1、高中数学椭圆的专题复习椭圆知识点梳理1. 椭圆的定义：1,2（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时1（）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC0，且A，B，C同号，AB）。2. 椭圆的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：范围：；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；准线：两条准线； 离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。通径2.点与椭圆的位置关系：（1）点在椭圆外；（2）点在椭圆上1；（3）点在椭圆内3直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：直线与椭圆相交；（2）相切：直线与椭圆相切； （3）相离
2、：直线与椭圆相离； 如:直线ykx1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_（答：1，5）（5，+）；4、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示P到与F所对应的准线的距离。如（1）已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为_（答：10/3）；（2）椭圆内有一点，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使 之值最小，则点M的坐标为_（答：）；5、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：，当即为短轴端点时，的最大值为bc；6、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐
3、标，则，若分别为A、B的纵坐标，则，若弦AB所在直线方程设为，则。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。7、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；如（1）如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：）；（2）已知直线y=x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x2y=0上，则此椭圆的离心率为_（答：）；（3）试确定m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称（答：）； 特别提醒：因为是直线与圆
4、锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！ 椭圆知识点1如何确定椭圆的标准方程？ 任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。 2椭圆标准方程中的三个量的几何意义椭圆标准方程中，三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，且。可借助右图理解记忆： 显然：恰构成一个直角三
5、角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。3如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看，的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 4方程是表示椭圆的条件方程可化为，即，所以只有A、B、C同号，且AB时，方程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上。5求椭圆标准方程的常用方法： 待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6共焦点的椭圆标准方程形式上的差
6、异共焦点，则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为，此类问题常用待定系数法求解。7判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据： 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称； 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称； 若把曲线方程中的、同时换成、，方程不变，则曲线关于原点对称。8如何求解与焦点三角形PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？ 思路分析：与焦点三角形PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。将有关线段，有关角 ()结合起来，建立、之间的关系. 9如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？ 长轴与短轴的长短关
7、系决定椭圆形状的变化。离心率，因为，用表示为。显然：当越小时，越大，椭圆形状越扁；当越大，越小，椭圆形状越趋近于圆。椭 圆题型1:椭圆定义的运用例1、已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则_。例2、椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是 例3、如果方程表示焦点在x轴的椭圆，那么实数k的取值范围是_.例4、已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则
8、的最小值为 题型2： 求椭圆的标准方程 例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程. （1） 经过两点、； (2)经过点(2，3)且与椭圆具有共同的焦点. （3）一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4.题型3:求椭圆的离心率（或范围）例1、中，若以为焦点的椭圆经过点，则椭圆的离心率为 .例2、过椭圆的一个焦点作椭圆长轴的垂线交椭圆于P，若 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 题型4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例1、已知实数满足,则的范围为 例2、已知P是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，求的最大值与最小值例3、已知点是椭圆（）上两点,且,则= 例4、如上
9、图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则_题型5：焦点三角形问题例1、已知为椭圆的两个焦点，p为椭圆上的一点，已知为一个直角三角形的三个顶点，且,求的值；例2、已知为椭圆C:的两个焦点，在C上满足的点的个数为 例3、若为椭圆的两个焦点，p为椭圆上的一点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围为 例4、已知椭圆的焦点是,且经过点（1，） 求椭圆的方程; 设点P在椭圆上,且,求cos.题型6: 三角代换的应用例1、椭圆上的点到直线l:的距离的最小值为_例2、椭圆的内接矩形的面积的最大值为 题型7：直线与椭圆的位置关系的判断例1、当为何值时，直线与椭圆
10、相交？相切？相离？例2、若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围； 题型8：弦长问题例3求直线被椭圆所截得的弦长. 例4、已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点，求ABF2的面积； 题型9：中点弦问题例5、求以椭圆内的点A（2，-1）为中点的弦所在的直线方程。例6、中心在原点，一个焦点为的椭圆截直线 所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程例7、椭圆 ，与直线 相交于 、 两点， 是 的中点若 ，斜率为 （O为原点），求椭圆的方程题型10：椭圆与向量、解三角形的交汇问题例6、设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原
11、点，若，且，求点的轨迹方程;15. 如图，在RtABC中，CAB=90，AB=2，AC=。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。 （1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程； （2）设直线l的斜率为k，若MBN为钝角，求k的取值范围。基础巩固训练1. 如图,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为 2.设为椭圆的两焦点，P在椭圆上，当面积为1时，的值为 3.椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是 4.在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 5. 若为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若,
12、则此椭圆的离心率为 6.在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= 综合提高训练7、已知椭圆与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率求椭圆方程；8.已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。（1）求椭圆的标准方程； （2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于ABC，求的值。9.已知长方形ABCD, AB=,BC=1.以AB的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.()求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;OABCD图8()过点P(0,2)的直线交()中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
