3.841 ， 55 45 70 30因此，有95% 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.1 201i=115.【解析】（1）样区野生动物平均数为 20 yi = 20 1200 = 60 ， 地块数为 200，该地区这种野生动物的估计值为200 60 = 12000 （2）样本(xi, yi ) (i=1，2，20)的相关系数为 20(xi - x )( yi - y )800r = 0.94 3（3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性， 由于各
25、地块间植物覆盖面积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大， 采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性， 从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计. 1 416. 【解析】（1）记事件 M :甲连胜四场，则 P (M ) = 2 （2） 记事件 A 为甲输，事件 B 为乙输，事件C 为丙输， 则四局内结束比赛的概率为 = 1 ； 16 1 412P = P ( ABAB) + P ( ACAC ) + P ( BCBC ) + P ( BABA) = 4=， 4所以，需要进行第五场比赛的概率为 P = 1- P = 3 ； 4（3） 记事件 A
26、 为甲输，事件 B 为乙输，事件C 为丙输， 记事件 M :甲赢，记事件 N : 丙赢， 则甲赢的基本事件包括： BCBC 、 ABCBC 、 ACBCB 、 BABCC 、 BACBC 、 BCACB 、 BCABC 、 BCBAC ， 1 4所以，甲赢概率为 P (M ) = 2 1 5+ 7 2 = 9 .32由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 97所以丙赢的概率为 P ( N ) = 1- 2=.321617. 【解析】（）该校男生支持方案一的概率为30032001=， 200+4003该校女生支持方案一的概率为=； 300+1004（）3 人中恰有 2 人支持方案一分两种情况
27、，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一， 所以 3 人中恰有 2 人支持方案一概率为： (1)2 (1- 3) + C1(1)(1- 1) 3 = 13 ; （） p1 p0 34233 43618.（2020江苏 25）甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 Xn，恰有 2 个黑球的概率为pn，恰有 1 个黑球的概率为 qn （1）求 p1q1 和 p2q2； （2）求 2pn+qn 与 2pn-1+qn-1 的递推关系式和 Xn 的
28、数学期望 E(Xn)(用 n 表示) 1 312 32【解析】（1） p1 = 3=, q1 =， 333 331 31 211227p2 = p1 3 3 +q1 3=+=， 2733339q = p 2 3 +q 11+ 2 2 + 0 = 2 2 + 2 5 = 16 213 313 33339271 31 212（2） pn = pn-1 +qn-1 =pn-1 +qn-1 ， 3 33 3392 311+ 2 23 212qn = pn-1 3 3 +qn-1 3 3+ (1- pn-1 - qn-1) 3 3 = - 9 qn-1+ 3 ， 212121因此2 pn + qn = 3 pn-1+ 3 qn-1 + 3 ， 11从而2 pn + qn = 3 (2 pn-1+qn-1) + 3 ,2 pn + qn -1 = 3 (2 pn-1+qn-1 -1)， 即 2 pn + qn -1 = (2 p1 +q1 -1) 3n-1 ,2 pn + qn = 1+ 3n .又 Xn 的分布列为 Xn012P1- pn - qnqnpn1故 E( Xn ) = 2 pn + qn = 1+ 3n .
