1、反比例函数与几何综合中考要求内容基本要求略高要求较高要求反比例函数能结合具体问题了解反比例函数的意义；能画出反比例函数的图象；理解反比例函数的性质会根据已知条件确定反比例函数的解析式；能用反比例函数的知识解决有关问题能用反比例函数解决某些实际问题知识点睛一、反比例函数的定义函数（为常数，）叫做反比例函数，其中叫做比例系数，是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数二、反比例函数的图象反比例函数（为常数，）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线反比例函数与（）的图象关于轴对称，也关于轴对称三、反比例函数的性质反比例函数（为常
2、数，）的图象是双曲线；当时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而减小；当时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而增大注意：反比例函数（）的取值范围是因此，图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，如当时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小这是由于，即或的缘故 如果笼统地叙述为时，随的增大而增大就是错误的由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零，所以图象和轴、轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限
3、贴近的趋势在画出的图象上要注明函数的解析式四、反比例函数解析式的求法 反比例函数的解析式中，只有一个系数，确定了的值，也就确定了反比例函数的解析式因此，只需给出一组、的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式五、比例系数的几何意义 过反比例函数，图象上一点，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点、点组成一个矩形，矩形的面积.例题精讲一、反比例函数与几何综合【例1】 已知点(，)在函数()的图像上，矩形的边在轴上，是对角线的 中点，函数()的图像经过、两点，若，求点的坐标.【例2】 如图，点(，)，(，)都在反比例函数的图象上（1）求，的值；（2）如果为轴上一点，为轴上一点，
4、以点，为顶点的四边形是平行四边形，试求直线的函数表达式【例3】 如图，、都是等腰直角三角形，点、在函数()的图像上，斜边、都在轴上，求点的坐标.【例4】 如图所示，在函数的图象上，都是等腰直角三角形，斜边都在轴上，则_【例5】 如图，是函数()图象上一点，直线交轴于点，交轴于点，轴于，交于，轴于，交于.求的值.【例6】 已知：等腰三角形在直角坐标系中的位置如图，点的坐标为，点的坐标为（1）若三角形关于轴的轴对称图形是三角形，请直接写出、的对称点、的坐标；（2）若将三角形沿轴向右平移个单位，此时点恰好落在反比例函数的图像上，求的值；（3）若三角形绕点按逆时针方向旋转度()当=时点恰好落在反比例函
5、数的图像上，求的值【例7】 过原点作直线交双曲线()于点、，过、分别作两坐标轴的平行线，围成矩形，如图所示知矩形的面积等于8，求双曲线的解析式；若已知矩形的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式?如果能够确定，请予求出；如果不能确定，试说明原因【例8】 如图，已知正方形的面积为9，点为坐标原点，点在轴上，点在轴上，点在函数(，)的图像上，点(，)为其双曲线上的任一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，并设矩形和正方形不重合部分的面积为 求点的坐标和的值； 当时，求点坐标； 写出关于的函数关系式【例9】 已知图中的曲线是反比例函数（为常数）图象的一支这反比例函数图象的另一支在第几象限？常数的取
6、值范围是什么？若该函数的图象与正比例函数的图象在第一象内限的交点为，过点作轴的垂线，垂足为，当的面积为4时，求点的坐标及反比例函数的解析式【例10】 两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论：与的面积相等；四边形的面积不会发生变化；与始终相等；当点是的中点时，点一定是的中点其中一定正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）【例11】 两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，动点在的图象上，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点求证：四边形的面积是定值；当时，求的值；若点的坐标为
7、，的面积分别记为、，设求的值；当为何值时，有最大值，最大值为多少？【例12】 如图，点、在反比例函数()的图象上，且点、的横坐标分别为和()轴，垂足为，的面积为（1）求反比例函数的解析式；（2）若点(，)，(，)也在反比例函数的图象上，试比较与的大小；（3）求的面积【例13】 已知：在矩形中，分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点（1）求证：与的面积相等；（2）记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【例14】 如
8、图，反比例函数的图象过矩形的顶点，、分别在轴、轴的正半轴上，（1）设矩形的对角线交于点，求出点的坐标；（2）若直线平分矩形面积，求的值【例15】 若一次函数和反比例函数的图象都经过点（1，1）（1）求反比例函数的解析式；（2）已知点在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点的坐标；（3）利用（2）的结果，若点的坐标为（2，0），且以点为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点的坐标【例16】 如图，点，都在反比例函数的图象上（1）求的值；（2）如果为轴上一点，为轴上一点， 以点为顶点的四边形是平行四边形，试求直线的函数表达式【例17】 已知与是反比例函数图象上的两个点（1）求的值；（2）若点，
9、则在反比例函数图象上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【例18】 如图，已知反比例函数的图象和一次函数的图象都经过点求这个一次函数的解析式；如果等腰梯形的顶点在这个一次函数图象上，顶点在这个反比例函数图象上，两底，与轴平行，且和的横坐标分别为和，求的值。【例19】 反比例函数和一次函数，其中一次函数图像经过，两点（1）求反比例函数的解析式；（2）求出两函数的交点的坐标在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，把符合条件的点的坐标都求出来；若不存在，请说明理由【例20】 如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，（1）求反比例函数和一
10、次函数的解析式；（2）在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由【例21】 如图，如果函数与的图像交于，两点，过点作垂直于轴，垂足为点，求的面积.【例22】 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求的面积【例23】 正比例函数()与反比例函数的图象相交于、两点，过作轴于，连结，若的面积为，求【例24】 将直线向左平移个单位长度后得到直线，如图，直线与反比例函数的图象相交于，与轴相交于，则_【例25】 已知：等腰三角形在直角坐标系中的位置如图，点的坐标为，点的坐标为（1）若三角形关于轴的轴对称图
11、形是三角形，请直接写出、的对称点、的坐标；（2）若将三角形沿轴向右平移个单位，此时点恰好落在反比例函数的图像上，求的值；（3）若三角形绕点按逆时针方向旋转度（）当=时点恰好落在反比例函数的图像上，求的值【例26】 如图，直线与反比例函数的图象相交于点、点，与轴交于点，其中点的坐标为，点的横坐标为（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求的面积【例27】 如图，在直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点（1）求一次函数的解析式；（2）求的面积【例28】 如图，已知的顶点是一次函数与反比例函数的图像在第一象限内的交点，且（1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由（2）如果线段的延长线与反比例函数的图像的另一支交于点，过作轴于，那么的面积与的面积的大小关系能否确定？（3）请判断为何特殊三角形，并证明你的结论【例29】 如图所示，设反比例函数的两支为，正三角形三个顶点位于此反比例函数的图象上（1）求证：不能都在反比例函数的同一支上（2）设在上，在上，求顶点的坐标 7.4.2反比例函数与几何综合 题库学生版 page 13 of 13
