1、二次函数的动态问题（动点）1.如图，正方形的顶点的坐标分别为，顶点在第一象限点从点出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒（1）求正方形的边长 （2）当点在边上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图所示），求两点的运动速度 （3）求（2）中面积（平方单位）与时间（秒）的函数关系式及面积取最大值时点的坐标 （4）若点保持（2）中的速度不变，则点沿着边运动时，的大小随着时间的增大而增大；沿着边运动时，的大小随着时间的增大而减小当点沿着这两边运动时，使的点有 个 图图解 （1）作
2、轴于，（2）由图可知，点从点运动到点用了10秒又两点的运动速度均为每秒1个单位（3）方法一：作轴于，则，即， 即，且，当时，有最大值此时，点的坐标为（8分）方法二：当时，设所求函数关系式为抛物线过点， ，且，当时，有最大值此时，点的坐标为 （4） 点评本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。2. 如图，中，它的顶点的坐标为，顶点的坐标为，点从点出发，沿的方向匀速运动，同时点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒（1）求的度数（2）当点在上运动时，的面积（平方
3、单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图），求点的运动速度（3）求（2）中面积与时间之间的函数关系式及面积取最大值时点的坐标（4）如果点保持（2）中的速度不变，那么点沿边运动时，的大小随着时间的增大而增大；沿着边运动时，的大小随着时间的增大而减小，当点沿这两边运动时，使的点有几个？请说明理由（第29题图）ACBQDOPxy3010O5tS（第29题图）解: （1）（2）点的运动速度为2个单位/秒（3）（）当时，有最大值为，此时（4）当点沿这两边运动时，的点有2个当点与点重合时，当点运动到与点重合时，的长是12单位长度，作交轴于点，作轴于点，由得：，所以，从而第29题图所以当点在
4、边上运动时，的点有1个同理当点在边上运动时，可算得而构成直角时交轴于，所以，从而的点也有1个所以当点沿这两边运动时，的点有2个3. （本题满分14分）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点、和点.（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为，求四边形的面积；（3）有两动点、同时从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿折线 按的路线运动，点以每秒个单位长度的速度沿折线按的路线运动，当、两点相遇时，它们都停止运动.设、同时从点出发秒时，的面积为S .请问、两点在运动过程中，是否存在，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由；请求出S关于的函数关系式，并写出自
5、变量的取值范围；设是中函数S的最大值，那么 = .解：（1）令，则；令则二次函数的图象过点，可设二次函数的关系式为又该函数图象过点解之，得，所求二次函数的关系式为 （2）=顶点M的坐标为 过点M作MF轴于F=四边形AOCM的面积为10 （3）不存在DEOC 若DEOC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，此时，在中，设点E的坐标为， ， 2，不满足不存在根据题意得D，E两点相遇的时间为（秒）现分情况讨论如下：）当时，；）当时，设点E的坐标为， ）当2 时，设点E的坐标为，类似可得设点D的坐标为，= 47.关于的二次函数以轴为对称轴，且与轴的交点在轴上方（1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐
6、标系中画出函数的草图；（2）设是轴右侧抛物线上的一个动点，过点作垂直于轴于点，再过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作垂直于轴于点，得到矩形设矩形的周长为，点的横坐标为，试求关于的函数关系式；（3）当点在轴右侧的抛物线上运动时，矩形能否成为正方形若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由参考资料：抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线解：（1）据题意得：，当时，当时，又抛物线与轴的交点在轴上方，抛物线的解析式为：函数的草图如图所示（只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可）（2）解：令，得不时，43211234（第26题）当时，关于的函数关系是：当时，；当时，（3）解法一：当时，令，得
7、解得（舍），或将代入，得当时，令，得解得（舍），或将代入，得综上，矩形能成为正方形，且当时正方形的周长为；当时，正方形的周长为解法二：当时，同“解法一”可得正方形的周长当时，同“解法一”可得正方形的周长综上，矩形能成为正方形，且当时正方形的周长为；当时，正方形的周长为解法三：点在轴右侧的抛物线上，且点的坐标为令，则，或由解得（舍），或；由解得（舍），或又，当时；当时综上，矩形能成为正方形，且当时正方形的周长为；当时，正方形的周长为5.已知抛物线yax2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB0），则N（R+1，R），代
8、入抛物线的表达式，解得 6分当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r0），则N（r+1，r），代入抛物线的表达式，解得 7分圆的半径为或 7分（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，易得G（2，3），直线AG为8分设P（x，），则Q（x，x1），PQ 9分当时，APG的面积最大此时P点的坐标为， 10分8（本小题12分）解：（1）解方程x210x160得x12，x28点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OBOC点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）又抛物线yax2bxc的对称轴是直线x2由抛物线的对称性可得点A的坐标为（6，0）A、B、C三点的坐标分别是A（6，0）、B（
9、2，0）、C（0，8）（2）点C（0，8）在抛物线yax2bxc的图象上c8，将A（6，0）、B（2，0）代入表达式yax2bx8，得解得所求抛物线的表达式为yx2x8（3）AB8，OC8SABC 88=32（4）依题意，AEm，则BE8m，OA6，OC8， AC10EFAC BEFBAC即 EF过点F作FGAB，垂足为G，则sinFEGsinCAB FG8mSSBCESBFE（8m）8（8m）（8m）（8m）（88m）（8m）mm24m自变量m的取值范围是0m8（5）存在 理由：Sm24m（m4）28且0，当m4时，S有最大值，S最大值8m4，点E的坐标为（2，0）BCE为等腰三角形 9.（12分）已知：如图14，抛物线与轴交于点，点，与直线相交于点，点，直线与轴交于点（1）写出直线的解析式（2）求的面积（3）若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动（不与重合），同时，点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动设运动时间为秒，请写出的面积与的函数关系式，并求出点运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少？xyABCEMDPNO解：（1）在中，令，1分又点在上的解析式为2分（2）由，得 4分，5分6分（3）过点作于点7分8分由直线可得：在中，则，9分10分11分此抛物线开口向下，当时，当点运动2秒时，的面积达到最大，最大为12分
