1、1.会利用绝对值的几何意义求解以下类型会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：的不等式：|ax+b|c;|ax+b|c;|x-a|+|x-b|c;|x-a|+|x-b|c.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式会解一元二次不等式.1.(2009全国卷全国卷)不等式不等式|1的解集为的解集为()A.x|0 x1 B.x|0 x1C.x|-1x0 D.x|x0D11xx （方法一方法一）由题意，知）由题意，知x1.|1|x+1|x-1|(x+1)2(x-1)2 x0.（方法
2、二方法二）排除法，取）排除法，取x=-2，不等式成立，不等式成立，排除排除A、B、C，选，选D.11xx2.不等式不等式|3x-4|2的整数解的个数为的整数解的个数为()BA.0 B.1 C.2 D.大于大于2由由|3x-4|2，得，得-23x-42,即即 x0的解集为的解集为()CA.x|x0 B.x|-1x0C.x|0 x1 D.x|x1原不等式原不等式x(x-1)00 x0的解集是的解集是R，q:-1a0的解集是的解集是R等等价于价于4a2+4a0，即，即-1a0，故，故选选C.5.(2010广东潮州实验中学一模）广东潮州实验中学一模）若集合若集合A=x|ax2-ax+10=，则实数，则
3、实数a的取值的取值范围是范围是()DA.a|0a4 B.a|0a4C.a|00时时,相应二相应二次方程中的次方程中的=a2-4a0，得，得a|00)；|ax+b|c(c0).2.一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法一元一次不等式一元一次不等式axb(a0)的解集为：的解集为：（1）当）当a0时，解集为时，解集为 ；|a|+|b|a|+|b|-cax+bcax+bc或或ax+b-cx|x ba（2）当）当a0(a0)或或ax2+bx+c0)；（2）求出相应的一元二次方程的根（注意）求出相应的一元二次方程的根（注意0的情况的情况)；（3）利用二次函数的图象与）利用二次函数的图象与 确确定一元二
4、次不等式的解集定一元二次不等式的解集.x|x bax轴的交点轴的交点4.一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集判别式判别式=b2-4ac 0=0 0二次函数二次函数y=ax2+bx+c（aba；x|xx2或或xx1；x|x ；R；x|x1x8.这是一个含有两个绝对值符号的不这是一个含有两个绝对值符号的不等式，为了使其转化为不含绝对值等式，为了使其转化为不含绝对值符号的等式，要进行分类讨论符号的等式，要进行分类讨论.（方法一方法一）由代数式）由代数式|x+3|、|x-3|知，知，-3和和3把把实数集分为三个区间：实数集分为三个区间：x-3；-3x3；x3.当当x8，即，即x-4，此时不，此时不
5、等式的解集为等式的解集为x|x-4.当当-3x8，此时不等式无，此时不等式无解解.当当x3时，得时，得x+3+x-38，即，即x4，此时不等，此时不等式的解集为式的解集为x|x4.取式的并集得原不等式的解集为取式的并集得原不等式的解集为x|x4.（方法二方法二）不等式）不等式|x+3|+|x-3|8表示数轴表示数轴上与上与A（-3），），B（3）两点距离之和大）两点距离之和大于于8的点，而的点，而A、B两点距离为两点距离为6，因此，因此线段线段AB上每一点到上每一点到A、B的距离之和都的距离之和都等于等于6.如图甲所示，要找到与如图甲所示，要找到与A、B距离之和为距离之和为8的点，只需由点的点
6、，只需由点B向右移向右移1个单位长度个单位长度（这时距离之和增加（这时距离之和增加2个单位长度），个单位长度），即移到点即移到点B1（4），或由点），或由点A向左移向左移1个单位长度，即移到点个单位长度，即移到点A1（-4）.可以看出，数轴上点可以看出，数轴上点B1(4)向右的点或者向右的点或者点点A1(-4)向左的点到向左的点到A、B两点的距离两点的距离之和均大于之和均大于8.所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为x|x4.图甲图甲（方法三方法三）分别画出函数）分别画出函数y1=|x+3|+|x-3|和和y2=8的图象，如图乙所示的图象，如图乙所示.y1=-2x(x-3)6(-3xy2，只
7、需只需x4.所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为x|x4.图乙图乙（方法四方法四）如果我们将）如果我们将x看作一个从原点看作一个从原点出发的位置向量出发的位置向量z(即复数即复数z)，那么方程，那么方程|z+3|+|z-3|=8表示的就是一个以表示的就是一个以(3,0)为为焦点，以焦点，以4为长半轴的椭圆，而为长半轴的椭圆，而|z+3|+|z-3|8就表示椭圆的外部就表示椭圆的外部.而对于实数而对于实数x来来说，不等式说，不等式|x+3|+|x-3|8的解就是在的解就是在x轴轴上其椭圆长轴的两个端点的外部，即上其椭圆长轴的两个端点的外部，即x|x4.含绝对值不等式的解法：含绝对值不等式的解
8、法：（1）讨论法：讨论绝对值中的式子大）讨论法：讨论绝对值中的式子大于零还是小于零，然后去掉绝对值符于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式号，转化为一般不等式.适合解这类绝对值不等式：适合解这类绝对值不等式：|x-a|+|x-b|c或或|x-a|+|x-b|c.（2）等价变形：解绝对值不等式常用以下）等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形：等价变形：|x|a x2a2-ax0)；|x|a x2a2 xa或或x0)；一般有：一般有：|f(x)|g(x)-g(x)f(x)0)；|f(x)|g(x)f(x)g(x)或或f(x)0).(2009上海卷上海卷)不等式不等式|x-1|1的解
9、的解集是集是 .x|0 x2由由|x-1|1-1x-11 0 x2，故填故填x|0 x0的解集为的解集为x|xm或或xn(nm0.（1）证明：因为）证明：因为a2+(y1+y2)a+y1y2=0,所以所以(a+y1)(a+y2)=0，得，得y1=-a或或y2=-a.（2）证明：当）证明：当a0时，二次函数时，二次函数f(x)的图的图象开口向上，图象上的点象开口向上，图象上的点A、B的纵坐标的纵坐标至少有一个为至少有一个为-a，且小于零，所以图象，且小于零，所以图象与与x轴有两个交点轴有两个交点.当当a0的解集为的解集为x|xm或或xn(nm0)，可知，可知，m、n为方程为方程ax2+bx+c=
10、0的两根，的两根，即即am2+bm+c=0(m0)，从而从而c +b +a=0.同理同理,c +b +a=0,21m1m1n21n从而方程从而方程cx2+bx+a=0有两个根为有两个根为x1=，x2=,则方程则方程cx2-bx+a=0的两个根为的两个根为 x1=-，x2=-.因为因为nm0，所以，所以-0的解集为的解集为 x|x-或或x-.1m1n1m1n1m1n1m1n 一元二次不等式的求解步骤：一元二次不等式的求解步骤：(1)通过对不等式的变形，使不等式右边通过对不等式的变形，使不等式右边为零，左边二次项系数大于零；为零，左边二次项系数大于零；(2)计计算出相应二次方程的判别式；算出相应二
11、次方程的判别式；(3)求出求出相应一元二次方程的根相应一元二次方程的根(或判断相应方或判断相应方程没有实根程没有实根)；(4)根据根据(3)画正值的一画正值的一种情形种情形(当当x2的系数为负值时，可先化的系数为负值时，可先化成正值再来解决成正值再来解决)对于一元二次不等式的解集对于一元二次不等式的解集,有的有的 学生因为理解不够而死记硬背，常常将学生因为理解不够而死记硬背，常常将对应的二次不等式应该是空集还是实数对应的二次不等式应该是空集还是实数集相混淆，要解决这个问题，最好的办集相混淆，要解决这个问题，最好的办法就是将二次不等式与对应的二次方程、法就是将二次不等式与对应的二次方程、二次函数
12、的图象真正联系起来，时时注二次函数的图象真正联系起来，时时注意数形结合，这样就不会出现那样的错意数形结合，这样就不会出现那样的错误了，要注意真正理解不等式解的含义误了，要注意真正理解不等式解的含义.对于含有参数的不等式对于含有参数的不等式,在求解过程在求解过程 中，注意不要忽视对其中的参数进行中，注意不要忽视对其中的参数进行恰当地分类讨论，尤其是涉及形式上恰当地分类讨论，尤其是涉及形式上看似是二次不等式，而其中的二次项看似是二次不等式，而其中的二次项系数中又含有参变量时，往往需要针系数中又含有参变量时，往往需要针对这个系数是否为零进行分类讨论，对这个系数是否为零进行分类讨论，并且如果对应的二次
13、方程有两个不等并且如果对应的二次方程有两个不等的实根且根的表达式中又含有参变量的实根且根的表达式中又含有参变量时，还要再次针对这两根的大小进行时，还要再次针对这两根的大小进行分类讨论分类讨论.上述不等式不一定为一元二上述不等式不一定为一元二次不等式，当次不等式，当a=0时，为一元一次时，为一元一次不等式；当不等式；当a0时，为一元二次不时，为一元二次不等式，故应对等式，故应对a进行讨论，然后分进行讨论，然后分情况求解情况求解.(2010山东模拟）山东模拟）已知常数已知常数aR，解关于，解关于x的不等式的不等式ax2-2x+a0.（2）若）若a0时，时，=4-4a2.当当0时，即时，即0a1时，
14、时，方程方程ax2-2x+a=0的两根为的两根为 ，所以不等式的解集为所以不等式的解集为 x|x ;当当=0，即，即a=1时，时，x；当当1时，时，x.211 aa211 aa211 aa（3）若）若a0时，即时，即-1a0时，时，不等式的解集为不等式的解集为x|x ;当当=0时，即时，即a=-1时，不等式化为时，不等式化为(x+1)20，所以所以xR且且x-1;当当0，即，即a-1时，时，xR.综上所述，当综上所述，当a1时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为；当当0a1时，解集为时，解集为x|x0；当当-1a0时，解集为时，解集为x|x ；当当a=-1时，解集为时，解集为x|xR且且x-
15、1；当当a-1时，解集为时，解集为R.211 aa211 aa例例3 (2009重庆卷）重庆卷）不等式不等式|x+3|-|x-1|a2-3a对任意实数对任意实数x恒成立，则实恒成立，则实数数a的取值范围为（的取值范围为（）A.（-，-14，+)B.（-，-25，+)C.1，2D.（-，12，+）A 设函数设函数f(x)=|x+3|-|x-1|，则问，则问题等价于题等价于f(x)maxa2-3a，只要求出，只要求出函数函数f(x)的最大值，就将问题转化的最大值，就将问题转化成为关于成为关于a的一元二次不等式的解的一元二次不等式的解的问题的问题.其中，函数其中，函数f(x)的最大值可的最大值可以通
16、过把函数化为分段函数的方以通过把函数化为分段函数的方式解决式解决.（方法一方法一）设函数）设函数f(x)=|x+3|-|x-1|，则则 f(x)=-4(x-3)2x+2(-31).当当-3x1时，时，-4f(x)4，故函数，故函数f(x)的的最大值为最大值为4.只要只要a2-3a4，即，即(a+1)(a-4)0，所以所以a-1或或a4.故选故选A.（方法二方法二）求）求|x+3|-|x-1|的最值时，还可以的最值时，还可以利用绝对值不等式求解利用绝对值不等式求解.绝对值不等式是绝对值不等式是|a|-|b|a|-|b|ab|a|+|b|,只要利用其只要利用其中的中的|a|-|b|a-b|即可，即
17、可，令令a=x+3，b=x-1，代入上面不等式，代入上面不等式 即得即得|x+3|-|x-1|(x+3)-(x-1)|=4，即即|x+3|-|x-1|4，故故|x+3|-|x-1|的最大值为的最大值为4.以下同方法一以下同方法一.不等式恒成立问题是考查考生不等式恒成立问题是考查考生转化思想的良好素材，本题考查了一转化思想的良好素材，本题考查了一个带有绝对值的函数（实际上就是分个带有绝对值的函数（实际上就是分段函数）最大值的求法、一元二次不段函数）最大值的求法、一元二次不等式的解，是在两个重要知识点的交等式的解，是在两个重要知识点的交汇处命题汇处命题.某段城铁线路上依次有某段城铁线路上依次有A,
18、B,C三站，三站，AB=5km,BC=3km.在列车运行时刻表上，在列车运行时刻表上，规定列车规定列车8时整从时整从A站发车，站发车，8：07分到达分到达B站并停车站并停车1分钟，分钟，8：12分到达分到达C站站.在实在实际运行时，假设列车从际运行时，假设列车从A站正点发车，在站正点发车，在B站停留站停留1 min，并在行驶时以同一速度，并在行驶时以同一速度v km/h匀速行驶，列车从匀速行驶，列车从A站到达某站的时站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差为列车在该站的运行误差.本题主要考查解不等式等基本题主要考查解不等式等基本知
19、识，考查应用数学知识分析问本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力题和解决问题的能力.(1)分别写出列车在分别写出列车在B、C两站的运行误差两站的运行误差;(2)若要求列车在若要求列车在B、C两站的运行误差之两站的运行误差之和不超过和不超过2 min，求，求v的取值范围的取值范围.（1）列车在）列车在B、C两站的运行误差两站的运行误差(单位：单位：min)分别是分别是|-7|和和|-11|.（2）由于列车在）由于列车在B,C两站的运行误差之和不两站的运行误差之和不超过超过2 min，所以所以|-7|+|-11|2.(*)当当0v 时，时，(*)式变形为式变形为 -7+-112,解得解得
20、39v ；300v480v3007300v480v300v480v3007当当 v 时，时，(*)式变形为式变形为7-+-112，解得解得 时，时，(*)式变形为式变形为7-+11-2，解得解得 v .综上所述，综上所述，v的取值范围是的取值范围是39,.300v480v300730074801148011300v480v195448011480111954 本题考查了运用绝对值概念及本题考查了运用绝对值概念及不等式等知识的能力，解答时要先读不等式等知识的能力，解答时要先读懂题意，后根据题中条件构造函数模懂题意，后根据题中条件构造函数模型（建立不等式），在解不等式过程型（建立不等式），在解不等
21、式过程中利用分类讨论的方法去掉绝对值符中利用分类讨论的方法去掉绝对值符号是行之有效的方法号是行之有效的方法.1.含绝对值的不等式的解法，应紧扣绝含绝对值的不等式的解法，应紧扣绝对值的几何意义，能与平面向量、圆对值的几何意义，能与平面向量、圆锥曲线结合思考，解法就更妙了锥曲线结合思考，解法就更妙了.2.一元二次不等式应紧扣二次函数的图一元二次不等式应紧扣二次函数的图象，函数是统帅，图象是灵魂象，函数是统帅，图象是灵魂.分段去绝对值，转化为分段去绝对值，转化为三个不等式组求解三个不等式组求解.(2009福建卷福建卷)解不等式解不等式|2x-1|x|+1.当当x0时，原不等式可化为时，原不等式可化为
22、-2x+10,又因为又因为x0,所以所以x不存在不存在.学例1当当0 x 时，原不等式可化为时，原不等式可化为-2x+10,又因为又因为0 x ，所以，所以0 x .当当x 时，时，原不等式可化为原不等式可化为2x-1x+1，解得，解得x2,又因为又因为x ，所以，所以 x2.综上，原不等式的解集为综上，原不等式的解集为x|0 x2.121212121212 先将不等式等价地转化先将不等式等价地转化为为(ax-1)(x+1)0，然后根据，然后根据a的的不同取值进行分类讨论，与不不同取值进行分类讨论，与不等式的解集进行比较，确定等式的解集进行比较，确定a的值的值.(2009湖北卷湖北卷)已知关于已知关于x的不等的不等式式 0的解集是的解集是(-,-1)(,+),则则a=.学例211axx12-2 0 (ax-1)(x+1)0.又其解集为又其解集为(-,-1)(,+)，可知可知a0，故故(ax-1)(x+1)0.结合原不等式的解集，有结合原不等式的解集，有 =a=-2.故填故填-2.11axx121a1a12本节完，谢谢聆听
