1、 中考数学几何模型 7：轴对称最值模型 名师点睛 拨开云雾 开门见山 B Q D AA P B C 典题探究 启迪思维 探究重点 例题例题 1. 如图，在矩形 ABCD 中，AB10，AD6，动点 P 满足 SPABS矩形ABCD，则点 P 到 A，B 两点距 离之和 PA+PB 的最小值为 2 【解答】解：设ABP 中 AB 边上的高是 h SPABS矩形ABCD， ABhABAD， hAD4， 动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的直线 l 上，如图，作 A 关于直线 l 的对称点 E，连接 AE，连 接 BE，则 BE 的长就是所求的最短距离 在 RtABE 中，AB10
2、，AE4+48， BE2， 即 PA+PB 的最小值为 2 故答案为：2 变式练习变式练习 1如图 RtABC 和等腰ACD 以 AC 为公共边，其中ACB90，ADCD，且满足 ADAB，过点 D 作 DEAC 于点 F，DE 交 AB 于点 E，已知 AB5，BC3，P 是射线 DE 上的动点，当PBC 的周长 取得最小值时，DP 的值为（ ） A B C D 【解答】解：连接 PB、PC、PA， 要使得PBC 的周长最小，只要 PB+PC 最小即可， PB+PCPA+PBAB， 当 P 与 E 重合时，PA+PB 最小， ADCD，DEAC， AFCF， ACB90， EFBC， AEB
3、EAB2.5， EFBC1.5， ADAB， AEFDEA， ， DE， 故选：B 例题例题 2. 如图所示，凸四边形 ABCD 中，A90，C90，D60，AD3，AB，若点 M、 N 分别为边 CD，AD 上的动点，求BMN 的周长的最小值. 【解答】解：作点 B 关于 CD、AD 的对称点分别为点 B和点 B， 连接 BB交 DC 和 AD 于点 M 和点 N，DB，连接 MB、NB； 再 DC 和 AD 上分别取一动点 M和 N（不同于点 M 和 N）， 连接 MB，MB，NB 和 NB，如图 1 所示： BBMB+MN+NB， BMBM，BNBN， BM+MN+BNBB， 又BBBM
4、+MN+NB， MBMB，NBNB， NB+NM+BMBM+MN+BN， CBMNNB+NM+BM 时周长最小； 连接 DB，过点 B作 BHDB于 BD 的延长线于点 H， 如图示 2 所示： 在 RtABD 中，AD3，AB， 2， 230， 530，DBDB， 又ADC1+260， 130， 730，DBDB， BDB1+2+5+7120， DBDBDB2， 又BDB+6180， 660， HD，HB3， 在 RtBHB中，由勾股定理得： 6 CBMNNB+NM+BM6， 变式练习变式练习 2如图，点 P 是AOB 内任意一点，且AOB40，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 O
5、B 上的动点， 当PMN 周长取最小值时，则MPN 的度数为（ ） A140 B100 C50 D40 【解答】解：分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 P1、P2， 连接 P1P2，交 OA 于 M，交 OB 于 N，则 OP1OPOP2，OP1MMPO，NPONP2O， 根据轴对称的性质，可得 MPP1M，PNP2N，则 PMN 的周长的最小值P1P2， P1OP22AOB80， 等腰OP1P2中，OP1P2+OP2P1100， MPNOPM+OPNOP1M+OP2N100， 故选：B 例题例题 3. 如图，在ABC 中，C90，CBCA4，A 的平分线交 BC 于点 D，若点 P、Q
6、 分别是 AC 和 AD 上的动点，则 CQ+PQ 的最小值是 2 【解答】解：如图，作点 P 关于直线 AD 的对称点 P，连接 CP交 AD 于点 Q，则 CQ+PQCQ+PQCP 根据对称的性质知APQAPQ， PAQPAQ 又AD 是A 的平分线，点 P 在 AC 边上，点 Q 在直线 AD 上， PAQBAQ，PAQBAQ，点 P在边 AB 上 当 CPAB 时，线段 CP最短 在ABC 中，C90，CBCA4， AB4，且当点 P是斜边 AB 的中点时，CPAB， 此时 CPAB2，即 CQ+PQ 的最小值是 2 故填：2 变式练习变式练习 3如图，已知等边ABC 的面积为 4，P
7、、Q、R 分别为边 AB、BC、AC 上的动点，则 PR+QR 的最小 值是（ ） A3 B2 C D4 【解答】解：如图，作ABC 关于 AC 对称的ACD，点 E 与点 Q 关于 AC 对称，连接 ER，则 QRER， 当点 E，R，P 在同一直线上，且 PEAB 时，PR+QR 的最小值是 PE 的长， 设等边ABC 的边长为 x，则高为x， 等边ABC 的面积为 4， xx4，解得 x4， 等边ABC 的高为x2， 即 PE2，故选：B 例题例题 4. 如图，MON30，A 在 OM 上，OA2，D 在 ON 上，OD4，C 是 OM 上任意一点，B 是 ON 上任意一点，则 折线 A
8、BCD 的最短长度为 2 【解答】解：作 D 关于 OM 的对称点 D，作 A 作关于 ON 的对称点 A，连接 AD与 OM，ON 的交点就是 C，B 二 点 此时 AB+BC+CDAB+BC+CDAD为最短距离 连接 DD，AA，OA，OD OAOA，AOA60， OAAOAA60， ODD是等边三角形 同理OAA也是等边三角形 ODOD4，OAOA2， DOA90 AD2 变式练习变式练习 4. 如图，在长方形 ABCD 中，O 为对角线 AC 的中点，P 是 AB 上任意一点，Q 是 OC 上任意一点，已知： AC2，BC1 （1）求折线 OPQB 的长的最小值； （2）当折线 OPQ
9、B 的长最小时，试确定 Q 的位置 【解答】解：（1）作点 B 关于 AC 的对称点 B，作点 O 关于 AB 的对称点 O， 连接 AB，QB，AO，PO，BO，则 QBQB，OPOP， 折线 OPQB 的长OP+PQ+QBOP+PQ+QB， 折线 OPQB 的长的最小值BO 在长方形 ABCD 中，ABC90， 在ABC 中，AC2，BC1，ABC90， BAC30， 点 B、B关于 AC 对称，点 O、O关于 AB 对称， BAC30，ABAB， OAB30，AOAO1， BAO90， BO， 折线 OPQB 的长的最小值2； （2）设 BO交 AC 于点 Q， 在 RtAOB中，AO1
10、，BO2， ABO30，则AOB60， 在AOQ中，QAOQAB+BAO60， AOQ是等边三角形， AQAO1AO， 点 Q就是 AC 的中点 O 当折线 OPQB 的长最小时，点 Q 在 AC 的中点 例题例题 5. 如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC8，E 为 CD 的中点，点 P、Q 为 BC 上两个动点，且 PQ3， 当 CQ 时，四边形 APQE 的周长最小 【解答】解：点 A 向右平移 3 个单位到 M，点 E 关于 BC 的对称点 F，连接 MF，交 BC 于 Q， 此时 MQ+EQ 最小， PQ3，DECE2，AE2， 要使四边形 APQE 的周长最小，只要 AP+EQ
11、最小就行， 即 AP+EQMQ+EQ，过 M 作 MNBC 于 N， 设 CQx，则 NQ83x5x， MNQFCQ， MNAB4，CFCE2，CQx，QN5x， 解得：x，则 CQ 故答案为： 变式练习变式练习 5如图，已知 A（3，1）与 B（1，0），PQ 是直线 yx 上的一条动线段且 PQ（Q 在 P 的下方）， 当 AP+PQ+QB 最小时，Q 点坐标为（ ） A（，） B（，） C（0，0） D（1，1） 【解答】解：作点 B 关于直线 yx 的对称点 B（0，1），过点 A 作直线 MN，使得 MN 平行于直线 yx， 并沿 MN 向下平移单位后得 A（2，0） 连接 AB交直
12、线 yx 于点 Q，如图 理由如下：AAPQ，AAPQ 四边形 APQA是平行四边形 APAQ AP+PQ+QBBQ+AQ+PQ 且 PQ 当 AQ+BQ 值最小时，AP+PQ+QB 值最小 根据两点之间线段最短，即 A，Q，B三点共线时 AQ+BQ 值最小 B（0，1），A（2，0） 直线 AB的解析式 yx+1 xx+1，即 x Q 点坐标（，） 故选：A 例题例题 6. 如图，点 E、F 是正方形 ABCD 的边 BC 上的两点（不与 B、C 两点重合），过点 B 作 BGAE 于 点 G，连接 FG、DF，若 AB2，求 DF+GF 的最小值为. 【解答】解：取 AB 的中点 O，点
13、O、G 关于 BC 的对称点分别为 O、G， G 与 G关于 BC 对称，FGFG， FG+DFFG+DF， 当 G（也就是 G）固定时，取 DG与 BC 的交点 F，此时能够使得 FG+FD 最小， 且此时 FG+DF 的最小值是 DG， 现在再移动点 E（也就是移动 G）， BGAE，AGB90， 当点 E 在 BC 上运动时，点 G 随着运动的轨迹是以 O 为圆心，OA 为半径的 90的圆弧， 点 G随着运动的轨迹是以 O为圆心，OB 为半径的 90的圆弧， 当取 DO与交点为 G时，能够使得 DG达到最小值， 且 DG的最小值DOOG11， 即 DF+GF 的最小值为1 故选：A 变式
14、练习变式练习 6如图，平面直角坐标系中，分别以点 A（2，3）、点 B（3，4）为圆心，1、3 为半径作A、B，M， N 分别是A、B 上的动点，P 为 x 轴上的动点，则 PM+PN 的最小值为（ ） A54 B1 C62 D 【解答】解：作A 关于 x 轴的对称A，连接 BA分别交A和B 于 M、N，交 x 轴于 P，如图， 则此时 PM+PN 最小， 点 A 坐标（2，3）， 点 A坐标（2，3）， 点 B（3，4）， AB5， MNABBNAM53154， PM+PN 的最小值为 54 故选：A 例题例题 7. 如图，AD 为等边ABC 的高，E、F 分别为线段 AD、AC 上的动点，
15、且 AECF，当 BF+CE 取得 最小值时，AFB（ ） A112.5 B105 C90 D82.5 【解答】解：如图，作 CHBC，且 CHBC，连接 BH 交 AD 于 M，连接 FH， ABC 是等边三角形，ADBC， ACBC，DAC30， ACCH， BCH90，ACB60， ACH906030， DACACH30， AECF， AECCFH， CEFH，BF+CEBF+FH， 当 F 为 AC 与 BH 的交点时，如图 2，BF+CE 的值最小， 此时FBC45，FCB60，AFB105， 故选：B 变式练习变式练习 7如图，等边ABC 中，AD 为 BC 边上的高，点 M、N
16、分别在 AD、AC 上，且 AMCN，连 BM、BN， 当 BM+BN 最小时，MBN 30 度 【解答】解：如图 1 中，作 CHBC，使得 CHBC，连接 NH，BH ABC 是等边三角形，ADBC，CHBC， DACDAB30，ADCH， HCNCADBAM30， AMCN，ABBCCH， ABMCHN（SAS）， BMHN， BN+HNBH， B，N，H 共线时， BM+BNNH+BN 的值最小， 如图 2 中，当 B，N，H 共线时， ABMCHN， ABMCHBCBH45， ABD60， DBM15， MBN451530， 当 BM+BN 的值最小时，MBN30， 故答案为 30
17、例题例题 8. （1）如图，RtABC 中，C90，AC3，BC4，点 D 是 AB 边上任意一点，则 CD 的最 小值为 （2）如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC4，点 M、点 N 分别在 BD、BC 上，求 CM+MN 的最小值 （3）如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC4，点 E 是 AB 边上一点，且 AE2，点 F 是 BC 边上的任意 一点，把BEF 沿 EF 翻折，点 B 的对应点为 G，连接 AG、CG，四边形 AGCD 的面积是否存在最小值， 若存在，求这个最小值及此时 BF 的长度若不存在，请说明理由 【解答】解：（1）如图，过点 C 作 CDAB 于 D，根据点到直
18、线的距离垂线段最小，此时 CD 最小， 在 RtABC 中，AC3，BC4，根据勾股定理得，AB5， ACBCABCD，CD， 故答案为； （2）如图，作出点 C 关于 BD 的对称点 E， 过点 E 作 ENBC 于 N，交 BD 于 M，连接 CM，此时 CM+MNEN 最小； 四边形 ABCD 是矩形， BCD90，CDAB3，根据勾股定理得，BD5， CEBC，BDCFBCCD， CF，由对称得，CE2CF， 在 RtBCF 中，cosBCF， sinBCF， 在 RtCEN 中，ENCEsinBCE； 即：CM+MN 的最小值为； （3）如图 3， 四边形 ABCD 是矩形， CDA
19、B3，ADBC4，ABCD90，根据勾股定理得，AC5， AB3，AE2， 点 F 在 BC 上的任何位置时，点 G 始终在 AC 的下方， 设点 G 到 AC 的距离为 h， S四边形AGCDSACD+SACGADCD+ACh43+5hh+6， 要四边形 AGCD 的面积最小，即：h 最小， 点 G 是以点 E 为圆心，BE1 为半径的圆上在矩形 ABCD 内部的一部分点， EGAC 时，h 最小， 由折叠知EGFABC90， 延长 EG 交 AC 于 H，则 EHAC， 在 RtABC 中，sinBAC， 在 RtAEH 中，AE2，sinBAC， EHAE， hEHEG1， S四边形AG
20、CD最小h+6+6， 过点 F 作 FMAC 于 M， EHFG，EHAC， 四边形 FGHM 是矩形， FMGH FCMACB，CMFCBA90， CMFCBA， ， CF1 BFBCCF413 达标检测 领悟提升 强化落实 1. 如图，矩形 ABCD 中，AB5，AD10，点 E，F，G，H 分别在矩形各边上，点 F，H 为不动点，点 E， G 为动点，若要使得 AFCH，BEDG，则四边形 EFGH 周长的最小值为（ ） A5 B10 C15 D10 【解答】解：作点 F 关于 CD 的对称点 F，连接 FH 交 CD 于点 G，此时四边形 EFGH 周长取最小 值，过点 H 作 HHA
21、D 于点 H，如图所示 AFCH，DFDF， HFAD10， HHAB5， FH5， C四边形EFGH2FH10 故选：D 2. 如图，平面直角坐标系中，分别以点 A（2，3），B（3，4）为圆心，以 1、2 为半径作A、B，M、 N 分别是A、B 上的动点，P 为 x 轴上的动点，则 PM+PN 的最小值等于 3 【解答】解：作A 关于 x 轴的对称A，连接 BA分别交A和B 于 M、N，交 x 轴于 P，如图， 则此时 PM+PN 最小， 点 A 坐标（2，3）， 点 A坐标（2，3）， 点 B（3，4）， AB， MNABBNAM213， PM+PN 的最小值为3 故答案为3 3. 如图
22、，已知直线 yx+4 与两坐标轴分别交于 A、B 两点，C 的圆心坐标为 （2，0），半径为 2，若 D 是C 上的一个动点，线段 DA 与 y 轴交于点 E，则ABE 面积的最小值和最大值分别是 82和 8+2 【解答】解：yx+4， 当 x0 时，y4，当 y0 时，x4， OA4，OB4， ABE 的边 BE 上的高是 OA， ABE 的边 BE 上的高是 4， 要使ABE 的面积最大或最小，只要 BE 取最大值或最小值即可， 过 A 作C 的两条切线，如图， 当在 D 点时，BE 最小，即ABE 面积最小； 当在 D点时，BE 最大，即ABE 面积最大； x 轴y 轴，OC 为半径，
23、EE是C 切线， AD是C 切线， OEED， 设 EOEDx， AC4+26，CD2，AD是切线， ADC90，由勾股定理得：AD4， sinCAD， ， 解得：x， BE4+，BE4， ABE 的最小值是（4）482， 最大值是：（4+）48+2， 故答案为：82和 8+2 4. 正方形 ABCD，AB4，E 是 CD 中点，BF3CF，点 M，N 为线段 BD 上的动点，MN，求四边形 EMNF 周长的最小值 + 【解答】解：作点 E 关于 BD 的对称点 G，则点 G 在 AD 上， 连接 GM，过 G 作 BD 的平行线，截取 GHMN，连接 HN，则四边形 GHNM 是平行四边形，
24、 HNGMEM， 过 H 作 PQBC，交 AD 于 P，交 BC 于 Q，则HPGHQF90，PQAB4， PGHADB45， HPPG1，HQ413， 由轴对称的性质，可得 DGED2， AP4211，BQ1， 又BF3CF，BC4， CF1，QF4112， 当点 H、N、F 在同一直线上时，HN+NFHF（最短）， 此时 ME+NF 最短， RtHQF 中，FH， 即 ME+NF 最短为， 又RtCEF 中，EF， ME+NF+MN+EF+， 四边形 EMNF 周长的最小值为+ 故答案为：+ 5. 如图，已知点 D，E 分别是等边三角形 ABC 中 BC，AB 边的中点，BC6，点 F
25、是 AD 边上的动点，则 BF+EF 的最小值为 3 【解答】解：过 C 作 CEAB 于 E，交 AD 于 F，连接 BF，则 BF+EF 最小（根据两点之间线段最短； 点到直线垂直距离最短），由于 C 和 B 关于 AD 对称，则 BF+EFCF， 等边ABC 中，BDCD， ADBC， AD 是 BC 的垂直平分线（三线合一）， C 和 B 关于直线 AD 对称， CFBF，即 BF+EFCF+EFCE， ADBC，CEAB， ADBCEB90，在ADB 和CEB 中，ADBCEB（AAS）， CEAD， BC6，BD3，AD3，即 BF+EF3 故答案为：3 6. 如图，在边长为 1
26、正方形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 上的点，3AEEB，有一 只蚂蚁从 E 点出发，经过 F、G、H，最后回到 E 点，则蚂蚁所走的最小路程是 【解答】解：延长 DC 到 D，使 CDCD，G 对应位置为 G，则 FGFG， 同样作 DACD，DADA，H 对应的位置为 H，则 GHGH， 再作 ABDA，E 的对应位置为 E， 则 HEHE 容易看出，当 E、F、G、H、E在一条直线上时路程最小， 最小路程为 EE2 7. 如图，在ABC 中，ACBC，B30，点 E，F 是线段 AC 的三等分点，点 P 是线段 BC 上的动点， 点 Q 是线段 AC 上的
27、动点，若 AC3，则四边形 EPQF 周长的最小值是 8 【解答】解：过 E 点作 E 点关于 BC 的对称点 E，过 F 点作 F 点关于 AC 的对称点 F， 在ABC 中，ACBC，B30，AC3， AB6， 点 E，F 是线段 AC 的三等分点， EF2， EFAB6， 四边形 EPQF 周长的最小值是 6+28 故答案为：8 8. 如图，长为 1 的线段 AB 在 x 轴上移动 C（0，1）、D（0，2），则 AC+BD 的最小值是 【解答】解：如图所示，以 AB，BD 为边构造平行四边形 ABDE，作点 C 关于 x 轴的对称点 F，连接 AF， 则 DEy 轴，OFOC1， 四边
28、形 ABDE 是平行四边形， BDAE，DEAB1， AB 垂直平分线 CF， ACAF， AC+BDAE+AF， 如图，当点 E，A，F 在同一直线上时，AE+AFEF（最短）， 此时，RtDEF 中，DE1，DF2+13， EF， AC+BD 的最小值是 故答案为： 9. 在矩形 ABCD 中，AB8，BC10，G 为 AD 边的中点如图，若 E、F 为边 AB 上的两个动点，且 EF 4，当四边形 CGEF 的周长最小时，则求 AF 的长为 【解答】解：E 为 AB 上的一个动点， 如图，作 G 关于 AB 的对称点 M，在 CD 上截取 CH4，然后连接 HM 交 AB 于 E，接着在
29、 EB 上截取 EF4， 那么 E、F 两点即可满足使四边形 CGEF 的周长最小 在矩形 ABCD 中，AB8，BC10，G 为边 AD 的中点， AGAM5，MD15，而 CH4， DH4， 而 AECD， AEMDHM， AE：HDMA：MD， AE， AF4+ 故答案为： 10. 如图，矩形 ABCO 的边 OC 在 x 轴上，边 OA 在 y 轴上，且点 C 的坐标为（8，0），点 A 的坐标为（0， 6），点 E、F 分别足 OC、BC 的中点，点 M，N 分别是线段 OA、AB 上的动点（不与端点重合），则当 四边形 EFNM 的周长最小时，点 N 的坐标为 （4，6） 【解答】
30、解：如图所示：作点 F 关于 AB 的对称点 F，作点 E 关于 y 轴的对称点 E， 连接 EF交 AB 与点 N C 的坐标为（8，0），点 A 的坐标为（0，6），点 E、F 分别足 OC、BC 的中点， OEOE4，FBCF3， EC12，CF9 ABCE， FNBFEC ，即，解得 BN4， AN4 N（4，6） 故答案为：（4，6） 11. 如图，在正方形 ABCD 中，AB8，AC 与 BD 交于点 O，N 是 AO 的中点，点 M 在 BC 边上，且 BM 6P 为对角线 BD 上一点，则 PMPN 的最大值为 2 【解答】解：如图所示，作以 BD 为对称轴作 N 的对称点 N
31、，连接 PN，MN， 根据轴对称性质可知，PNPN， PMPNPMPNMN， 当 P，M，N三点共线时，取“”， 正方形边长为 8， ACAB， O 为 AC 中点， AOOC， N 为 OA 中点， ON， ONCN， AN， BM6， CMABBM862， PMABCD，CMN90， NCM45， NCM 为等腰直角三角形， CMMN2， 即 PMPN 的最大值为 2， 故答案为：2 12. 如图，两点 A、B 在直线 MN 外的同侧，A 到 MN 的距离 AC16，B 到 MN 的距离 BD10，CD8， 点 P 在直线 MN 上运动，则|PAPB|的最大值等于 10 【解答】解：延长
32、AB 交 MN 于点 P， PAPBAB，AB|PAPB|， 当点 P 运动到 P点时，|PAPB|最大， BD10，CD8，AC16， 过点 B 作 BEAC，则 BECD8，AEACBD16106， AB10， |PAPB|的最大值等于 10， 故答案为：10 11. 如图ABC 是边长为 2 的等边三角形，D 是 AB 边的中点，P 是 BC 边上的动点，Q 是 AC 边上的动点， 当 P、Q 的位置在何处时，才能使DPQ 的周长最小？并求出这个最值 【解答】解：作 D 关于 BC、AC 的对称点 D、D，连接 DD，DQ，DP DQDQ，DPDP， DPQ 的周长为 PQ+DQ+DPP
33、Q+DQ+DPDD， 根据两点之间线段最短，DD的长即为三角形周长的最小值 AB60，BEDAFD90，906030， DDD1803030120， D 为 AB 的中点，DFADcos301，AF， 易得ADFQDF，QFAF，AQ1，BP1， Q、P 为 AC、BC 的中点DD2， 同理，DD2，DDD为等腰三角形， DD30， DD2DDcos3023 12. 如图，C 为线段 BD 上一动点，分别过点 B、D 作 ABBD，EDBD，连接 AC、EC已知 AB5，DE 1，BD8，设 CDx （1）用含 x 的代数式表示 AC+CE 的长； （2）请问 AC+CE 的值是否存在最小值？
34、若存在，请求出这个最小值；若不存在请说明理由 （3）根据（2）中的规律和结论，请直接写出出代数式+的最小值为 25 【解答】解：（1）由线段的和差，得 BC（8x） 由勾股定理，得 AC+CE+； （2）当 A、C、E 在同一直线上，AC+CE 最小； 当 A、C、E 在同一直线上时， 延长 AB，作 EFAB 于点 F， AB5，DE1， AF6， ABD90， FBD90， BDEBFE90， 四边形 BFED 是矩形， BDEF8， AE10； （3）如下图所示： 作 BD24，过点 B 作 ABBD，过点 D 作 EDBD，使 AB3，ED4，连接 AE 交 BD 于点 C， 当 BCx， x+y24， y24x， AE 的长即为代数式的最小值， 过点 A 作 AFBD 交 ED 的延长线于点 F，得矩形 ABDF， 则 ABDF3，AFBD24， 所以 AE25， 即代数式+的最小值为 25， 故答案为：25
