1、2.1函数及其表示2014高考会这样考1.考查函数的定义域、值域、解析式的求法；2.考查分段函数的简单应用；3.由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查复习备考要这样做1.在研究函数问题时，要树立“定义域优先”的观点；2.掌握求函数解析式的基本方法；3.结合分段函数深刻理解函数的概念1 函数的基本概念(1)函数的定义设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA.(2)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范
2、围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域(4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法、列表法2 映射的概念设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射3 函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法4 常见函数定义域的求法(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数
3、的定义域为R.(4)yax (a0且a1)，ysin x，ycos x，定义域均为R.(5)ytan x的定义域为.(6)函数f(x)xa的定义域为x|xR且x0难点正本疑点清源1 函数的三要素函数的三要素是：定义域、值域和对应关系值域是由函数的定义域和对应关系所确定的两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等2 函数与映射(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合A与集合B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的映射(2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数3 函数的定义域(1)解决函数问题，函数的定义域必经优先考虑；(2)求复合
4、函数yf(t)，tq(x)的定义域的方法：若yf(x)的定义域为(a，b)，则解不等式得aq(x)0，故B不对；选项C中xR，故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为x|x0，故选D.5 (2012福建)设f(x)g(x)则f(g()的值为 ()A1 B0 C1 D答案B解析根据题设条件，是无理数，g()0，f(g()f(0)0.题型一函数的概念例1有以下判断：(1)f(x)与g(x)表示同一函数；(2)函数yf(x)的图象与直线x1的交点最多有1个；(3)f(x)x22x1与g(t)t22t1是同一函数；(4)若f(x)|x1|x|，则f0.其中正确判断的序号是_
5、思维启迪：可从函数的定义、定义域和值域等方面对所给结论进行逐一分析判断答案(2)(3)解析对于(1)，由于函数f(x)的定义域为x|xR且x0，而函数g(x)的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x1不是yf(x)定义域的值，则直线x1与yf(x)的图象没有交点，如果x1是yf(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x1与yf(x)的图象只有一个交点，即yf(x)的图象与直线x1最多有一个交点；对于(3)，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于(4)，由于f0，所以ff(0)1.综上可知，正确的判断是(2)(3)探究提高函数的三要
6、素：定义域、值域、对应关系这三要素不是独立的，值域可由定义域和对应关系唯一确定；因此当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数特别值得说明的是，对应关系是就效果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)不是指形式上的即对应关系是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断 下列各组函数中，表示同一函数的是 ()Af(x)|x|，g(x)Bf(x)，g(x)()2Cf(x)，g(x)x1Df(x)，g(x)答案A解析A中，g(x)|x|，f(x)g(x)B中，f(x)
7、|x|，g(x)x (x0)，两函数的定义域不同C中，f(x)x1 (x1)，g(x)x1，两函数的定义域不同D中，f(x)(x10且x10)，f(x)的定义域为x|x1；g(x)(x210)，g(x)的定义域为x|x1或x1两函数的定义域不同故选A.题型二求函数的解析式【例2】(1)已知flg x，求f(x)；(2)设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等实根，且f(x)2x2，求f(x)的解析式；(3)定义在(1,1)内的函数f(x)满足2f(x)f(x)lg(x1)，求函数f(x)的解析式思维启迪：求函数的解析式，要在理解函数概念的基础上，寻求变量之间的关系解(1)令t1，则x，
8、f(t)lg ，即f(x)lg .(2)设f(x)ax2bxc (a0)，则f(x)2axb2x2，a1，b2，f(x)x22xc.又方程f(x)0有两个相等实根，44c0，c1，故f(x)x22x1.(3)当x(1,1)时，有2f(x)f(x)lg(x1)以x代替x得，2f(x)f(x)lg(x1)由消去f(x)得，f(x)lg(x1)lg(1x)，x(1,1)探究提高函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(3
9、)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)消去法：已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x) (2012武汉模拟)给出下列两个条件：(1)f(1)x2；(2)f(x)为二次函数且f(0)3，f(x2)f(x)4x2.试分别求出f(x)的解析式解(1)令t1，t1，x(t1)2.则f(t)(t1)22(t1)t21，f(x)x21 (x1)(2)设f(x)ax2bxc (a0)，又f(0)c3.f(x)ax2bx3，f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)3(ax2bx3)4ax4a
10、2b4x2.，f(x)x2x3.题型三函数的定义域【例3】(1)函数y的定义域为_(2)若函数yf(x)的定义域是0,2，则函数g(x)的定义域是 ()A0,1 B0,1)C0,1)(1,4 D(0,1)思维启迪：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；抽象函数的定义域要注意自变量的取值和各个字母的位置答案(1)(1,1)(2)B解析(1)由，得1x1.(2)依已知有解之得0x1，定义域为0,1)故选B.探究提高(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集(2)已知f(x)的定义域是a，b，求fg(x)的定义域，是指满足ag
11、(x)b的x的取值范围，而已知fg(x)的定义域是a，b，指的是xa，b (1)若函数f(x)的定义域为R，则实数m的取值范围是_答案解析f(x)的定义域为R，即mx24mx30恒成立当m0时，符合条件当m0时，(4m)24m30，即m(4m3)0，0m0时，f(x)f(x1)f(x2)，f(x1)f(x)f(x1)两式相加得f(x1)f(x2)，f(x3)f(x)，f(x6)f(x3)f(x)，f(x)的周期为6.因此，f(2 014)f(63354)f(4)1.探究提高求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值若给出函数值求自变量的值，应根据每
12、一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围 设函数f(x)则满足f(x)的x值为 ()A2 B3C2或3 D2答案C解析当x2时，由f(x)，得2x.解得x2.当x2时，由f(x)，得log81x，解得x3.3.忽视函数的定义域典例：求函数ylog(x23x)的单调区间易错分析忽视函数的定义域，认为x的范围是全体实数，导致错误解设tx23x，由t0，得x3，即函数的定义域为(，0)(3，)函数t的对称轴为直线x，故t在(，0)上单调递减，在(3，)上单调递增而函数ylogt为单调递减函数，由复合函数的单调性可知，函数ylog(x23x)的单调递增区间是(，0
13、)，单调递减区间是(3，)温馨提醒函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间由于思维定势的原因，容易忽视定义域，导致错误4.分段函数意义理解不清典例：（14分）设函数f(x)，若f(2)f(0)，f(1)3，求关于x的方程f(x)x的解易错分析(1)条件中f(2)，f(0)，f(1)所适合的解析式是f(x)x2bxc.所以可构建方程组求出b，c的值(2)在方程f(x)x中，f(x)用哪个解析式，要进行分类讨论，不能忽视自变量的限制条件规范解
14、答解当x0时，f(x)x2bxc，因为f(2)f(0)，f(1)3，解得4分f(x)6分当x0时，由f(x)x得，x22x2x，得x2或x1.由x10，所以舍去9分当x0时，由f(x)x得x2，12分所以方程f(x)x的解为2、2.14分温馨提醒(1)对于分段函数问题，是高考的热点在解决分段函数问题时，要注意自变量的限制条件(2)就本题而言，当x0时，由f(x)x得出两个x值，但其中的x1不符合要求，上述解法中没有舍去此值，因而导致了增解分段函数问题分段求解，但一定注意各段的限制条件.方法与技巧1在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域相同；二是对应关系相同2定义域优先原则：函数
15、定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行3函数的解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法4分段函数问题要分段求解失误与防范求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.(时间：60分钟)A组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1(2012山东)函数f(x)的定义域为 ()A2,0)(0,2 B(1,0)(0,2C2,2 D(1,2答案B解析由得10，Nx|x3或x1；(2)MNx|x3，MNx|xB组专项能力提
16、升一、选择题(每小题5分，共15分)1 设f(x)lg ，则ff的定义域为 ()A(4,0)(0,4) B(4，1)(1,4)C(2，1)(1,2) D(4，2)(2,4)答案B解析0，2x2.22且20时，f(a)2a,2a20无解；当a0时，f(a)a1，a120，a3.3 设f(x)g(x)是二次函数，若f(g(x)的值域是0，)，则g(x)的值域是 ()A(，11，) B(，10，)C0，) D1，)答案C解析f(x)的图象如图g(x)是二次函数，且f(g(x)的值域是0，)，g(x)的值域是0，)二、填空题(每小题4分，共12分)4 (2012江苏)函数f(x)的定义域为_答案(0，
17、解析要使函数f(x)有意义，则解得0x.5 对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：a*b，则函数f(x)log(3x2)*log2x的值域为_答案(，0解析f(x)log2*log2x.当x1时，1，f(x)0；当x1时，log2f(x)0.f(x)的值域为(，06 (2011江苏)已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_答案解析当a1,1a0时，1a1，所以f(1a)2(1a)a2a；f(1a)(1a)2a3a1.因为f(1a)f(1a)，所以2a3a1，所以a(舍去)综上，满足条件的a的值为.三、解答题(13分)7 已知f(x)x21，g(x).(1)求f(g(2)和g(f(2)的值；(2)求f(g(x)和g(f(x)的解析式解(1)g(2)1，f(g(2)f(1)0，f(2)3，g(f(2)g(3)2.(2)f(g(x)(g(x)21.f(g(x).g(f(x).g(f(x)
