1、中物理 铅垂法求面积最值铅垂法求面积最值 学易同步精品课堂学易同步精品课堂 【问题描述】在平面直角坐标系中，已知1,1A、7,3B、4,7C，求ABC的面积 A B C x y O 【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样： D E F O y x C B A 构造矩形ADEF，用矩形面积减去三个三角形面积即可得ABC面积 D E F O y x C B A = + = 1 2 + 1 2 = 1 2 + 此处AE+AF即为A、B两点之间的水平距离 这是在“补”，同样可以采用“割”： 由题意得：AE+BF=6 = + = 1 2 + 1 2 = 1
2、2 + 此处AE+AF即为A、B两点之间的水平距离 然后求CD： 根据A、B两点坐标求得直线AB解析式为： 由点C坐标（4,7）可得D点横坐标为4， 12 33 yx D E F O y x C B A 【方法总结】 作以下定义： A、B两点之间的水平距离称为“水平宽”； 过点C作x轴的垂线与AB交点为D，线段CD即为AB边的“铅垂高” 如图可得： = 2 ABC S 水平宽 铅垂高 铅 垂 高 水平宽 D A B C x y O E 【解题步骤】 （1）求A、B两点水平距离，即水平宽； （2）过点C作x轴垂线与AB交于点D，可得点D横坐标同点C； （3）求直线AB解析式并代入点D横坐标，得点
3、D纵坐标； （4）根据C、D坐标求得铅垂高； （5）利用公式求得三角形面积 【2019 海南中考（删减） 】 如图，已知抛物线 2 5yaxbx经过( 5,0)A ，( 4, 3)B 两点，与x轴的另一个交点为C （1）求该抛物线的表达式； （2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合） ，设点P的横坐标为t当点P在直线 BC的下方运动时，求PBC的面积的最大值 x y A B C O P 【分析】 （1） 2 65yxx， （2）取 BC 两点之间的水平距离为水平宽，过点 P 作 PQx 轴交直线 BC于点 Q，则 PQ 即为铅垂高 根据 A、C 两点坐标得 AC=4， 根据 B、C 两点
4、坐标得直线 BC 解析式：y=x+1， 设 P 点坐标为（m，m +6m+5） ，则点 Q（m，m+1） ， 得 PQ=-m -5m-4， 考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积就最大 当 5 2 时，BCP 面积最大，最大值为 27 8 Q P O C B A y x 【小结】选两个定点作水平宽，设另外一个动点坐标来表示铅垂高 【思考】如果第3个点的位置不像上图一般在两定点之间，如何求面积？ 铅垂法其实就是在割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，能求出其 对应的铅垂高！因此，动点若不在两定点之间，方法类似： 【铅垂法大全】 （1）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD 水平宽 铅 垂
5、 高 D O y x C B A （2）取AC作水平宽，过点B作BDx轴交直线AC于点D，BD即对应的铅垂高， = = 水平宽 铅垂高 2 D 铅 垂 高 水平宽 A B C x y O （3）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD D 水平宽 铅 垂 高 A B C x y O 甚至，还可以横竖互换，在竖直方向作水平宽，在水平方向作铅垂高 （4）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD 水 平 宽 铅垂高 D A B C x y O （5）取AC作水平宽，过点B作铅垂高BD 铅垂高 水 平 宽 D A B C x y O （6）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD D 水 平 宽 铅垂高 O y x C
6、 B A 说这么多做法也不是要记住的，基本上从（3）开始往后都是用不上的，用以帮 助我们了解铅垂法的解题原理，再来看个例子巩固下 【2019 绵阳中考】 在平面直角坐标系中，将二次函数 2 (0)yax a的图像向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位， 得到如图所示的抛物线， 该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧） ，1OA， 经过点A的一次函数(0)ykxb k的图像与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个 交点为D，ABD的面积为 5 （1）求抛物线和一次函数的解析式； （2） 抛物线上的动点E在一次函数的图像下方， 求ACE面积的最大值， 并求出此时点E的 坐标 E D C
7、 B A y x 【分析】 （1）抛物线解析式： 2 13 22 yxx； 一次函数解析式： 11 22 yx （2）显然，当ACE 面积最大时，点 E 并不在 AC之间 已知 A（-1,0） 、 1 0, 2 C ， 设点 E 坐标为 2 13 , 22 mmm ，过点 E 作 EFx 轴交直线 AD 于 F 点， F 点横坐标为 m，代入一次函数解析式得 11 , 22 mm 可得 2 13 2 22 EFmm 考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积最大 F E D C B A y x 1 既然都是固定的算法，那就可以总结一点小小的结论了， 对坐标系中已知三点 11 ,A x y、 22 ,B x y、 33 ,C x y， 按铅垂法思路，可得： 122331213213 1 2 ABC Sx yx yx yx yx yx y 如果能记住也不要直接用，可以当做是检验的方法咯 【总结】 铅垂法是求三角形面积的一种常用方法， 尤其适用于二次函数大题中的三角形面积 最值问题，弄明白方法原理，熟练方法步骤，加以练习，面积最值问题轻轻松松 THANKS “ ”
