1、全等三角形知识点总结知识点总结一、全等图形、全等三角形： 1.全等图形：能够完全 的两个图形就是全等图形。 2.全等图形的性质：全等多边形的 、 分别相等。 3.全等三角形： 三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等。同样，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。 说明：全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长，面积也都相等。 这里要注意：（1）周长相等的两个三角形，不一定全等；（2）面积相等的两个三角形，也不一定全等。二、全等三角形的判定：1.一般三角形全等的判定 （1）三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“ ”）。
2、 （2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边”或“ ”)。 （3）两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等(“角边角”或“ ”)。 （4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边”或“ ”)。2.直角三角形全等的判定 利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边、直角边”或“ ”) 注意：两边一对角(SSA)和三角(AAA)对应相等的两个三角形不一定全等。3.性质 1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。2、全等三角形的对应边上的高对应相等。3、全等三角形的对应角平分线相等。4、全等三角形的对应中线相等
3、。5、全等三角形面积相等。6、全等三角形周长相等。(以上可以简称:全等三角形的对应元素相等)三、角平分线的性质及判定： 性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。 判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。四、证明两三角形全等或利用它证明线段或角相等的基本方法步骤：1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）；2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么；3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。初二数学第十一章全等三角形综合复习切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个
4、三角形不一定全等。例1. 如图，四点共线，。求证：。例2. 如图，在中，是ABC的平分线，垂足为。求证：。例3. 如图，在中，。为延长线上一点，点在上，连接和。求证：。例4. 如图，/，/，求证：。例5. 如图，分别是外角和的平分线，它们交于点。求证：为的平分线。例6. 如图，是的边上的点，且，是的中线。求证：。例7. 如图，在中，为上任意一点。求证：。同步练习一、选择题：1. 能使两个直角三角形全等的条件是( )A. 两直角边对应相等B. 一锐角对应相等C. 两锐角对应相等D. 斜边相等2. 根据下列条件，能画出唯一的是( )A. ，B. ，C. ，D. ，3. 如图，已知，增加下列条件：；
5、。其中能使的条件有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4. 如图，交于点，下列不正确的是( )A. B. C. 不全等于D. 是等腰三角形5. 如图，已知，则等于( )A. B. C. D. 无法确定二、填空题：6. 如图，在中，的平分线交于点，且，则点到的距离等于_；7. 如图，已知，是上的两点，且，若，则_；8. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠，为折痕，则的大小为_；9. 如图，在等腰中，平分交于，于，若，则的周长等于_；10. 如图，点在同一条直线上，/，/，且，若，则_；三、解答题：11. 如图，为等边三角形，点分别在上，且，与交于点。求的度数。12. 如图，为上一点，交延
6、长线于点。求证：。答案例1. 思路分析：从结论入手，全等条件只有；由两边同时减去得到，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是，也可以是。由条件，可得，再加上，可以证明，从而得到。解答过程：，在与中(HL)，即在与中(SAS)解题后的思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。例2. 思路分析：直接证明比较困难，我们可以间
7、接证明，即找到，证明且。也可以看成将“转移”到。那么在哪里呢？角的对称性提示我们将延长交于，则构造了FBD，可以通过证明三角形全等来证明2=DFB，可以由三角形外角定理得DFB=1+C。解答过程：延长交于在与中(ASA 又 。解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。例3. 思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段为边的绕点顺时针旋转到的位置，而线段正好是的边，故只要证明它们全等即可。解答过程：，为延长线上一点在与中(SAS)。解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。小结：
8、利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。例4. 思路分析：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。解答过程：连接/，/，在与中(ASA)。解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。例5. 思路分析：要证明“为的平分线”，可以利用点到的距离相等来证明，故应过点向作垂线；另一方面，为了利用已知条件“分别是和的平分线”，也需要作出点到两外角两边的距离。解答过程：过作于，于，于平分，于，于平分，于，于，且于，于为
9、的平分线。解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。例6. 思路分析：要证明“”，不妨构造出一条等于的线段，然后证其等于。因此，延长至，使。解答过程：延长至点，使，连接在与中(SAS)，又，在与中(SAS)又。解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。例7. 思路分析：欲证，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段。而构造可以采用“截长”和“补短”两种方法。解答过程：
10、法一：在上截取，连接在与中(SAS)在中，即ABACPBPC。法二：延长至，使，连接在与中(SAS)在中， 。解题后的思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。同步练习的答案一、选择题：1. A2. C3. B4. C5. C二、填空题：6. 47. 8. 9. 1010. 6三、解答题：11. 解：为等边三角形，在与中(SAS)。12. 证明：，在与中(AAS)。
