1、 专题十 几何变换综合题 类型类型一一 涉及一个动点的几何问题涉及一个动点的几何问题 (20172017广东)如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形 ABCO 是矩 形，点A，C的坐标分别是A(0，2)和C(2 3，0)，点D是对角线AC上一动点(不 与 A，C 重合)，连接 BD，作 DEDB，交 x 轴于点 E，以线段 DE，DB 为邻边作矩 形 BDEF. (1)填空：点 B 的坐标为_； (2)是否存在这样的点 D，使得DEC 是等腰三角形？若存在，请求出 AD 的长 度；若不存在，请说明理由； (3)求证：DE DB 3 3 ； 设 ADx，矩形 BDEF 的面积为 y，求 y
2、 关于 x 的函数关系式(可利用的结 论)，并求出 y 的最小值 【分析】 (1)求出 AB，BC 的长即可解决问题； (2)先推出ACO30，ACD60，由DEC 是等腰三角形，观察图象可 知，只有 EDEC，DCEEDC30，推出DBCBCD60，可得 DBC 是等边三角形，推出 DCBC2，由此即可解决问题； (3)先表示出 DN，BM，再判断出BMDDNE，即可得出结论； 作 DHAB 于 H.想办法用 x 表示 BD，DE 的长，构建二次函数即可解决问题。 【自主解答】 1 1(20192019中山模拟)如图，在矩形 ABCD 中，AB5，AD4，E 为 AD 边上一动 点(不与点
3、A 重合)，AFBE，垂足为 F，GFCF，交 AB 于点 G，连接 EG.设 AE x，SBEGy. (1)证明：AFGBFC； (2)求 y 与 x 的函数关系式，并求出 y 的最大值； (3)若BFC 为等腰三角形，请直接写出 x 的值 2 2(20192019威海)如图，在正方形 ABCD 中，AB10 cm，E 为对角线 BD 上一动 点，连接 AE，CE，过 E 点作 EFAE，交直线 BC 于点 F.E 点从 B 点出发，沿着 BD 方向以每秒 2 cm 的速度运动，当点 E 与点 D 重合时，运动停止，设BEF 的 面积为 y cm 2，E 点的运动时间为 x 秒 (1)求证：
4、CEEF； (2)求 y 与 x 之间关系的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围； (3)求BEF 面积的最大值 3 3(20192019霞山区一模)如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 B 坐标 为(4，6)，点 P 为线段 OA 上一动点(与点 O，A 不重合)，连接 CP，过点 P 作 PECP交AB于点D，且PEPC，过点P作PFOP且PFPO(点F在第一象限)， 连接 FD，BE，BF，设 OPt. (1)直接写出点 E 的坐标(用含 t 的代数式表示)：_； (2)四边形 BFDE 的面积记为 S，当 t 为何值时，S 有最小值，并求出最小值； (3)BDF 能否是
5、等腰直角三角形，若能，求出 t；若不能，请说明理由 类型类型二二 涉及两个动点的几何问题涉及两个动点的几何问题 (20182018广东)已知 RtOAB，OAB90，ABO30，斜边 OB4， 将 RtOAB 绕点 O 顺时针旋转 60，如图 1，连接 BC. (1)填空：OBC_； (2)如图 1，连接 AC，作 OPAC，垂足为 P，求 OP 的长度； (3)如图 2，点 M，N 同时从点 O 出发，在OCB 边上运动，M 沿 OCB 路径匀 速运动，N沿OBC路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动 速度为 1.5 单位/秒，点 N 的运动速度为 1 单位/秒，设运动时间为 x
6、 秒，OMN 的面积为 y，求当 x 为何值时 y 取得最大值？最大值为多少？ 【分析】 (1)只要证明OBC 是等边三角形即可； (2)求出AOC 的面积，利用三角形的面积公式计算即可； (3)分三种情形讨论求解即可解决问题：当 0x8 3时，M 在 OC 上运动，N 在 OB 上运动，此时过点 N 作 NEOC 且交 OC 于点 E.当8 3x4 时，M 在 BC 上运 动，N 在 OB 上运动当 4x4.8 时，M，N 都在 BC 上运动，作 OGBC 于 G. 【自主解答】 4 4(20192019青岛)已知：如图，在四边形ABCD 中，ABCD，ACB90，AB 10 cm，BC8
7、cm，OD 垂直平分 AC.点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速 度为 1 cm/s；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1 cm/s； 当一个点停止运动，另一个点也停止运动过点 P 作 PEAB，交 BC 于点 E，过 点 Q 作 QFAC，分别交 AD，OD 于点 F，G.连接 OP，EG.设运动时间为 t(s)(0 t5)，解答下列问题： (1)当 t 为何值时，点 E 在BAC 的平分线上？ (2)设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2)，求 S 与 t 的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存
8、在， 求出 t 的值；若不存在，请说明理由； (4)连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OEOQ？若存在，求 出 t 的值；若不存在，请说明理由 类型类型三三 涉及动线、动图的几何问题涉及动线、动图的几何问题 (20162016广东)如图，BD 是正方形 ABCD 的对角线，BC2，边 BC 在其所在 的直线上平移，将通过平移得到的线段记为 PQ，连接 PA，QD，并过点 Q 作 QOBD，垂足为 O，连接 OA，OP. (1)请直接写出线段 BC 在平移过程中，四边形 APQD 是什么四边形？ (2)请判断 OA，OP 之间的数量关系和位置关系，并加以证明； (3)在平移变换
9、过程中，设 ySOPB，BPx(0x2)，求 y 与 x 之间的函数关 系式，并求出 y 的最大值 【分析】 (1)根据平移的性质，可得 PQ，根据一组对边平行且相等的四边形是 平行四边形，可得答案； (2)根据正方形的性质，平移的性质，可得 PQ 与 AB 的关系，根据等腰直角三角 形的性质与判定，可得PQO，根据全等三角形的性质与判定，可得 AO 与 OP 的 数量关系，根据余角的性质，可得 AO 与 OP 的位置关系； (3)根据等腰直角三角形的性质，可得 OE 的长，根据三角形的面积公式，可得 二次函数，根据二次函数的性质，可得到答案 【自主解答】 5 5(20192019广东模拟)如
10、图 1，在平面直角坐标系中，点 A(0，6)，点 B(6， 0)RtCDE中，CDE90，CD4，DE4 3，直角边CD在y轴上，且点C 与点 A 重合RtCDE 沿 y 轴正方向平行移动，当点 C 运动到点 O 时停止运 动解答下列问题： (1)如图 2，当 RtCDE 运动到点 D 与点 O 重合时，设 CE 交 AB 于点 M，求BME 的度数 (2)如图 3，在 RtCDE 的运动过程中，当 CE 经过点 B 时，求 BC 的长 (3)在 RtCDE 的运动过程中，设 ACh，OAB 与CDE 的重叠部分的面积为 S，请写出 S 与 h 之间的函数关系式，并求出面积 S 的最大值 6
11、6(20192019普宁模拟)如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的边 AB 在 x 轴 上，点 B 坐标(6，0)，点 C 在 y 轴正半轴上，且 cos B3 5，动点 P 从点 C 出 发，以每秒一个单位长度的速度向D点移动(P点到达D点时停止运动)，移动时 间为 t 秒，过点 P 作平行于 y 轴的直线 l 与菱形的其他边交于点 Q. (1)求点 D 坐标； (2)求OPQ 的面积 S 关于 t 的函数关系式，并求出 S 的最大值； (3)在直线 l 移动过程中，是否存在 t 值，使 S 3 20S 菱形 ABCD？若存在，求出 t 的 值；若不存在，请说明理由 参考答案 类型一
12、 【例 1 1】 (1)(2 3，2) 提示：四边形 AOCB 是矩形， BCOA2，OCAB2 3，BCOBAO90， B(2 3，2) (2)存在理由如下： OA2，OC2 3，tanACOAO OC 3 3 ， ACO30，ACB60. 如图，当 E 在线段 CO 上时，DEC 是等腰三角形，观察图象可知，只有 ED EC， DCEEDC30， DBCBCD60， DBC 是等边三角形， DCBC2. 在 RtAOC 中，ACO30，OA2， AC2AO4， ADACCD422， 当 AD2 时，DEC 是等腰三角形 如图，当 E 在 OC 的延长线上时，DCE 是等腰三角形，只有 CD
13、CE，DBC DECCDE15， ABDADB75， ABAD2 3. 综上所述，满足条件的 AD 的值为 2 或 2 3. (3)如图，过点 D 作 MNAB 交 AB 于 M，交 OC 于 N. A(0，2)和 C(2 3，0)， 直线 AC 的表达式为 y 3 3 x2. 设 D(a， 3 3 a2)， DN 3 3 a2，BM2 3a. BDE90， BDMNDE90，BDMDBM90， DBMEDN. BMDDNE90，BMDDNE， DE BD DN BM 3 3 a2 2 3a 3 3 . 如图，作 DHAB 于 H. 在 RtADH 中，ADx，DAHACO30， DH1 2A
14、D 1 2x，AH AD 2DH2 3 2 x， BH2 3 3 2 x， 在 RtBDH 中， BD DH 2BH2 （1 2x） 2（2 3 3 2 x） 2， DE 3 3 BD 3 3 （1 2x） 2（2 3 3 2 x） 2， 矩形 BDEF 的面积为 y 3 3 (1 2x 2)(2 3 3 2 x 2)， 即 y 3 3 (x3) 2 3. 3 3 0， x3 时，y 有最小值 3. 跟踪训练 1(1)证明：在矩形 ABCD 中，ABC90， ABFFBC90. AFBE，AFB90， ABFGAF90，GAFFBC. FGFC，GFC90， AFBGFC，AFBGFBGFCG
15、FB， 即AFGBFC，AFGBFC. (2)解：由(1)得AFGBFC， AG BC AF BF. 在 RtABF 中，tanABFAF BF， 在 RtEAB 中，tanEBAEA AB， AF BF EA AB， AG BC EA AB. BCAD4，AB5，AGEABC AB 4x 5 ， BGABAG54 5x， y1 2BGAE 1 2(5 4 5x)x 2 5x 25 2x 2 5(x 25 8 ) 2125 32 ， y 的最大值为125 32 . (3)解：BFC 为等腰三角形， 当 FCFB 时，如图，过点 F 作 FHBC 于 H，过点 F 作 FPAB 于 P， BHC
16、H1 2BC2，四边形 BHFP 是矩形， FPBH2. 在 RtBPF 中，tanPBFFP PB 2 PB， 在 RtAPF 中，tanAFPAP FP AP 2 . AFPPAF90，PBFPAF90， PBFPFA， 2 PB AP 2 . APPBAB5，AP5PB， 2 PB 5PB 2 ， PB4 或 PB1(舍) PFAE，PBFABE， PB AB FP AE， 4 5 2 AE，xAE 5 2. 当 BFBC4 时， 在 RtABF 中，AF AB 2BF23， 易得AEFBAF， AE AB AF BF， AE 5 3 4，xAE 15 4 . 当 FCBC4 时，如图，
17、连接 CG， 在 RtCFG 和 RtCBG 中， CGCG， CFCB， RtCFGRtCBG，FGBG. ABF 是直角三角形，点 G 是 AB 的中点， AGBG1 2AB 5 2. 由(2)知 AG4 5x， 4 5x 5 2，x 25 8 . 即 x 的值为5 2， 25 8 或15 4 . 2(1)证明：如图，过点 E 作 MNAB，交 AD 于 M，交 BC 于 N， 四边形 ABCD 是正方形，ADBC，ABAD， MNAD，MNBC， AMEFNE90NFEFEN. AEEF，AEFAEMFEN90， AEMNFE. DBC45，BNE90， BNENAM，AEMEFN(AA
18、S)， AEEF. 四边形 ABCD 是正方形，ADCD，ADECDE. DEDE，ADECDE(SAS)， AECEEF. (2)解：在 RtBCD 中，由勾股定理得 BD 10 210210 2， 0x5 2， 由题意得 BE2x， BNEN 2x， 由(1)知 AEEFEC，分两种情况： 当 0x5 2 2 时， ABMN10，MEFN10 2x， BFFNBN10 2x 2x102 2x， y1 2BFEN 1 2(102 2x) 2x2x 25 2x(0x5 2)； 当5 2 2 5 2 4 时，y 随 x 的增大而增大， 当 x5 2时，y 有最大值 50. 即BEF 面积的最大值
19、是 50. 3解：(1)(t6，t) (2)如图，连接 EF，过点 E 作 EGx 轴于点 G. DAEG， PADPGE， AD GE PA PG， AD t 4t 6 ， AD1 6t(4t)， BDABAD61 6t(4t) 1 6t 22 3t6. EGx 轴，FPx 轴，且 EGFP， 四边形 EGPF 为矩形，EFBD，EFPG， S四边形 BEDFSBDFSBDE1 2BDEF 1 2( 1 6t 22 3t6)6 1 2(t2) 216， 当 t2 时，S 有最小值是，最小值为 16. (3)假设FBD 为直角，则点 F 在直线 BC 上 PFOPAB， 点 F 不可能在 BC
20、 上，即FBD 不可能为直角； 假设FDB 为直角，则点 D 在 EF 上 点 D 在矩形的对角线 PE 上， 点 D 不可能在 EF 上，即FDB 不可能为直角； 假设BFD 为直角，且 FBFD，则FBDFDB45. 如图，作 FHBD 于点 H， 则 FHPA，即 4t6t，方程无解， 假设不成立，即BDF 不可能是等腰直角三角形 类型二 【例 2 2】 (1)60 (2)OB4，ABO30， OA1 2OB2，AB 3OA2 3， SAOC1 2OAAB 1 222 32 3. BOC 是等边三角形， OBC60，ABCABOOBC90， AC AB 2BC22 7， OP2S AOC
21、 AC 4 3 2 7 2 21 7 . (3)当 0x8 3时，M 在 OC 上运动，N 在 OB 上运动如图，过点 N 作 NEOC 且交 OC 于点 E， 则 NEONsin 60 3 2 x， y1 2OMNE 1 21.5x 3 2 x3 3 8 x 2， x8 3时，y 有最大值，最大值为 8 3 3 . 当8 3x4 时，M 在 BC 上运动，N 在 OB 上运动 如图，作 MHOB 于 H，则 BM81.5x， MHBMsin 60 3 2 (81.5x)， y1 2ONMH 3 3 8 x 2 2 3x. 当 x8 3时，y 取最大值， y8 3 3 . 当 4x4.8 时，
22、M，N 都在 BC 上运动，如图，作 OGBC 于 G. MN122.5x，OGAB2 3， y1 2MNOG12 3 5 3 2 x， 当 x4 时，y 有最大值，y2 3. 综上所述，y 有最大值，最大值为8 3 3 . 跟踪训练 4解：(1)在 RtABC 中， AB10，BC8，ACB90， AC6，tan BPE PB 6 8， PE3t 4 ，cos BBP BE 8 10， BE5t 4 . BC8，EC85t 4 . 当点 E 在BAC 的平分线上时， PEEC，即3t 4 85t 4 ， t4，当 t 为 4 秒时，点 E 在BAC 的平分线上 (2)如图，作 PHAC 于
23、H，则APHABC， AP AB PH BC， 即10t 10 PH 8 ， PH404t 5 . ABCD，FQAC， ACDBACGQD， ABCCDO，DGQDOCBCA， AC BC OC DO， DG DO GQ OC DQ DC. O 为 AC 的中点，OC3，OD4，CD5. DQt，DG4 5t，GQ 3 5t， SS四边形 ABCDSAOPSAODSBPES梯形 ECDG 1 286 1 264 1 23 404t 5 1 234 1 2t 3t 4 1 23( 4t 5 85t 4 ) 3 8t 215 8 t6(0t5) (3)S3 8t 215 8 t6(0t5)，3
24、80， t b 2a 15 8 （3 8）2 5 2. 05 25，存在 t 5 2. (4)假设存在 如图，EOCCOQ90，GOQCOQ90， EOCGOQ， RtEOCRtQOG，EC QG OC OG， 即 85 4t 3 5t 3 44 5t ， 化简为 t 213.2t320， 即(t10)(t3.2)0， t110(舍)，t23.2，存在 t3.2 时，使 OEOQ. 类型三 【例 3 3】 (1)四边形 APQD 为平行四边形 (2)OAOP，OAOP. 理由如下： 四边形 ABCD 是正方形， ABBCPQ，ABOOBQ45. OQBD，PQO45， ABOOBQPQO45，
25、OBOQ. 在AOB 和POQ 中， ABPQ， ABOPQO， BOQO， AOBPOQ(SAS)，OAOP，AOBPOQ， AOPBOQ90，OAOP. (3)如图，过 O 作 OEBC 于 E. 如图，当 P 点在 B 点右侧时， 则 BQx2，OEx2 2 ， y1 2 x2 2 x，即 y1 4(x1) 21 4. 又0x2，当 x2 时，y 有最大值为 2. 如图，当 P 点在 B 点左侧时， 则 BQ2x，OE2x 2 ， y1 2 2x 2 x，即 y1 4(x1) 21 4. 又0x2， 当 x1 时，y 有最大值为1 4. 综上所述，当 x2 时，y 有最大值为 2. 跟踪
26、训练 5解：(1)在平面直角坐标系中，点 A(0，6)，点 B(6，0) OAOB，OAB45. CDE90，CD4，DE4 3， OCE60，CMAOCEOAB 604515， BMECMA15. (2)CDE90，CD4，DE4 3， OBCDEC30. OB6，BC4 3. (3)h2 时，如图，作 MNy 轴交 y 轴于点 N，作 MFDE 交 DE 于点 F. CD4，DE4 3，ACh，ANNM， CN4FM，ANMN4hFM. CMNCED，CN CD MN DE， 4FM 4 4hFM 4 3 ， 解得 FM4 31 2 h， SSEDCSEGM1 244 3 1 2(4 34
27、h)(4 31 2 h) 31 4 h 24h 8， S最大15 3. 当 2h62 3时， SSAOBSACM1 266 1 2h(h 31 2 h)183 3 4 h 2， S最大15 3. 如图，当 62 3h6 时， SSOBC1 2OB 3OC 3 2 (6h) 2， S最大6 3. 6解：(1)在 RtBOC 中，BOC90，OB6， cos B3 5， BC OB cos B10，OC BC 2OB28. 四边形 ABCD 为菱形，CDx 轴， 点 D 的坐标为(10，8) (2)ABBC10，点 B 的坐标为(6，0)， 点 A 的坐标为(4，0) 分两种情况考虑，如图所示 当
28、 0t4 时，PQOC8，OQt， S1 2PQOQ4t. 40，当 t4 时，S 取得最大值，最大值为 16； 当 4t10 时，设直线 AD 的表达式为 ykxb(k0)， 将 A(4，0)，D(10，8)代入 ykxb 得 4kb0， 10kb8，解得 k4 3， b16 3 ， 直线 AD 的表达式为 y4 3x 16 3 . 当 xt 时，y4 3t 16 3 ， PQ8(4 3t 16 3 )4 3(10t)， S1 2PQt 2 3t 220 3 t. S2 3t 220 3 t2 3(t5) 250 3 ，2 30， 当 t5 时，S 取得最大值，最大值为50 3 . 综上所述，S 关于 t 的函数关系式为 S 4t（0t4）， 2 3t 220 3 t（4t10）， S 的最大值为50 3 . (3)S菱形 ABCDABOC80. 当 0t4 时，4t12， 解得 t3； 当 4t10 时，2 3t 220 3 t12， 解得 t15 7(舍去)，t25 7. 综上所述，在直线 l 移动过程中，存在 t 值，使 S 3 20S 菱形 ABCD，t 的值为 3 或 5 7.
