1、第一章 集合与简易逻辑一、集合：1.集合的定义：集合的表示方法：数集：(复数集)集合的特性：2.元素与集合的关系：集合与集合的关系：空集是任何集合的_，是任何非空集合的_。任何一个集合都是他自身的_。集合 的子集个数有_个，真子集有_个，非空真子集有_个。当时，一般要分与两种情况。3.交集是指A与B中公共元素构成的集合，AB=x| 并集是指所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合，AB=x| 一般采用画出数轴来求两个集合的交集或并集。有关系式：若AB=A，则_；若AB=A，则_；_ 、_。二、不等式解法：1.绝对值不等式解法：a0a=0a0|x|a的解集2.二次不等式：与二次函数以为例的图象
2、方程的根的解的解3.分式不等式： 形如类型的可移项化简来解。4.简单高次不等式：利用数轴标根法求解集。5.指数不等式：6.对数不等式：可转化为不等式组当时，；当时，。解指数不等式，对数不等式时，必须考察函数的单调性问题，特别注意不能忽视了对数的真数必须大于0，不等式的解集必须用集合或区间表示出来。三、逻辑联结词：或（并集）、且（交集）、非（补集）1.命题可分为真命题、假命题，也可以分为简单命题、复合命题。复合命题形式有“p或q”，“p且q”，“非p”三种形式。2.复合命题的真值表。Pqp或qp且q非p真真真假假真假假3.四种命题的关系：互为逆否互 否互 否原命题，若p则q逆命题，若q则p逆否命
3、题，若q则p否命题，若p则q 原命题为真，则其逆命题与否命题不一定为真，而其逆否命题一定为真。 互为逆否命题的真假相同，逆命题与否命题的真假相同。4.充要条件：若但BA，则A是B的_条件。若AB但，则A是B的_条件。若，则A是B的_条件。若AB且BA，则A是B的_条件。四、恒成立问题：1.恒成立，可令，函数图象恒在轴上方。等价于：2.恒成立，等价于：例：已知不等式恒成立（或解集为R），求的取值范围。第二章 函数一、函数及有关性质。1.函数定义：中，自变量的取值范围为函数的定义域。当时，叫函数值。所有函数值的集合叫做函数的值域。2.映射的定义：两个允许： 两个不允许：3.同一函数：_相同。_相同
4、。值域相同。（可由得）4.函数定义域求法：使函数有意义的条件。整式函数（一次函数、二次函数）定义域为R。分式函数的分母不为0。偶次根式函数，被开放数大于或等于0。（的）对数函数的底数大于0且不等于1，真数大于0。有多个限制条件的转化为不等式组求定义域。5.函数的单调性：定义：逆运用：当在区间m，n上为增函数时，若则有：当在区间m，n上为减函数时，若则有：常用函数的单调性：.一次函数，当时为增函数；当时为减函数。.二次函数，当时在为减函数；在为增函数。当时在为增函数；在为减函数。与开口方向和对称轴有关。.反比例函数在上均为减函数；在上均为增函数。. ，当时为减函数；当时为增函数。. ，时，在上为
5、减函数；当时，在上为增函数。6.反函数：求函数的反函数的方法：（1） 先根据原函数的定义域求出其值域（2） 由解出（3） 将中的互换，即得反函数标明定义域有关性质：（1） 原函数与反函数的定义域和值域正好互换，原函数过点，则反函数过点。 （2） 互为反函数的图象关于成轴对称图形。 （3） 原函数与反函数的单调性相同。7.函数得奇偶性：存在奇偶性得条件时定义域必须关于原点对称，在定义域内，将后（1）若，则为偶函数。（2）若，则为奇函数。有关性质：（1） 偶函数得图象关于轴对称，在对称区间上的单调性相反。 （2） 奇函数得图象关于原点对称，在对称区间上的单调性相同。8.求函数值域的基本方法（1）
6、利用函数的单调性求值域：若在上为增函数则其值域为若在上为减函数则其值域为。（2）配方法：二次函数 当，有最小值，值域为； 当时，有最大值，。（3）反表示法：即利用反函数的定义域既为原函数的值域。例如：求的值域。（4）换原法： 还原注意新元素的范围。 例如：求的值域。（5）判别式法：形如：类型，可转化为关于的一元二次方程有解， 求值域。（6）图象法。9.周期性：若函数对于最小正周期，使，则称为函数的最小正周期。10.对称性：若则称为的对称轴二、指数函数与对数函数（一） 指数1根式与分数指数幂： = 运算法则： 2 指数函数的图象和性质： 单调性定 点值 域定义域性 质图 象减函数增函数3 指数方
7、程：（1） （化成底数相等） （2） 可换元后求解，令 4 指数复合函数的单调性： （1）时，的单调性相反 （2）时，的单调性相同（一致）（二） 对数函数1 对数式与指数式互化：； 2 对数的运算法则： 对数恒等式： 换底公式： 3 对数函数 的图象和性质 性 质单调性定 点值 域定义域图 象减函数增函数（1） 当与都大于1或都小于1时，（2） 当与一个大于1另一个小于1时，4 对数方程：5 对数函数复合形式的单调性：的定义域内 （1）时，的单调性相反， （2）时，的单调性相同。三 二次函数 ，判别式1 与轴的交点个数：（1），有 个交点（2），有 个交点，（3），无交点。 当时，方程有两个实
8、根：。则由韦达定理（根与系数的关系）知： ， 2 一元二次方程实根问题（以为例）oxyxo（1） 有两正根 （2） 有两个负根 （3） 有一正一负的根 3 ()区间根问题仅一个根在内m图 象nnmnmmm充要条件4 二次函数 ()在区间内的最值问题: (1)当时,函数在上为增函数。,;(2)当时。,;(3)当时。,;(4)当时, 函数在上为减函数。，。例:已知在上的最小值为13,求a的值.解:综上所述:满足条件的或。四 图象变换，设1.平移：2.3.对称： 4. 五 复合函数： 1 若函数，则称为关于的复合函数。 （1）为内函数，为外函数。 （2）的值域，既为的定义域。 2 已知的表达式，求的
9、表达式，可采用换元或凑项的方法。例：已知函数，求(法一)：令，则，（法二）：，整体替换，将 3已知的定义域，求的定义域例 已知，求的定义域解：，令 将。 4 复合函数的单调性规律增增减减增减增减增减减增第三章 数列一、数列的基本知识：1.数列的定义：2.数列的基本表示方法：3.通项公式：，用含有n的代数式表示。4.数列的前n项和，已知数列的前n项和，求的方法：n=1时，；时，验证，是否适合，若适合，则；若不适合，则也可以判断是否等于0，若则；若，二、等差数列1.定义：即：，首项为，公差d。2.通项公式：= = （关于n的一次函数）前n项和公式： = = （关于n的二次函数，不含常数项）可化为。
10、3.等差数列的性质：若m+n=p+q，则： 若m+n=2k，则：仍成等差数列若，则数列为_数列。前n项和有_值。满足: ，找分界项。（也可以用二次函数特点求）若，则数列为_数列。前n项和有_值。满足: ，找分界项。（也可以用二次函数特点求）例：已知等差数列的首项为31，公差为-4，求的最大值。若等差数列共有2n+1项，则，。三、等比数列。1.定义：即：，首项，公比为q（q0）。2.通项公式：=前n项和公式： = ；当q=1时，。3.等差数列的性质：若m+n=p+q，则： 若m+n=2k，则：仍成等比数列四、数列求和方法：1.特殊数列求和：等差数列求和；等比数列求和；常数数列求和；2.分组求和法
11、：一般可转化为等差数列，等比数列求和。通项结构例：求的和。3.裂项求和法：例：求的和。4.错位相减法：（q倍求和法）通项结构例：求的和。第四章 三角函数一、任意角的三角函数1、角的概念的推广：正角、零角、负角及象限角。（1）与角终边相同的角的集合：终边落在轴正半轴的角的集合：终边落在轴上的角的集合：（2）第一象限角的集合： 第二象限角的集合： 第三象限角的集合： 第四象限角的集合：例1、 如果是第二象限角，则、分别是第几象限角？2、弧度制：（1）弧长、半径、圆心角，则= 扇形面积S= （2）弧度与角度的相互转化： 1弧度= 弧度3、任意角的三角函数定义（1）已知角的终边过点，设则 （2）三角函
12、数值的符号与角所在象限关系：一全正，二正弦，三两切，四余弦（3）用单位圆中有向线段MP、OM、AT分别表示正弦线、余弦线、正切线的作图方法例2、已知角的终边上有一点，（）。求的值（4）记住特殊角的三角函数值弧度4、同角三角函数的基本关系式（1）平方关系（2）商的关系（3）倒数关系例3、已知，求（1） （2）例4、已知，求值：（1） （2）5、诱导公式（1）= = = = = = = = = = = = = =与的三角函数关系：函数名不变，符号看象限。（2）= = = = = = = = = = =与的三角函数关系：函数名要变，符号看象限。二、两角和与差的三角函数1、 2、二倍角公式 = = 降
13、幂公式： ， 注意公式的逆用：= 例5、（1）计算的值； （2）已知、都是锐角，且求； （3）化简； （4）求的值； （5）已知，求的值3、辅助角公式： 万能公式： 例6、要使有意义，求的取值范围例7、已知，求的值4、分角拆角 三、三角函数的图像和性质1、 、 、的图像和性质图象定义域值域单调区间奇偶性周期对称轴对称中心2、（其中）值域 周期 振幅A 相位 初相（1） 可利用“五点法”作图（2） 由得图象经过平移、伸缩变换得到的图象的步骤：相位变换、周期变换、振幅变换。（3） 根据图象求函数（）的表达式时常用待定系数法。例8、做出函数的图象，并说明怎样由变换得到。3、反三角函数： 反正弦：在闭
14、区间上，适合的角，叫实数的 ；记作： 。这时，且。（2）反余弦：在闭区间上，适合的角，叫实数的 ；记作 。这时，且。（3）反正切：在开区间上，适合的角，叫实数的 记作： 。这时，且。4、解斜三角形中三边的对角A，B，C1、 正弦定理：（R是三角形外接圆半径） ， 等，注意灵活运用。2、 余弦定理：， ， ，3、 内角和,大边对大角。 4、 （1）若A为最小角，则，。（2）若B为最大内角，则，（3）若为锐角三角形，则cosAcosB;(任两边平方和大于第三边平方)（4）若为钝角三角形，设两锐角A和B，则，例9在中，若 试判断的形状； 若试判断形状。 第五章 平面向量一平面向量1向量定义及有关概念
15、 零向量：_ 向量的模：_ 单位向量：_ 平行向量：_ 相等向量：_ 共线向量：_ABDC2.向量的加法，减法，平行四边形法则，三角形法则3. 4.平面向量的数量积及坐标运算 平面向量基本定理：不共线的两个向量可以作为平面向量的一组基底，()若夹角为锐角，则但不同向；()若夹角为钝角，则但不反向。5定比分点：A分有向线段 中点坐标： ，重心将中线分为2：1两段。 三角形角平分线性质：6平移：图象的平移可以转化为点的平移。 已知原函数 已知新函数 第六章 不等式 1不等式的性质 反对称性： 传递性： 可加性： （同向不等式只能相加，不能相减） 可乘性： （同向正数不等式只能相乘，不能相除）乘方法
16、则：开方法则：2重要不等式（均值不等式） （当且仅当时取“=”； 为定值时求或 的最小值）逆用： （当或为定值时求的最大值） 利用均值不等式求有关的最值问题时必须满足三个条件“一正，二定，三相等”。3不等式的证明方法：比较法；综合法；分析法。4不等式的解法 一元一次不等式 一元一次不等式解法： 分式不等式 简单高次不等式解法：利用数轴标根法求解例10求解不等式指数不等式 对数不等式 根式不等式 5绝对值不等式 当 当例11已知例12已知高二上复习资料第七章 直线与圆的方程一直线方程：1倾斜角定义： 倾斜角的范围：2斜率：直线的倾斜角为，其上两点，；当时，不存在。3截距：直线与轴（轴）焦点的横坐
17、标（纵坐标）叫直线的横截距（纵截距）。4直线方程：点斜式：直线过点，斜率为 方程： 直线过点，斜率为0 方程： 直线过点，斜率不存在 方程：斜截式：斜率为，纵截距为 方程：两点式：直线过两点， 方程：截距式：直线的横，纵截距分别为 方程：一般式：5直线系方程：过定点直线系的方程：过点的直线系方程为（存在）经过两直线与的交点的直线系方程为平行直线系：与平行的直线系方程为垂直直线系：与垂直的直线系方程为例1：若直线与线段有交点（，），（，），求实数的取值范围。例2：已知直线（1） 求证：直线过定点M（2） 过点M做直线与两负半轴围成的三角形AOB的面积最小，求直线的方程及面积的最小值。二两条直线的
18、位置关系： 方向向量 方向向量1 相交： （充要条件）234与重合5到的角：与的夹角：6点到直线的距离公式： 点到直线的距离： 点到直线的距离：两平行线的距离：三有关对称关系：点关于轴对称点点关于轴对称点点关于原点对称点点关于的对称点点关于轴对称点点关于轴对称点点关于轴对称点（2）关于点成中心的对称问题：1点关于的对称点坐标为2直线关于点的对称直线例3：求直线关于点对称的直线方程。注：曲线关于的对称曲线方程为（3） 关于直线成轴对称问题:1求点关于直线的对称点:例4:求点关于直线的对称点坐标。2求直线关于对称的直线方程:例5.求直线关于的对称直线的方程。注:有关特殊对称，当对称轴的斜率时，可直
19、接替换：曲线关于的对称曲线为：四已知曲线求方程的基本步骤：1建立适当直角坐标系，设所求动点2写出关于M的关系式若关系式适合某种曲线的定义，则由已学知识直接写出方程：若不能直接得到关于M的关系式，联系已知条件找中间变量，最后消掉中间变量得到关于方程；3 用坐标表示，例出方程4 化简方程到最简形式5 有特殊情况适当予以说明。五直线与圆的位置关系：1圆的定义：平面内动点P到定点A的距离等于定长的轨迹叫圆。平面内动点到两定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆。2 圆的方程：标准方程： ，圆心，半径。一般方程圆心： ，半径： 参数方程：3 圆的切线方程：（1） 过圆上一点作圆的切线只有一条过圆上点的切
20、线方程为特别当圆心在原点时，过圆上点的切线方程为（2） 过圆外一点作圆的切下有两条求切线方程的方法，设出方程，利用圆心到切线距离等于半径，即可求出斜率，注：当所求的解只有一个时，另一条直线是。切点弦：过圆外点作圆的切线，过两切点的直线方程为。切线长：设圆心C，半径，切线长圆方程为时，圆方程为时，4 点与圆的位置关系：（1）点在圆内：点在圆上：点在圆外：（1） 点P在圆C外，圆C上点到P点的距离最大（小）值：5 直线与圆的位置关系：（1）将直线方程与圆的方程联解：消去一元得另一元的二次方程，判别式，则： 设圆心到直线的距离为，圆的半径为，则： （2）当直线与圆相交时，弦长=（2） 当直线与圆相离
21、时，圆心到直线距离为。圆上点到直线距离最大（小）值：6 两圆的位置关系：（ 半径，半径，圆心距（1）两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含（3） 两圆与相交时：两圆的公共径：将两方程相减过两圆的交点的曲线方程：过内一点P作直线圆相交弦：弦长最大的为过圆心的直线，弦长最小的为与PC垂直的直线。六简单的线形规划：解决线性规划问题的主要步骤：1 分析已知条件，将条件表格化。2 根据问题假设变量，确定线形目标函数Z。3 确定线形约束条件，作图画出可行域。4 利用目标函数求最值（对整数解问题，应适量调整最优解）注：最优解一般在顶点处取得。第八章 圆锥曲线方程一、椭圆1、基本知识点：平面内与两定
22、点的距离和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆。定点为椭圆的焦点。第一定义参数方程标准方程定义平面内到定点F(c,0)的距离和它到定直线：的距离之比是常数的动点P（x,y）的轨迹是椭圆，其中常数=叫做椭圆的离心率，定直线叫做椭圆的准线。第二定义图形yxyPx顶点范围焦点准线a,b,c的关系对称轴与中心对称轴： 对称中心：长轴： ，短轴： ，焦距： ，焦点在长轴上。离心率 （ ）越接近于0椭圆越扁平；越接近于1，椭圆越接近圆。焦准距焦点到对应准线的距离教焦准距，用p表示，p=通经过焦点而垂直于焦点所在对称轴的弦长叫通径，其值为焦点三角形称叫椭圆的焦点三角形，面积公式：=具有公共焦点的椭圆系方程：
23、椭圆系方程具有相同离心率的椭圆系方程：以点为中点的弦的斜率为，则以点为中点的弦的斜率为，则中点弦 焦半径2、椭圆上是否存在点P与两焦点连接使(以为直径的圆是否与椭圆存在交点)0个 2个 4个3、点与椭圆的位置关系：点在椭圆上点在椭圆内点在椭圆上4、直线与椭圆的位置关系： 建立直线与椭圆的方程组，化成关于的一元二次方程 （二次项系数大于0） 直线与椭圆相交；有2个焦点。直线与椭圆相切；有1个焦点。直线与椭圆相离；没有焦点。二、双曲线：1、基本知识点：定义第一定义：平面内与两定点的距离差的绝对值等于常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线。两定点为双曲线的焦点。第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和
24、它到定直线的距离之比是常数的动点P（x,y）的轨迹是双曲线，其中常数=叫做双曲线的离心率，定直线叫做双曲线的准线。标准方程图形顶点范围焦点准线a,b,c的关系 且 。对称轴与中心对称轴： ，对称中心：实轴： ，虚轴： ，焦距： ，焦点在实轴上。离心率 （ ） 越小双曲线开口越小，越大双曲线开口越大焦准距焦点到对应准线的距离教焦准距，用p表示，p=通径过焦点而垂直于焦点所在对称轴的弦长叫通径，其值为焦点三角形称叫椭圆的焦点三角形，面积公式：=双曲线系方程具有公共焦点的椭圆系方程：具有相同相同渐近线系方程为： 中点弦以点为中点的弦的斜率为，则以点为中点的弦的斜率为，则焦半径 2、等轴双曲线： 方程
25、： 渐近线： 离心率：=3、直线与双曲线的位置关系： 建立直线与双曲线的方程组，化成关于的一元二次方程 当二项式系数为0，既=0时，直线平行于渐近线与双曲线相交，有一个交点。当时：方程为一元二次方程 直线与双曲线相交；有2个焦点。直线与双曲线相切；有1个焦点。直线与双曲线相离；没有焦点。三、抛物线：1、基本知识;定义平面内与一定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。标准方程图形通式顶点对称轴焦点离心率准线通径过焦点而垂直于焦点所在对称轴的弦长叫通径，其值为焦半径2、与抛物线的位置关系：建立直线与抛物线的方程组，化成关于的一元二次方程 当二项式
26、系数为0，既=0时，直线平行于对称轴与抛物线相交，有一个交点。当时：方程为一元二次方程 直线与抛物线相交；有2个焦点。直线与抛物线相切；有1个焦点。直线与抛物线相离；没有焦点。3、定值顶点问题：（1）直线过抛物线焦点且与抛物线交于两点： 以AB为直径的圆与抛物线准线相切。 过点A，B做准线的垂线，垂足为C，D。 ，AD与BC相较于原点。 ， ，（2）直线与抛物线相交于两点，若，则; ,直线恒过点。第九章 直线、平面、简单几何体一、基础知识点：（1）平面基本性质：公理1：（判断直线在平面内的依据）公理2：（判断两平面相交的依据，证三点共线的依据）公理3及3个推论：（作为确定平面的依据）（2）平行
27、关系：1、公理4：（平行公理） 同角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等。推论：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。2、线面平行： 定义：线面平行判定定理： 线面平行的性质定理： 3、两平面平行： 定义： 判定定理： 推论： 性质定理 4、异面直线： 定义： 判定定理： 夹角：（3）垂直关系：1、直线与平面垂直： 定义： 判定定理： 三垂线定理： 推论： (4) 空间向量：1、空间向量基本定理： 向量共线判断方法：1、定义，2、（） A、B、C三点共线的判断方法：或 空间向量基本定理：不共面的三个向量可作为空间的一个基底，对空
28、间任一向量 向量共面的判断方法：1、定义：2、 A、B、C、D四点共面的判断方法： 或2、空间向量的数量积有关坐标运算：二夹角与距离。1两异面直线的夹角。定义及夹角范围。求异面直线夹角的方法：a.平移成两相交直线夹角， b.向量法.2直线与平面所成角。定义。最小角定理。求直线与平面夹角的方法：a.定义法。b.利用公式 c.利用法向量.3二面角的平面角。定义。求二面角平面角的方法：a利用定义法求二面角。b利用三垂线定理法求二面角。c利用射影面积公式 d利用法向量求二面角的平面角。4距离。点到点的距离，点到平面的距离，直线与平面的距离，直线与直线的距离及平面与平面的距离。用向量法求距离：求点P到平
29、面的距离。设平面的法向量。，则在上的投影的绝对值即为点P到平面的距离 。简单多面体与球(一) 棱柱。1棱柱的定义及有关的概念。2棱柱的有关性质。3正棱柱的特点。4长方体的三个定理：（1）长方体过同一点的三条棱长为a，b，c。则对角线。正方体的对角线长。（2）若对角线与各棱所成的角分别为。则_. _.（3）若对角线与各面所成的角分别为。则2 1（二）棱锥。1棱锥的定义及有关的概念。2正棱锥的有关性质。3正三棱锥，正四棱锥，正六棱锥的特征图形。（三）多面体。1正多面体。2欧拉公式：顶点数（V）+ 面数（F） 棱数（E）=2。3常用的几种正多面体：正四面体，正六面体。正八面体。（四）球。1球的半径R
30、，球的截面小圆半径r，球心到截面的距离d的关系。2求球面上两点A，B间的距离的步骤。计算线段AB的长度。（弦长）计算球心角AOB。计算在球的大圆上A，B两点间所夹的劣弧长。3设正方体的棱长为，则其为内切球直径。外接球的半径。4若正四面体的高为，则其内切球半径，外接球半径。5求外接圆半径的方法：直角三角形外接圆直径即为斜边长。利用正弦定理求三角形外接圆直径 。6球的表面积 球的体积 柱体的体积 锥体的体积 第十章 排列组合，二项式定理一排列 组合1分类计数原理定义。 分类计数原理的特点：.每类方法相互独立。任何一种方法都能够单独完成这件事。2分步计数原理定义。 特点：各个步骤中的方法相互依存，每
31、一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成后，这件事才算做完。3排列的定义。 排列数公式。 特殊排列数方法：相邻问题：捆绑法。不相邻问题：插空法。定序问题：除法处理。4组合的定义。 组合数公式。 组合数性质。5排列数与组合数的关系。二二项式定理。1二项式展开式_. 展开式的第项为通项_.其二项式系数为_展开式共项,每一项的指数和为_.2_.令时,有 _.令时,有 _.有_.3二项式展开式的性质。当为偶数时，第_项二项式系数最大，为_.当为奇数时，第_项二项式系数最大，为_.各二项式系数之和为_.4展开式的系数问题。若令时,各项式系数和_.令时,有第十一章 概率一 随机事件的概率。1 随机时间，必然事件，不可能事件的概念。2 随机事件的概率。二 互斥事件有一个发生的概率。1 互斥事件的定义：2 对立事件。3 A.B两事件互斥。P（A+B）=_.4 对立事件,的概率,_.5 求“至多。”，“至少。”，“不少于。”的概率，常用三 相互独立事件同时发生的概率。1 相互独立时间的概念。2 相互独立事件同时发生的概率:3 次
