1、精锐教育学科教师辅导讲义学员编号： 年 级： 课 时 数：学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：授课类型T（三角形）C（三角形相关的线段、角）T （三角形与多边形综合）授课日期及时段 教学内容一、同步知识梳理知识点1.三角形的定义与分类： （1)三角形的定义： （2）三角形的分类： 锐角三角形 按角分直角三角形 钝角三角形不等边三角形按边分等腰三角形：有两条边相等的三角形有三条边相等的三角形即等边三角形 （3）三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之和小于第三边。知识点2.三角形的高、中线、角平分线 （1）三角形的高：过三角形的顶点向对边画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角
2、形的高线。 三条高的交点叫做垂心。 钝角三角形的垂线的位置在三角形的外部。 （2）三角形的中线：联结三角形顶点和对边中点的线段叫做三角形的中线。 三条中线的交点叫做重心。 （3）三角形的角平分线：三角形一内角的平分线与对边相交，交点到顶点之间的线段叫做角平分线。 三条角平分线的交点是内接圆的圆心即内心知识点3.三角形的稳定性：三角形具有稳定性。知识点4.与三角形有关的角： （1）三角形内角和定理：三角形内角和为180 （2）三角形外角的性质：三角形的外角等于和它不相邻两内角之和。 三角形的外角大于与它不相邻的内角。 （3）三角形外角和定理：三角形外角和为360 （4）两个角互余的三角形是直角三
3、角形。知识点5.多边形 （1）多边形定义：_ (2) n边形内角和定理：多边形内角和为（n-2）180 (3) 多边形外角和定理：多边形外角和为360。 (4)多边形的对角线条对角线 (5)正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。二、同步题型分析例1.下列各组数可能是一个三角形的边长的是（） A1，2，4 B4，5，9C4，6，8D5，5，11分析：看哪个选项中两条较小的边的和不大于最大的边即可解：A、因为1+24，所以本组数不能构成三角形故本选项错误； B、因为4+5=9，所以本组数不能构成三角形故本选项错误； C、因为9-458+4，所以本组数可以构成三角形故本选项
4、正确； D、因为5+511，所以本组数不能构成三角形故本选项错误； 故选C点评：本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形例2.如图7.1.2-4所示，ABC中，边BC上的高画得对吗？为什么？ 分析：锐角三角形的三条高交于一点，交点在三角形的内部；直角三角形的三条高交于一点，交点在三角形的直角顶点处；钝角三角形的三条高交于一点，交点在三角形的外部。解答：（1）（2）（4）错，（3）对例3. 如图所示： （1）ADBC，垂足为D，则AD是_的高，_=_=90.（2）AE平分BAC，交BC于E点，则AE叫做ABC的_，_=_=_.（
5、3）若AF=FC，则ABC的中线是_，SABF=_.（4）若BG=GH=HF，则AG是_的中线，AH是_的中线.分析：熟悉三角形的垂线、角平分线、中线的概念是解题的关键。（3)BF是ABC的中线，所平分的两个三角形面积相等，因为等底同高。例4.如图，CD、CE、CF分别是ABC的中线、角平分线、高，那么下列结论错误的是（） AAD=DB BACE=ECB CAFC=BFC=90 DECF=BCF考点：三角形的角平分线、中线和高分析：根据三角形的中线的定义，角平分线的定义和高线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解解答：解：A、CD是中线， AD=BD，故本选项错误； B、CE是角平分线， AC
6、E=ECB，故本选项错误； C、CF是高线， AFC=BFC=90，故本选项错误； D、EF与BF不一定相等， ECF=BCF不一定正确，故本选项正确故选D点评：本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，是基础题，熟记概念是解题的关键例5.如图，哪些应用了三角形的稳定性，哪些应用了四边形的不稳定性. 钢架桥 起重机 屋顶钢架 活动滑门分析：三角形具有稳定性，四边形有不稳定性。解答：起重机、钢架桥、屋顶钢架有稳定性；活动滑门有不稳定性。例6.如果三角形的一个内角等于其他两个内角的和，这个三角形是( )A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定 分析：理解直角三角形定义，结合三角形
7、内角和得出结论.解答：若ABC的三个内角A、B、C中，A+B=C 又A+B+C=180，所以2C=180，可得C=90，所以选C.例7.已知一个三角形三个内角度数的比是156，则其最大内角的度数为()A60 B75 C90 D120分析：已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k，则三个内角的度数分别为k，5k，6k.根据三角形的内角和等于180，列方程k5k6k180，解得k15.所以最大内角为6k90，应选C.解答：选C例8.如图，ABC中，A70，B60，点D在BC的延长线上，则ACD等于() A100B120 C130 D150分析：所求的角恰好是ABC的外角，根据外角推论1可求得A
8、BC中，A70，B60，ACDAB7060130.故选C.解答：C点评：本题考查的是三角形内角与外角的关系，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和例9.一个多边形的内角和是720，这个多边形的边数是【 】 A4 B5 C6 D7 考点：多边形内角和定理。 解析多边形的内角和公式为（n2）180，（n2）180=720，解得n=6。这个多边形的边数是6故选C。例10.如图，、是五边形ABCDE的4个外角，若，则 解答：300。 考点：多边形外角性质，补角定义。 分析：由题意得，A的外角=180A=60，又多边形的外角和为360，1+2+3+4=360A的外角=300。例11.一个多边形的每个外
9、角都是60，则这个多边形是_边形，它的对角线共有_条对角线。考点：多边形内角与外角；多边形的对角线分析：利用外角和360外角的度数即可；根据多边形的对角线条数公式n(n3)/2即可算出答案故答案为：六；9点评：此题主要考查了多边形的外角和，以及对角线的条数，关键是掌握对角线总条数的计算公式 n边形过一个顶点有（n-3）条对角线，它们把n边形分割成了（n-2）个三角形三、 课堂达标检测1.如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）A2B4C6D8选B2.如果线段a、b、c能组成三角形，那么，它们的长度比可能是（ ） A.124B.134C.347D.2343.如图，若上1=2、3=
10、4，下列结论中错误的是（ D） A.AD是ABC的角平分线 B.CE是ACD的角平分线 C.3=ACBD.CE是ABC的角平分线 4.能把一个三角形分成两个面积相等的三角形是三角形的（ A ） A. 中线 B. 高线 C. 角平分线 D. 以上都不对5.在ABC中，A=90，C=55，则B=_；若C=4A，A+B=100，则B=_.6.如图所示，a=_.160 7.已知正n边形的一个内角为135，则边数n的值是【 】A6 B7 C8 D9 解析：根据多边形内角和定理，得，解得n=8。故选C。四师生小结 建议用时5分钟！1.熟知三角形的三边关系、高、中线、角平分线。2.掌握三角形的内角和定理、外
11、角和定理。3.掌握多边形内角和定理、外角和定理 一 专题导入 通过模块一同步训练的学习，我们初步掌握了与三角形有关的线段、角；多边形及其内角和。三角形的线段和角是中考的必考内容，要求了解或理解，但是常常与其他章节结合考查，如平行线、全等、相似等知识。三角形的全等和相似是以后学期要学的内容，也是中考考查的重点。本章是关于三角形的初步认识，也是学好全等与相似的基础与前提，所以我们对于三角形要更深层次的认识与掌握。二 专题精讲 三 题型一. 三角形的三边关系例1.三角形的三边分别为3，1-2a，8，则a的取值范围是( )A-6a-3 B-5a-2 C2a5 Da-5或a-2分析：涉及到三角形三边关系
12、时，尽可能简化运算，注意运算的准确性.解答：根据三角形三边关系得：8-31-2a8+3，解得-5a-2，应选B.例2.有人说，自己的步子大，一步能走三米多，你相信吗？用你学过的数学知识说明理由考点：三角形三边关系分析：人的两腿可以看作两条线段，走的步子也可看作线段，则这三条线段正好构成三角形的三边，就应满足三边关系定理解答：不能如果此人一步能走三米多，由三角形三边的关系得，此人两腿长的和3米多，这与实际情况不符所以他一步不能走三米多点评：本题就是利用三角形的三边关系定理解决实际问题题型二.三角形有关的线段例1.如图，已知ABC中，B65，C45，AD是BC边上的高，AE是BAC的平分线，求DA
13、E的度数分析：由三角形的内角和定理，可求BAC70.又AE是BAC的平分线，可知BAE35，再由AD是BC边上的高，可知ADB90，从而BAD25，所以DAEBAEBAD10.解答：在ABC中，BAC180BC70，AE是BAC的平分线，BAECAE35.又AD是BC边上的高，ADB90.在ABD中BAD90B25，DAEBAEBAD10.点评：三角形内角和定理的运用。本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质、高线的性质，解答的关键是三角 形的内角和定理的运用题型三.三角形有关的角例1.若一个三角形三个内角度数的比为234，那么这个三角形是（ ）A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角
14、三角形 D. 等边三角形 分析：三角形的内角和为180，三个内角度数的份数和是9，每一份度数是20，则三个内角度数分别为40、 60、80，是锐角三角形. 解答：选B例2.已知ABC的三个内角A、B、C满足关系式B+C=3A，则此三角形中( ) A.一定有一个内角为45 B.一定有一个内角为60C.一定是直角三角形 D.一定是钝角三角形考点：三角形内角和180. 分析：会灵活运和三角形内角和等于180这一定理，即B+C=180-A.解答：ABC中，A+B+C=180，B+C=180-AB+C=3A，180-A=3A， A=45， 选A，其它三个答案不能确定.例3.如图，BO、CO分别为ABC、
15、ACB的外角平分线，且BOC=60，则A=_60 考点：三角形内角和定理分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义表示出OBC+OCB，再根据三角形的内角和定理求解即可解答：解：BO、CO分别为ABC、ACB的外角平分线，OBC+OCB=1/2（ACB+A）+1/2（ABC+A）=1/2（ACB+A+ABC+A），在ABC中，ACB+A+ABC=180，OBC+OCB=90+1/2A，在OBC中，OBC+OCB+BOC=180，90+1/2A+60=180，解得A=60故答案为：60点评：本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两
16、个内角的和的性质，熟记性质并准确识图理清各角度之间的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用例4.如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将ABC沿着DE折叠压平，A与A重合，若A=75，则1+2=（）A150 B210 C105 D75 分析：先根据图形翻折变化的性质得出ADEADE，（后面章节内容，可以解释为折叠重合即全等）AED=AED，ADE=ADE，再根据三角形内角和定理求出AED+ADE及AED+ADE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案解：ADE是ABC翻折变换而成，AED=AED，ADE=ADE，A=A=75，AED+ADE=AED+ADE=
17、180-75=105，1+2=3602105=150故选A点评：本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等例5.小明在计算一个多边形的内角和，求得的内角和为2220，经过检查发现少加了一个内角，请问这个内角为多少度？这个多边形是几边形？考点：多边形内角与外角分析：根据多边形的内角和公式（n-2）180，用2220除以180，商就是n-2，余数就是加上的那个外角的度数进而可以算出这个多边形的边数解答：解：2220180=1260，则边数n=15，这个内角的度数是：180-60=120故这个内角为120度，这个多边
18、形是15边形点评：本题考查多边形内角和公式的灵活运用；关键是找到相应度数的等量关系三专题过关：1.如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是（）A2 B3 C4 D8分析：根据三角形三边关系，可令第三边为X，则5-3X5+3，即2X8，又因为第三边长为偶数，所以第三边长是4，6问题可求解：由题意，令第三边为X，则5-3X5+3，即2X8，第三边长为偶数，第三边长是4或6三角形的三边长可以为3、5、4故选：C点评：此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解决此类问题的关键2.如图，在ABC中，ABC的平分线与ACB的外角ACD的平分线交于点P，A=60，点则
19、P=_30_. 3.一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则的度数是（）AA165B120C150D1354.如图，在RtACB中，ACB=90，A=25，D是AB上一点将RtABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B处，则ADB等于（）DA25B30C35D40在RtACB中，ACB=90，A=25, B=9025=65 CDB由CDB反折而成，CBD=B=65，CBD是ABD的外角 ADB=CBDA=6525=40故选D 5.如图，ABC中，若A=80，O为三条角平分线的交点，则BOC= 130 解：在ABC中，A=80， ABC+ACB=180-80=100 又O为三条角平分线的交点
20、 OBC+OCB=1/2ABC+1/2ACB=1/2100=50 在三角形OBC中，BOC=180-（OBC+OCB）=130四、学法提炼1.熟记三角形的内角和定理、外角和定理，并能灵活应用。 一、定位测试：建议用时5分钟！（2012南通）如图，ABC中，C=70，若沿图中虚线截去C，则1+2=（）A360 B250 C180 D140分析：先利用三角形内角与外角的关系，得出1+2=C+（C+3+4），根据三角形内角和定理即可得出结果解：1、2是CDE的外角， 1=4+C，2=3+C， 即1+2=C+（C+3+4）=70+180=250 故选B二、 能力培养例1.已知a，b，c为ABC的三条边
21、，化简得_.分析：本题利用三角形三边关系，使问题代数化，从而化简得出结论.解答a，b，c为ABC的三条边 a-b-c0， b-a-c0=(b+c-a)+(a+c-b)=2c.例2.已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x2-6x+8=0的根， 解得x1=2或x2=4，则这个三角形的周长等于（） A13 B11 C11 或13 D12或15分析：首先从方程x2-6x+8=0中，确定第三边的边长为2或4；其次考查2，3，6或4，3，6能否构成三角形，从而求出三角形的周长解：由方程x2-6x+8=0， 解得x1=2或x2=4，当第三边是2时，2+36，不能构成三角形，应舍去；当第三边是4时
22、，三角形的周长为4+3+6=13故选A点评：考查了三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，不符合题意的应弃之例3.如图，已知ABCD，EBA=45，E+D的度数为（） A30B60C90D45考点：平行线的性质；三角形的外角性质分析：根据平行线的性质可得CFE=45，再根据三角形内角与外角的关系可得E+D=CFE解答：解：ABCD，ABE=CFE，EBA=45，CFE=45，E+D=CFE=45，故选：D点评：此题主要考查了平行线的性质，以及三角形内角与外角的关系，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和例4.如图在AB
23、C中，ABC=90，A=50，BDAC，则CBD的度数是_.考点：直角三角形两锐角互余.解析：ABC 中，C=ABC-A =90-50=40又BDAC，CBD=C=40.例5.如图，在RtABC中，ACB=90，A=，将ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为2a分析：由在RtABC中，ACB=90，A=，可求得：B=90，由旋转的性质可得：CB=CD，根据等边对等角的性质可得CDB=B=90，然后由三角形内角和定理，求得答案解答：在RtABC中，ACB=90，A=， B=90，由旋转的性质可得：CB=CD， CDB=B=90，BCD=180BCDB=2即
24、旋转角的大小为2故答案为：2点评：此题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理此题难度不大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用例6.如图，国旗上的五角星的五个角的度数是相同的，每一个角的度数都是_ A30 B35 C36 D42考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理分析：如图所示，ABF中，根据内角和外角的关系，2=A+B；EDG中，1=D+E；根据三角形 内角和等于180，得到1+2+C=180度于是A+B+C+D+E=180，由于五个角的度数是相同，即可求得每一个角的度数 解答：2=A+B；1=D+E， 1+2+C=180， A+B+C+D+E=180，
25、五个角的度数是相同，则每一个角的度1805=36 故选C三 综合练习：1.若ABC的三边的长AB=5，BC=2a+1，AC=3a-1，则a的取值范围为_1a72.如图，已知D、E在ABC的边上，DEBC，B60，AED40，则A的度数为（）A100B90C80D70考点：平行线的性质；三角形内角和定理专题：探究型分析：先根据平行线的性质求出C的度数，再根据三角形内角和定理求出A的度数即可解答：解：DEBC，AED40，CAED40，B60，A180CB180406080故选C点评：本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先根据平行线的性质求出C的度数是解答此题的关键3.如图，直线a，b被直
26、线c所截，若ab，1=40，2=70，则3=110度 4.将一副直角三角板如图所示放置，使含30角的三角板的一条直角边和含45角的三角板的一条直角边重合，则1的度数为（） .四能力点评1.三角形与代数知识的结合，体现了数形结合的思想，要学会两者关系的转化。2.三角形与平行线的结合，要求平行线的性质与判定要熟记，三角形的内角和、外角和定理要熟记，并能根据已知条件去灵活运用这些知识。 学法升华一、 知识收获1、三角形的三边关系2、三角形的高、中线、角平分线3、三角形的内角和定理、外角和性质与定理4、多边形的内角和定理、外角性质、外角和定理二、 方法总结1、三角形的三边怎样的关系才能形成三角形2、各
27、种三角形的高怎么画3、求三角形内某个角的大小，如果已知内角则先考虑用内角和定理，如果已知外角则考虑外角性质和外角和定理4、多边形的内角和公式（n-2）180、任意多边形的外角和都是360，切记！课后作业1.已知等腰三角形的两边长分别为4cm和7cm，则此三角形的周长为（ ）A.15cmB.18cmC.15cm或18cmD.不能确定2.下列关于三角形说法：三条线段组成的图形叫三角形； 三角形的三条中线交于三角形内一点； 三角形的角平分线是射线； 三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外； 等腰三角形的角平分线、中线、高“三线合一”；各边都相等的多边形是正多边形其中正确的有（）
28、 A1个 B2个 C3个 D4个分析：利用三角形及正多边形的有关性质及定理分别判断后即可得到正确的结论解答：解：三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形，故错误； 三角形的三条中线交于三角形内一点，正确； 三角形的角平分线是线段，故错误； 三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外，错误； 等腰三角形的顶角角平分线、底边的中线、底边的高“三线合一”，正确； 各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形，故错误，故选B点评：本题考查了三角形及正多边形的有关性质及定理，属于基础定理，应该重点掌握3.若一个多边形外角和与内角和相等，则这个多边形是四边形4.一个正多边形的每个外角都是36，这个正多边形的边数是（）A9B10C11D125.如图，在ABC中，AB=AC，A=36，BD是AC边上的高，则CBD的度数是 6.如图，直线l1l2，若1=140，2=70，则3的度数是（）A70 B80C65D607.如图，将一副三角板按图示的方法叠在一起，则图中等于_158.已知：如图，在ABC中，D为BC上一点，12，34，BAC120，求DAC的度数分析：根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决解BAC120，2360.12，431222.把代入，得3260，220.DAC12020100.点评：注意三角形的内角和定理以及推论的运用，还要注意角之间的等量代换
