1、一一.升次升次例例1.(2006年海南初赛年海南初赛)已知已知a,b是一元是一元二次方程的二次方程的 两个根两个根,则代数式则代数式 的值等于的值等于_.x 2-x-1=0 3a 2+2b 2-3a-2b 解：解：a，b是方程是方程 的两个根的两个根 x 2-x-1=0 a=a 2-1,b=b 2-1 原式=3a 2+2b 2-3(a 2-1)-2(b 2-1)=55二二.降次降次例例2.（江苏第（江苏第8届数学竞赛）已知届数学竞赛）已知，是方程是方程 的两根，的两根，求求 的值。的值。x 2-x-1=0 4+3 解：依题意，得解：依题意，得+=1，=-1 且且 2-1=0 2=+1，4=(+
2、1)2=3 +2 4+3 =(3 +2)+3 =3(+)+2=5 三三.配偶配偶例例3.(2001年黄冈中考年黄冈中考)已知已知,是方是方程程 的两个实数根的两个实数根,求求 的值的值.x 2+2x-7=0 2+3 2+4 解解:由已知由已知,得得+=-2,=-7 令令 两式相加两式相加,得得 2A=64,A=32即即 =32.2+2=(+)2-2 =18 2+3 2+4 =A,2+3 2+4 =B A+B=4(2+2)+4(+)=418+4(-2)=64 A-B=2(2-2)+4(-)=2(-)(+2)=0 2+3 2+4 四四.减元减元例例4.（2005年湖州市年湖州市“期望杯期望杯”数学
3、竞赛题）数学竞赛题）设设 是一元二次方程是一元二次方程的两根，则的两根，则 等于（等于（）A.-4 B.8 C.6 D.0 x 1,x 2 x 1 3-4x 2 2+19 x 2+x-3=0解：依题意，得解：依题意，得 且且 x 1+x 2=-1,即得 x 2=-x 1-1 x 1 2+x 1=3 x 1 3-4x 2 2+19=x 1 3-4x 1 2-8x 1+15 =x 1(x 1 2+x 1)-5x 1 2-8x 1+15 =-5x 1 2-5x 1+15 =-5(x 1 2+x 1)+15 =-53+15 =0D五五.正难则反正难则反例例5.若下列三个关于的方程：若下列三个关于的方程
4、：至少有一个方程有实数根，求实数至少有一个方程有实数根，求实数m的取值范围的取值范围.(1)x 2-2(m-1)x+m 2=0(2)x 2-2(m+1)x+m(m+3)=0(3)x 2+2mx+m 2-2m+4=0解：假设三个方程都没有实数根，则有解：假设三个方程都没有实数根，则有由由得得m，由，由得得m1，由，由得得m2，当当1m2时，三个方程都没有实数根时，三个方程都没有实数根故故 当当m2或或m1时，三个方程中至少有一个时，三个方程中至少有一个方程有实数根。方程有实数根。4(m-1)2-4m 2 0 4(m+1)2-4m(m+3)0 4m 2-4(m 2-2m+4)0 六六.巧用巧用ab
5、+a+b+1和和ab-a-b+1的因式分解的因式分解例例6.（第（第17届江苏初中数学竞赛题）求满足如下届江苏初中数学竞赛题）求满足如下条件的所有条件的所有k值：使关于值：使关于x的方程的方程的根都是整数。的根都是整数。kx 2+(k+1)x+(k-1)=0解：当解：当k=o时，原方程化为时，原方程化为x-1=0，x=1（符合题意）（符合题意）当当k0时，设方程的两个整数根分别为时，设方程的两个整数根分别为a，b(ab)，则有：，则有：a+b=1 ab=1-=1-，得，得ab-a-b=2 kk1k1kk1k1 即即 ab-a-b+1=3，（，（a+1）（）（b-1）=3.a,b是整数是整数 a
6、-1,b-1也是整数也是整数又又 ab a-1=3,b-1=1 或或 a-1=-1,b-1=-3 a=4,b=2或或a=0,b=-2.即即a+b=6,或或a+b=-2.ab-a-b=2七七.巧用结论巧用结论“当当a+b+c=0时，一元二次方时，一元二次方程程 必有一根是必有一根是1”例例7.(第第18届江苏初中数学竞赛题届江苏初中数学竞赛题)若关于若关于x的方程的方程 的根是正整数，的根是正整数，则整数则整数r的值可以是的值可以是_.ax 2+bx+c=0 rx 2-(2r+7)x+(r+7)=0解解:当当r=0时时,原方程化为原方程化为 7x+7=0,x=1(符合符合题意题意)当当r0时时,
7、r-(2r+7)+(r+7)=0 该方程必有一根是该方程必有一根是1,可设方程另一根为可设方程另一根为m,则有则有 m=1+,又又m为正整数为正整数,r=1或或7 所以当所以当r=0,1,7时时,原方程的根是正整数原方程的根是正整数.77r7r八八.反客为主反客为主例例8.(1998年香港数学竞赛题年香港数学竞赛题)求所有正整数求所有正整数a,使得方程使得方程 仅有整数根仅有整数根.x 2-ax+4a=0解解:设方程的两个整数根分别为设方程的两个整数根分别为,则则+=a,由此可知由此可知a为正整数为正整数 将方程将方程 中的视中的视x为常数为常数,视视a为未知数为未知数,方程可变为方程可变为 ，根据题意可知根据题意可知x-40,a为正整数为正整数,x=5,6,8,12,20 此时对应的此时对应的a值为值为 25,18,16,18,16.所有正整数所有正整数a的值为的值为25,18,16.x 2-ax+4a=0(x-4)a=x 2 a=x 2 x-4=x+4+16 x-4
