1、第一章 随机事件及其概率一、随机事件及其运算1. 样本空间、随机事件样本点：随机试验的每一个可能结果，用表示；样本空间：样本点的全集，用表示；注：样本空间不唯一.随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用A,B,C,表示；必然事件就等于样本空间；不可能事件是不包含任何样本点的空集；基本事件就是仅包含单个样本点的子集。2. 事件的四种关系包含关系：，事件A发生必有事件B发生；等价关系：， 事件A发生必有事件B发生，且事件B发生必有事件A 发生；互不相容（互斥）： ，事件A与事件B一定不会同时发生。对立关系（互逆）：，事件发生事件A 必不发生，反之也成立； 互逆满足注：互不相容和对立的关系
2、（对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。）3. 事件的三大运算事件的并：，事件A与事件B至少有一个发生。若，则；事件的交：，事件A与事件B都发生； 事件的差：，事件A发生且事件B不发生。4. 事件的运算规律交换律：结合律：分配律：德摩根（De Morgan）定律： 对于n个事件，有二、随机事件的概率定义和性质1公理化定义：设试验的样本空间为，对于任一随机事件都有确定的实值P(A)，满足下列性质：(1) 非负性： (2) 规范性：(3)有限可加性(概率加法公式)：对于k个互不相容事件，有.则称P(A)为随机事件A的概率.2概率的性质 若，则注：性质的逆命题不一定成立的. 如
3、若则。（） 若，则。（）三、 古典概型的概率计算古典概型：若随机试验满足两个条件： 只有有限个样本点, 每个样本点发生的概率相同，则称该概率模型为古典概型,。典型例题：设一批产品共N件，其中有M件次品，从这批产品中随机抽取n件样品，则(1)在放回抽样的方式下, 取出的n件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A1）的概率为(2)在不放回抽样的方式下, 取出的n件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A2）的概率为四、条件概率及其三大公式1.条件概率：2.乘法公式： 3.全概率公式：若，则。4.贝叶斯公式：若事件如全概率公式所述，且 .五、事件的独立 1. 定义：.推广：若相互独立，2. 在四对事件中，只要
4、有一对独立，则其余三对也独立。3. 三个事件A, B, C两两独立：注：n个事件的两两独立与相互独立的区别。（相互独立两两独立，反之不成立。）4.伯努利概型：1.事件的对立与互不相容是等价的。（X）2.若 则。（X）3.。 (X)4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为。()5. n个事件若满足，则n个事件相互独立。(X)6. 当时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（）第二章 随机变量及其分布一、随机变量的定义：设样本空间为，变量为定义在上的单值实值函数，则称为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。二、分布函数及其性质1. 定义：设随机变量，对于任意实数，函数称为随机变
5、量的概率分布函数，简称分布函数。 注：当时，(1)X是离散随机变量，并有概率函数则有(2) X连续随机变量，并有概率密度f (x)，则.2. 分布函数性质：（1 F(x)是单调非减函数，即对于任意x1 x2，有；（2 ；且；（3离散随机变量X，F (x)是右连续函数, 即；连续随机变量X，F(x)在（-，+）上处处连续。注：一个函数若满足上述3个条件，则它必是某个随机变量的分布函数。三、离散随机变量及其分布1. 定义. 设随机变量X只能取得有限个数值，或可列无穷多个数值且，则称X为离散随机变量, pi (i=1,2,)为X的概率分布，或概率函数 (分布律).注：概率函数pi的性质: 2. 几种
6、常见的离散随机变量的分布：（1）超几何分布，XH(N,M,n)，（2）二项分布，XB(n.,p)，当n=1时称X服从参数为p的两点分布（或01分布）。若Xi(i=1,2,n)服从同一两点分布且独立，则服从二项分布。（3）泊松(Poisson)分布，四、连续随机变量及其分布1.定义.若随机变量X的取值范围是某个实数区间I，且存在非负函数f(x)，使得对于任意区间，有则称X为连续随机变量; 函数f (x)称为连续随机变量X的概率密度函数，简称概率密度。注1：连续随机变量X任取某一确定值的概率等于0, 即注2：2. 概率密度f (x)的性质：性质1： 性质2：注1：一个函数若满足上述2个条件，则它必
7、是某个随机变量的概率密度函数。注2：当时，且在f(x)的连续点x处，有3.几种常见的连续随机变量的分布：(1) 均匀分布 ， (2) 指数分布, (3) 正态分布 ， 1. 概率函数与密度函数是同一个概念。（ X ）2.当N充分大时，超几何分布H (n, M, N)可近似成泊松分布。( X )3.设X是随机变量，有。( X )4.若的密度函数为=，则 ( X )第三章 随机变量的数字特征一、期望（或均值）1定义： 2期望的性质：3. 随机变量函数的数学期望4. 计算数学期望的方法(1) 利用数学期望的定义； (2) 利用数学期望的性质；常见的基本方法： 将一个比较复杂的随机变量X 拆成有限多个
8、比较简单的随机变量Xi之和,再利用期望性质求得X的期望.(3)利用常见分布的期望；1方差 注：D(X)=EX-E(X)20；它反映了随机变量X取值分散的程度,如果D(X)值越大(小)，表示X取值越分散(集中)。2方差的性质(4) 对于任意实数CR，有 E ( X-C )2D( X )当且仅当C = E(X)时, E ( X-C )2取得最小值D(X).(5) (切比雪夫不等式): 设X的数学期望 E(X) 与方差D(X) 存在,对于任意的正数有或 3. 计算(1) 利用方差定义；(2) 常用计算公式(3) 方差的性质；(4) 常见分布的方差.注：常见分布的期望与方差1. 若XB(n, p),
9、则 E(X)=np, D(X) = npq; 2. 若3. 若XU(a, b), 则 4. 若5. 若三、原点矩与中心矩（总体）X的k阶原点矩： （总体）X的k阶中心矩：1.只要是随机变量，都能计算期望和方差。( X )2.期望反映的是随机变量取值的中心位置，方差反映的是随机变量取值的分散程度。()3.方差越小，随机变量取值越分散，方差越大越集中。( X )4.方差的实质是随机变量函数的期望。()5.对于任意的X,Y，都有成立。( X )第四章 正态分布一、正态分布的定义1. 正态分布 概率密度为其分布函数为注：.正态密度函数的几何特性： 2. 标准正态分布当时，其密度函数为且其分布函数为的性
10、质： 3.正态分布与标准正态分布的关系定理：若 则.定理：设则二、正态分布的数字特征设 则1. 期望E(X) 2.方差D(X) 3.标准差三、正态分布的性质1线性性. 设则；2可加性. 设且X和Y相互独立，则3线性组合性 设，且相互独立，则四、中心极限定理1.独立同分布的中心极限定理设随机变量相互独立，服从相同的分布，且则对于任何实数x，有定理解释：若满足上述条件，有（1）；（3）2. 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理设则定理解释：若当n充分大时，有（1）； （2）1.若则（ X ）2.若则 （ ）3. 设随机变量X与Y均服从正态分布：4.已知连续随机变量X的概率密度函数为 则X的数学期望为_1_
11、; X的方差为_1/2_.第五章 数理统计的基本知识一、总体 个体 样本1.总体：把研究对象的全体称为总体 (或母体).它是一个随机变量，记X. 2.个体：总体中每个研究对象称为个体.即每一个可能的观察值.3.样本：从总体X中，随机地抽取n个个体, 称为总体X的容量为n的样本。注： 样本是一个n维的随机变量； 本书中提到的样本都是指简单随机样本，其满足2个特性： 代表性：中每一个与总体X有相同的分布. 独立性：是相互独立的随机变量.4.样本的联合分布设总体X的分布函数为F(x)，则样本的联合分布函数为(1) 设总体X的概率密度函数为f (x), 则样本的联合密度函数为 (2) 设总体X的概率函
12、数为, 则样本的联合概率函数为二、统计量1. 定义 不含总体分布中任何未知参数的样本函数称为统计量,是的观测值.注：（1）统计量是随机变量； （2）统计量不含总体分布中任何未知参数； （3）统计量的分布称为抽样分布.2. 常用统计量（1）样本矩：样本均值 ； 其观测值 . 可用于推断：总体均值 E(X).样本方差 ; 其观测值 可用于推断：总体方差D(X).样本标准差 其观测值 样本k 阶原点矩 其观测值 样本 k 阶中心矩 其观测值 注：比较样本矩与总体矩，如样本均值和总体均值E(X)；样本方差与总体方差D(X)；样本k阶原点矩与总体k阶原点矩；样本k阶中心矩与总体k阶原点矩. 前者是随机变
13、量，后者是常数.(2)样本矩的性质:设总体X的数学期望和方差分别为，为样本均值、样本方差，则 3.抽样分布：统计量的分布称为抽样分布.三、 3大抽样分布： 定义.设相互独立，且，则注：若则（2）性质（可加性）设相互独立，且则2. t分布： 设X 与Y 相互独立,且则注：t分布的密度图像关于t=0对称；当n充分大时，t分布趋向于标准正态分布N(0,1).3. F分布: 定义. 设X与Y相互独立，且则(2) 性质. 设则.四、分位点定义：对于总体X和给定的若存在，使得则称为X分布的分位点。注：常见分布的分位点表示方法（1）分布的分位点 （2）分布的分位点 其性质： （3）分布的分位点其性质（4）N
14、(0,1)分布的分位点有第六章 参数估计一、点估计:设为来自总体X的样本，为X中的未知参数，为样本值，构造某个统计量作为参数的估计，则称为的点估计量，为的估计值.2.常用点估计的方法：矩估计法和最大似然估计法.二、矩估计法1.基本思想: 用样本矩（原点矩或中心矩）代替相应的总体矩.2.求总体X的分布中包含的m个未知参数的矩估计步骤： 求出总体矩,即； 用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程： 解上述方程（或方程组）得到的矩估计量为： 的矩估计值为：3. 矩估计法的优缺点： 优点：直观、简单; 只须知道总体的矩,不须知道总体的分布形式. 缺点：没有充分利用总体分布提供的信息；矩估计量不具有唯一性；可
15、能估计结果的精度比其它估计法的低三、最大似然估计法1. 直观想法：在试验中，事件A的概率P(A)最大, 则A出现的可能性就大；如果事件A出现了，我们认为事件A的概率最大.2. 定义 设总体X的概率函数或密度函数为（或），其中参数未知，则X的样本的联合概率函数（或联合密度函数）（或称为似然函数.3. 求最大似然估计的步骤：（1）求似然函数:X离散： X连续： （2）求和似然方程：（3）解似然方程，得到最大似然估计值：（4）最后得到最大似然估计量：4. 最大似然估计法是在各种参数估计方法中比较优良的方法，但是它需要知道总体X的分布形式.四、 估计量的评价标准1.无偏性:设是未知参数的估计量，若，则是的无偏估计量，是的无偏估计值。有效性:设和是未知参数的无偏估计量，若，则称比有效。1.若是来自总体X的样本，则相互独立. （ ）2.不含总体X的任何未知参数的样本函数就是统计量. ( )3.样本矩与总体矩是等价的。（ X ）4.矩估计法的基本思想是用总体矩代替样本矩，故矩估计量不唯一.( X )设总体，则估计量分别是的无偏估计量.( X )
