1、数学专题十 圆锥曲线及其应用【考点精要】考点一. 椭圆、双曲线、抛物线的离心率。如：设双曲线（a0,b0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. B. 2 C. D. 考点二. 圆锥曲线的第一或第二定义。如：已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，若,则=( )A. B. 2 C. D. 3 考点三. 圆锥曲线的渐近线的方程和离心率等概念之间的关系。直线与圆锥曲线的位置关系,考查学生对基本概念、基本方法和基本技能的掌握。如：设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D. 考点四. 圆锥曲线的的定义、线段长、焦半径。将圆锥曲线
2、的相关知识与向量等知识相结合，考查圆锥曲线的的定义、线段长、焦半径等知识。考点五. 圆锥曲线中有关角、线段、面积。以圆锥曲线为依托，借助点与线的关系，考查圆锥曲线中有关角、线段、面积等知识，考查综合运算能力。如：设抛物线=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，=2，则BCF与ACF的面积之比=( )A. B. C. D. 考点六. 圆锥曲线中有关的距离最短、距离之和最小。利用圆锥曲线与直线的特殊关系，研究有关的距离最短、距离之和最小等，考查学生分析问题、解决问题以及数形结合的能力。如：已知直线和，抛物线上一动点到和的距离之和的最小值是( )A.2
3、 B.3 C. D. 考点七. 待定系数法求曲线方程。能用待定系数法求曲线方程，处理直线与圆锥曲线的相关问题以及有关对称问题。此类问题多属于中档或高档题。如：过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.考点八. 求圆锥曲线方程的方法。能运用多种方法（如：直接法、定义法、几何法、代入法、参数法、交规法等）求圆锥曲线的方程，求动点轨迹时应注意它的完备性和纯粹性。巧点妙拨1. 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实
4、数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2. 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.3. 求圆锥曲线中的最值问题解决方法一般有两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来做非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用均值不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值。【典题对应】例1
5、.(2009山东)设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,动点的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; （2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)已知,设直线与圆C:(1R2)相切于A1,且与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.命题意图：本题主要考查直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题。解析：（1）因为,所以, 即.当m=0时,方程表示两直线,方程为;当时,方程表示的是圆;
6、当且时,方程表示的是椭圆；当时,方程表示的是双曲线.(2)当时,轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,则使=,即,即, 且,要使, 需使,即,所以, 即且, 即恒成立.所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为, 所求的圆为.当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.(3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1R2)相切于A1,由（2）知, 即 ,因为与轨迹E只有一个公共点B1,由（2）知得,即有唯一解.则=, 即
7、, 由得, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点，由 中,所以, B1(x1,y1)点在椭圆上,所以,所以,在直角三角形OA1B1中,因为当且仅当时取等号,所以,即当时|A1B1|取得最大值,最大值为1.名师坐堂：对于两个向量垂直，。求圆锥曲线的轨迹方程时一定要注意检验，所求方程中含有参数是要注意讨论。研究直线时应注意斜率不存在的情况。例2.（2011山东22)已知动直线与椭圆：交于两不同点，且的面积，其中为坐标原点（）证明：和均为定值；（）设线段的中点为，求的最大值；（）椭圆上是否存在三点，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由命题意图：本题主要考查直线方程、椭圆的标准方程、面积公式
8、、一元二次方程的根与系数的关系、求最值的方法以及分类讨论的思想，考查学生解析几何的基本思想方法，考查逻辑推理、运算能力解析：（）当直线的斜率不存在时，两点关于轴对称，则，由在椭圆上，则，而，则于是，.当直线的斜率存在，设直线为，代入可得，即，即，则，满足，综上可知，.（）当直线的斜率不存在时，由（）知当直线的斜率存在时，由（）知，当且仅当，即时等号成立，综上可知的最大值为。（）假设椭圆上存在三点，使得，由（）知，.解得,，因此只能从中选取，只能从中选取，因此只能从中选取三个不同点，而这三点的两两连线必有一个过原点，这与相矛盾，故椭圆上不存在三点，使得。名师坐堂：求解定值问题可先考虑能否用特殊点
9、或特殊值求出定值，再推广到一般结论。在求解圆锥曲线的最值问题时，可考虑用重要不等式、二次函数、三角函数以及函数的单调性。【授之以渔】方法点拨：求圆锥曲线中的最值问题应注意以下几点：（1）圆锥曲线本身存在最值问题，如椭圆上两点最大距离为（长轴长）；双曲线上两点间最小距离为（实轴长）；椭圆上的焦半径的取值范围为，与分别表示椭圆焦点到椭圆上的最短与最长距离；抛物线上顶点与抛物线的准线距离最近。（2）圆锥曲线上的点到定点的距离最值，常与两点间的距离公式转化为区间上的二次函数最值解决，有时也用圆锥曲线中的参数方程，化为三角函数的最值问题。（3）圆锥曲线上的点到定直线的距离最值，常转化为平行切线法。（4）
10、点在圆锥曲线上，求相关式子的取值范围，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数化为函数进行处理。（5）由直线和圆锥曲线的位置关系，求直线中或圆锥曲线中某一个参数满足的范围，解决方法长把所求参数作为函数，另一个变元作为自变量求解。【直击高考】1.已知双曲线（b0）的焦点，则b=( )A.3 B. C. D. 2.抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有( )A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=03.
11、中心在原点，焦点在坐标为(0，5)的椭圆被直线3xy2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为 。4.直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x24y2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_.5.已知、是椭圆（0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=_. 6.已知抛物线y2=2px(p0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|2p.(1)求a的取值范围.(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求NAB面积的最大值. 7.已知双曲线的离心率为，右准线方程为。（）求双曲线的方程；（）设直线是圆上动点
12、处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.高三数学三轮复习（理科）参考答案数学专题十 圆锥曲线及其应用【直击高考】1.解析：可得双曲线的准线为,又因为椭圆焦点为所以有.即b2=3故b=.故C.2. 解析：解方程组,得ax2kxb=0,可知x1+x2=,x1x2=,x3=,代入验证即可。答案：B3.解析：设所求圆的圆心为P(a,b），半径为r,则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|圆P截y轴所得弦长为2，r2=a2+1又由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90,故弦长|AB|=r,故r2=2b2,从而有2b2a2=1又点P(a,b)到直线x2y=0的距离d=,因此，5d2=|a
13、2b|2=a2+4b24aba2+4b22(a2+b2)=2b2a2=1,当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1,从而d取最小值，为此有,r2=2b2, r2=2于是所求圆的方程为：(x1）2+(y1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=24.解析：所求椭圆的焦点为F1(1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|。欲使2a最小，只需在直线l上找一点P.使|PF1|+|PF2|最小，利用对称性可解.答案：=15.解析：依题意，有，可得4c2364a2，即a2c29，故有b3。6.解析：(1)设直线l的方程为：y=xa,代入抛物线方程得(xa)2=2px,即x22(a+p)x+a2=0|AB|=2p.4ap+2p2p2,即4app2又p0,a.(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点C(x,y),由(1)知，y1=x1a,y2=x2a,x1+x2=2a+2p,则有x=p.线段AB的垂直平分线的方程为yp=(xap),从而N点坐标为(a+2p,0）点N到AB的距离为。从而SNAB=当a有最大值时，S有最大值为p2。7.解析：（）由题意，得，解得，所求双曲线的方程为.（）点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由及得 切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，设A、B两点的坐标分别为，则， 的大小为.（且，从而当时，方程和方程的判别式均大于零）
