1、特殊平行四边形 知识精讲+习题集中考大纲中考内容中考要求ABC特殊的平行四边形会识别矩形、菱形和正方形掌握矩形、菱形和正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形和正方形的性质和判定解决简单问题会运用矩形、菱形和正方形的知识解决有关问题知识网络图知识精讲一、矩形的性质及判定1定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2性质（矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质）（1）边：对边平行且相等（2）角：四个角都是直角（3）对角线：对角线互相平分且相等（4）对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形（5）周长：（、为一组邻边）（6）面积：（、为一组邻边）【注意】1、直角三角形斜边上的中线等于斜边
2、的一半2、直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半这两条直角三角形的性质是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得3矩形的判定（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）对角线相等的平行四边形是矩形（3）有三个角是直角的四边形是矩形二、菱形1定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2性质（菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质）（1）边的性质：对边平行且四边相等 （2）角的性质：邻角互补，对角相等（3）对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角（4）对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形（5）周长：（为边长）（6）菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半（为一边
3、长，为这条边上的高）；（、为两条对角线的长）【注意】其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半3菱形的判定（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（3）四边相等的四边形是菱形三、正方形1定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形2性质（正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形它具有前三者的所有性质）（1）边：对边平行，四条边都相等（2）角：四个角都是直角（3）对角线：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角（4）对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形（5）周长：（为边长）（6）面积：（为边长）；（为对角线长）【注意】平行
4、四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3 正方形的判定（1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（2）有一组邻边相等的矩形是正方形（3）有一个角是直角的菱形是正方形解题方法技巧1、中点四边形（1）任意四边形的中点四边形为平行四边形（2）对角线垂直的四边形的中点四边形为矩形（3）对角线相等的四边形的中点四边形为菱形（4）对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形2、对角线互相垂直的四边形（1）中点四边形为矩形；如图1（2）四边形面积等于对角线乘积的一半；即（3）四边形对边的平方和相等 即3、筝形：两组邻边分别相等的四边形，称之为筝形如图，在筝形ABCD中，AB=AD，B
5、C=DC，AC与BD相交于点O（1）（2）一组对角相等，即（3）对角线平分一组对角，即平分（4）对角线互相垂直，即（5）一条对角线平分另一条对角线，即平分（）（6）（7）筝形是轴对称图形，即所在直线为其对称轴【注意】这些性质需先证明后运用4、平行四边形和特殊平行四边形之间的判定关系5、正方形共顶点旋转6、正方形角含半角旋转7、正方形与弦图8、正方形等面积结论（1）（2）为中点，则易错点辨析1、判定特殊平行四边形时，要注意是否在平行四边形的基础上2、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，都具有平行四边形的所有性质正方形还是特殊的菱形和矩形，具有菱形和矩形的全部性质正方形一般结合等腰直角三角形一
6、起考察真题链接【例1】 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为写出一个函数使它的图象与正方形有公共点，这个函数的表达式为_【答案】，答案不唯一【解析】依题可知，使它的图象与正方形有公共点，即可故答案为：，答案不唯一【例2】 如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接、（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求的值【答案】（1）证明：是平行四边形，平分，平分；，；，四边形为菱形（2）解：作，；为等边三角形；，；四边形为菱形；点为中点；可知：，；【例3】 在正方形外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，其中交直线于点（1）依题意补全图；（2）若，求的度数；（3）如图，若，用等式
7、表示线段，之间的数量关系，并证明【答案】（1）补全图形如图所示：（2）连接，依题可知，（3）连接、由对称性可知：，、都是等腰三角形，都是等腰直角三角形，在中，【例4】 如图，是矩形的对角线的中点，是的中点，若，则四边形的周长为_【答案】20【例5】 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为的正方形各边上分别截取，当时，求正方形的面积小明发现：分别延长，交的延长线于点，可得是四个全等的等腰直角三角形（如图2）请回答：（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为_；（2）求正方形的面积参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在等边各边
8、上分别截取，再分别过点作的垂线，得到等边，若，则的长为_【答案】（1）；（2）由（1）知，由拼成的新正方形的面积与正方形的面积相等这四个全等的等腰直角三角形的面积之和与正方形的面积相等，正方形的面积（3）课堂练习一、矩形的定义和性质【例1】 矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）A对角线相等 B对角相等C对角线互相平分 D对边相等【答案】A【例2】 矩形中，点为的中点，为上任意一点，交于点，交于点，当满足条件_时，四边形是矩形【答案】【例3】 已知如图，四边形中，分别是的中点，如果则=_【答案】5【例4】 如图，矩形沿折叠，使点落在边上的点处，如果，则_【答案】【例5】 矩形ABCD中，对角
9、线AC、BD相交于O，AOB60，AC10cm，则BC_cm，周长为_【答案】，【例6】 如图，在矩形中，分别是上的点，且. 求证：.【答案】四边形是矩形.在和中，又，.【例7】 如图，矩形的两条对角线相交于点，则矩形的对角线的长是（ ）A B C D【答案】B【解析】，为等边三角形，【例8】 如图，矩形ABCD中，AB2，BC3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长_【答案】【解析】设根据，利用勾股定理列方程【例9】 如图，矩形中，对角线相交于点，于，于，已知，且，求的长【答案】【解析】因为，且矩形中，所以，因为，所以 ，是等边三角形，即，由条件易得是的中位
10、线， ，所以【例10】 在下面所给的图形中，若连接，则四边形是矩形，四边形是平行四边形请你在图中画出两条线段，将整个图形分为两部分，使这两部分面积相等（不写画法）；请你在图中画出一条线段，将整个图形分为两部分，使这两部分面积相等简要说明你的画法【答案】如图,画法不唯一；如图过两个平行四边形的对称中心二、矩形的判定【例11】 如图，在四边形中，求证：四边形是矩形【答案】，在和中 ()，四边形是平行四边形，四边形是矩形【例12】 如图，已知在四边形中，交于，、分别是四边的中点，求证四边形是矩形【答案】、分别是四边的中点、为中位线且四边形为平行四边形，四边形是矩形【例13】 如图，平行四边形中，、分
11、别是、的平分线，与交于，与交于，证明：四边形是矩形【答案】四边形为平行四边形，、分别是、的平分线同理四边形是矩形【例14】 如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连结 求证： 如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论【答案】 ，是的中点， ，（2）四边形是矩形，是的中点（利用全等），四边形是平行四边形又 四边形是矩形【例15】 已知，如图，在中，是边上的高，是的外角平分线，交于，试说明四边形是矩形 【答案】，又，又，是平行四边形，四边形是平行四边形又，平行四边形为矩形本题也可先说明，再说明四边形是平行四边形【例16】 已知矩形和点，当点在矩形内时，试求证：【答案
12、】过点作垂直，分别交、于、两点 又【例17】 如图所示，在矩形和矩形中，若，求证： 【答案】，是平行四边形又，是菱形连接，则，从而证得，三、菱形的定义和性质【例18】 如图所示，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于_【答案】【例19】 如图，在菱形中，、分别是边和的中点，于点，则（ ）ABCD【答案】D【解析】提示：斜边上中线【例20】 已知菱形的一个内角为，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_【答案】或【例21】 如图，菱形中，于点，且DF=DC，连接，则的度数为_度【答案】15四、正方形的定义和性质【例22】 如图，在正方形中，为边上的一点，为延长线上的一点，求
13、的度数.【答案】， ， 【例23】 如图，在正方形中，、分别是、的中点，求证：【答案】延长，交于点可证及可得 又 【例24】 如图，在线段上，和都是正方形，面积分别为和，则的面积为_【答案】【解析】过作交延长线于，五、菱形和正方形的判定【例25】 如图，已知平行四边形中，对角线、交于点，是延长线上的点，且是等边三角形 求证：四边形是菱形； 若，求证：四边形是正方形【答案】 四边形是平行四边形，又是等边三角形，即 平行四边形是菱形 是等边三角形， ， ，四边形是菱形，四边形是正方形【例26】 如图所示，在中，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到连接 求证：四边形是菱形；连接并
14、延长交于连接，请问：四边形是什么特殊平行四边形？为什么？【答案】 是由绕点旋转得到， 是等边三角形 又是由沿所在直线翻转得到，点、三点共线是等边三角形 四边形是菱形 四边形是矩形 由可知：是等边三角形，于，又，四边形是平行四边形，而 四边形是矩形【例27】 已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作MECD于点E，1=2.（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证AM=DF+ME.【答案】（1）解：四边形是菱形，.， .又，.（2）证明：延长和相交于点.为的中点，.，又， .四边形是菱形，. 又， .， ， .，.【例28】 已知：如图，过正方形ABCD的顶
15、点B作直线BE平行于对角线AC，AE=AC（E，C均在AB的同侧）.求证：CAE=2BAE.【答案】过A作AGBE于G，连结BD交AC于点O，AGBO是正方形.AG=AO=AC =AEAEG=30.BEAC，CAE =AEG =30.BAE=4530 =15.CAE = 2BAE.【例29】 如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，AED=2CED，点G是DF的中点（1）求证：CED=DAG；（2）若BE=1，AG=4，求的值【答案】（1）证明：矩形ABCD，ADBC.CED =ADE.又点G是DF的中点，AG=DG.DAG =ADE.CED =DAG.（2
16、）AED=2CED，AGE=2DAG，AED=AGE.AE=AG.AG=4，AE=4.在RtAEB中，由勾股定理可求AB=.【例30】 如图，在中，平分，且（1）求证：四边形是矩形；（2）若是边长为的等边三角形，相交于点，在上截取，连接，求线段的长及四边形的面积【答案】解：（1）且，四边形的平行四边形，平分，四边形为矩形。（2）为等边三角形且边长为4，又四边形为矩形，过作于，六、面积与折叠问题【例31】 已知：四边形的面积为如图，取四边形各边中点，则图中阴影部分的面积为_；如图2，取四边形各边三等分点，则图中阴影部分的面积为_；取四边形各边的（为大于的整数）等分点，则图中阴影部分的面积为_【答
17、案】，【例32】 如图3，若五个平行四边形拼成一个含30内角的菱形EFGH（不重复、无缝隙）.已知四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD的面积为11，则菱形EFGH的周长为_【答案】AEPH 和PGCF 或ABGH 和EBCF 或AEFD和HGCD；1.24【例33】 阅读下列材料：问题：在平面直角坐标系中，一张矩形纸片按图所示放置，已知，将这张纸片折叠，使点落在边上，记作点，折痕与边（含端点）交于点，与边（含端点）或其延长线交于点，求点的坐标小明在解决这个问题时发现：要求点的坐标，只要求出线段的长即可连接，设折痕所在直线对应的函数表达式为，于是有，所以在中，得到，在中，利用等角的三角函
18、数值相等，就可以求出线段的长（如图）（1）如图，若点的坐标为，直接写出点的坐标；（2）在图中，已知点落在边上的点处，请画出折痕所在的直线（要求：尺规作图）图，保留作图痕迹，不写作法）；参考小明的做法，解决以下问题：（3）将矩形沿直线折叠，求点的坐标；（4）将矩形沿直线折叠，点在边上（含端点），直接写出的取值范围【答案】（1）（2）图略(作中垂线即可)（3）如图，过点作于，解析式为，坐标为，坐标为，点在上，且，又，又，点坐标为（4）【例34】 以下是小辰同学阅读的一份材料和思考：五个边长为的小正方形如图放置，用两条线段把他们分割成三部分（如图），移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空
19、隙无重叠的新正方形（如图）小辰阅读后发现，拼接前后图形的面积相等，若设新正方形的边长为，可得，由此可知新正方形边长等于两个小正方形组成的矩形的对角线长参考上面的材料和小辰的思考方法，解决问题：五个边长为的小正方形如图放置，用两条线段把它们分割成四部分，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的矩形且所得矩形的邻边之比为具体要求如下：（1）设拼接后的矩形的长为，宽为，则的长度为_（2）在图中，画出符合题意的两条分割线（只要画出一种即可）；（3）在图中，画出拼接后符合题意的矩形（只要画出一种即可）【答案】（1），；（2）如图所示：（3）如图所示：【例35】 如图，四边形ABCD中
20、，ACa，BDb，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn下列结论正确的有（ ）四边形A2B2C2D2是矩形；四边形A4B4C4D4是菱形；四边形A5B5C5D5的周长是四边形AnBnCnDn的面积是A、 B、 C、 D、【答案】C课后作业【练1】 如图，在平行四边形中，是的中点，且，求证：四边形是矩形【答案】四边形是平行四边形，是的中点，在和中()，四边形是矩形【练2】 如图，在中，点是边上的一个动点，过点作直线，若交的平分线于点，交的外角平分线于点（1）求证：（2）当点运动到何处时，四边形为矩形？请说明理由。【答案】证明： 当为的中点时，四边形为矩形【练3】 若正方形的边长为，为边上一点，为线段上一点，射线交正方形的一边于点，且，则的长为_【答案】（如图1）或（如图2）【练4】 如果点、是正方形的对角线上两点，且，你能判断四边形的形状吗？并阐明理由 【答案】连接，交于四边形为正方形，四边形为平行四边形，四边形为菱形【练5】 如图，在四边形中，对角线交于点，求的长和四边形的面积【答案】过点作于点在中，在中，在中，四边形的面积是
